2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第五章 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 文

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1、 【金版學(xué)案】2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第五章 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 文 近三年廣東高考中對(duì)本章考點(diǎn)考查的情況 年份 題號(hào) 賦分 所考查的知識(shí)點(diǎn) 2011 11 5 涉及遞增等比數(shù)列，求公比問題 20 14 由含參的數(shù)列的遞推公式(轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列)求數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的證明等 2012 12 5 等比數(shù)列的中項(xiàng)公式的應(yīng)用 19 14 Sn與an的關(guān)系、求通項(xiàng)公式 2013 11 5 等比數(shù)列的通項(xiàng)，求和 19 14 遞推公式、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和 本章內(nèi)容主要包括：數(shù)列的概念與性

2、質(zhì)，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及數(shù)列的綜合應(yīng)用． 1．在復(fù)習(xí)數(shù)列的概念時(shí)，應(yīng)注意： (1)數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一類特殊函數(shù)；(2)并不是所有的數(shù)列都能用通項(xiàng)公式表示，有的數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的；(3)運(yùn)用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，可用特殊到一般的方法找出規(guī)律，也可將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解；(4)在an＝中，要特別注意n＝1的情況． 2．在復(fù)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列時(shí)，應(yīng)注意： 1 / 7 (1)等差、等比數(shù)列的定義在解題中的應(yīng)用；(2)等差、等比數(shù)列的中項(xiàng)公式、通項(xiàng)公式和求和公式的使用方法；(3)靈活處理數(shù)列與不等式、函數(shù)相結(jié)合的綜合問題．這些是廣東高考要考

3、查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)． 預(yù)計(jì)高考對(duì)該部分內(nèi)容的考查，會(huì)以兩種形式出現(xiàn)，一種是以小題考查通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、數(shù)列求和等問題，屬容易題；另一種是在大題中將數(shù)列問題與函數(shù)、不等式結(jié)合在一起進(jìn)行綜合考查，屬中等偏難題． 根據(jù)上述分析、預(yù)測(cè)，復(fù)習(xí)中應(yīng)注意： 1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決，如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等． 2．運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1，d(或q)，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算． 3．分類討論的思想在本章尤為突出．學(xué)習(xí)時(shí)考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q

4、＝1和q≠1兩種情況等． 4．等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外．如an與Sn的轉(zhuǎn)化，將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(比)數(shù)列來解決等．復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納． 5．深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵．切實(shí)抓好兩個(gè)“特殊數(shù)列”的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程及方法． 6．解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法．如迭代法、逐差(積)求和(商)法、裂項(xiàng)相消法、觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法等，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果． 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式). 2.了

5、解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù). 知識(shí)梳理 一、數(shù)列的定義 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列． 二、數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即 an＝f(n)．?dāng)?shù)列的實(shí)質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})的函數(shù)．通項(xiàng)公式an＝f(n)即為函數(shù)的解析式，其中項(xiàng)數(shù)n相當(dāng)于自變量，項(xiàng)an相當(dāng)于函數(shù)值． 三、遞推公式 如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng)an與它的

6、前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2，…)，那么這個(gè)式子就叫做數(shù)列{an}的遞推公式．如數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋2an－1，其中式子an＝1＋2an－1就是數(shù)列{an}的遞推公式． 四、數(shù)列的表示 1．列舉法：如1,3,5,7,9，…. 2．圖象法：由點(diǎn)(n，an)構(gòu)成． 3．解析法：用通項(xiàng)公式an＝f(n)表示，如an＝2n＋1. 4．遞推法：用前幾項(xiàng)的值與它相鄰的項(xiàng)之間的關(guān)系表示各項(xiàng)，如a1＝1，an＝1＋2an－1. 五、數(shù)列的分類 有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)數(shù)列

7、；有界數(shù)列，無界數(shù)列． 六、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn Sn＝a1＋a2＋…＋an. 注意：前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝g(n)也為n的函數(shù)． 七、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系 an＝ 注意：如果求出的a1也滿足n≥2時(shí)的an，則可統(tǒng)一寫成同一個(gè)關(guān)系式，否則分段書寫． 八、數(shù)列中最大、最小項(xiàng)的求法 若an最大，則若an最小，則也可以考慮數(shù)列的單調(diào)性． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．(2013陜西五校模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2，則a2等于(　　) A．4　　　　　B．2 C．1 D．－2 解析：

8、∵Sn＝2an－2，∴S1＝a1＝2a1－2. 即a1＝2，又S2＝a1＋a2＝2a2－2，∴a2＝4.故選A. 答案：A 2．(2013東莞二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n，若它的第k項(xiàng)滿足2＜ak＜5，則k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n，令n＝1可得S1＝a1＝1－3＝－2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2－3n－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，當(dāng)n＝1時(shí)也滿足an＝2n－4，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－4. 因?yàn)樗牡趉項(xiàng)滿足2＜ak＜5，即2＜2

9、k－4＜5，解得3＜k＜4.5，因?yàn)閚∈N*，所以k＝4，故選C. 答案：C 3．(2012溫州中學(xué)月考)已知數(shù)列中，a1＝4，an=4n－1an－1(n>1，n∈N*)，則通項(xiàng)公式為__________． 解析：當(dāng)n＞1時(shí)，由an＝4n－1an－1可得a2＝4a1，a3＝42a2，a4＝43a3，…，an＝4n－1an－1，上述n－1個(gè)等式相乘，得an＝41＋2＋…＋(n－1)a1＝2n2－n＋2.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4，也符合an＝2n2－n＋2(n∈N*)． 答案：2n2－n＋2(n∈N*) 4．(2012浙江高考參考樣卷)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1

10、，an＝－SnSn－1(n≥2)，則Sn＝________. 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得Sn－Sn－1＝－SnSn－1，即－＝1.又∵＝＝1，∴是以＝1為首項(xiàng)，公差d＝1的等差數(shù)列．∴＝＋(n－1)1＝n. ∴Sn＝. 答案： 1．(2012大綱全國卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) 　 　　　　　　　　　　 　　　　　 　　 A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 解析：由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)得Sn＋1＝Sn，所以{Sn}是以S1＝a1

11、＝1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以Sn＝n－1.故選B. 答案：B 2．若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝______. 解析：最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則有 ∴ ∴ 又∵k∈N*，∴k＝4. 答案：4 1．(2012濟(jì)南月考) 已知數(shù)列{an}滿足a1＝36，an＋1＝an＋2n, 則的最小值為(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：∵ an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋36＝n(n－1)＋36， ∴＝＝n＋－1≥2 －1＝11，當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)，等號(hào)成立．故選B. 答案：B 2．(2013江門一模)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，若?n∈N*，anan＋1＝－2，則an＝__________. 解析：數(shù)列{an}中，由anan＋1＝－2，① 得：an＋1an＋2＝－2，② ②①得： ＝1(n∈N*)， ∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以1為公比的等比數(shù)列， 由a1＝1，且anan＋1＝2，得：a2＝＝－2. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ 答案： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！