2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第四章 第三節(jié)平面向量的數量積 文

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1、 三節(jié)　平面向量的數量積 1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數量積與向量投影的關系. 3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系. 知識梳理 一、平面向量的數量積的定義 1．向量a，b的夾角：已知兩個非零向量a，b，過點O作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夾角． 當且僅當兩個非零向量a，b同方向時，θ＝0°，當且僅當a，b反方向時，θ＝180°，同時零向量與其他任何非零

2、向量的夾角是任意的． 2．a與b垂直：如果a，b的夾角為90°，則稱a與b垂直，記作a⊥b. 3．a與b的數量積：兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，則cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝cos θ，規(guī)定0·a＝0，非零向量a與b當且僅當a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0. 4．b在a方向上的投影：|OP|＝cos θ∈R(注意是射影)． 5．a·b的幾何意義：a·b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積． 1 / 6 二、平面向量數量積的性質 設a，b是兩個非零向

3、量，e是單位向量，于是有： 1．e·a＝a·e＝cos θ. 2．a⊥b?a·b＝0. 3．當a與b同向時，a·b＝；當a與b反向時，a·b＝－，特別地，a·a＝a2＝2，即|a|＝. 4．cos θ＝. 5.≤. 三、平面向量數量積的運算律 1．交換律成立：a·b＝b·a. 2．結合律成立：·b＝λ＝a·(λ∈R)． 3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·. 四、平面向量數量積的坐標表示 1．若a＝(x1，y1)，b＝

4、(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 2．若a＝(x，y)，則|a|2＝a·a＝x2＋y2，＝. 3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝. 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cos θ ＝ . 基礎自測 1．(2013·遼寧卷)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量AB同方向的單位向量為(　　) A. B. C.

5、 D. 解析：＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴與同方向的單位向量為＝. 答案：A 2．(2013·佛山一模)已知a＝(1,2)，b＝(0,1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，則k＝(　　) A．2 B．－2 C．8 D．－8 解析：∵a＝(1,2)，b＝(0,1)，∴a＋2b＝(1,4)， 又因為(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝k－8＝0， 解得k＝8，故選C. 答案：C 3．(2013·山東卷)在平面直角坐標系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)，若∠A

6、BO＝90°，則實數t的值為________． 解析：因為∠ABO＝90°，即⊥， 所以·＝(－)·＝(3,2－t)·(2,2)＝6＋4－2t＝0，解得：t＝5. 答案：5 4．已知平面向量α，β，＝1，＝2，α⊥(α－2β)，則的值是________． 答案： 1．(2013·陜西卷)設a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：a·b＝|a|&#

7、183;|b|·cos θ. 若|a·b|＝|a|·|b|?cos θ＝±1，則向量a與b的夾角為0或π，即a∥b為真； 相反，若a∥b，則向量a與b的夾角為0或π， 即|a·b|＝|a|·|b|. 答案：C 2．(2013·福建卷)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B．2 C．5 D．10 解析：因為·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四邊形的面積為＝＝5，故選C. 答案：C 高考

8、測驗 1．(2012·廣州一模)已知兩個非零向量a與b，定義|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為(　　) A．－8 B．－6 C．8 D．6 解析：由已知可得|a|＝5，|b|＝2，則cos θ＝＝＝，∴sin θ＝.∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝5×2×＝6.故選D. 答案：D 2．(2013·韶關二模)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)；則cos〈a，b〉的值是________． 解析：由題意可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0， 即1－1×2×cos〈a，b〉＝0， 解得cos〈a，b〉＝. 答案： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！