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第四節(jié) 隨機(jī)事件的概率
考點(diǎn)一
隨機(jī)事件的關(guān)系
[例1] (1)一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)不超過3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4”，則( )
A．A與B是互斥而非對立事件
B．A與B是對立事件
C．B與C是互斥而非對立事件[來源:]
D．B與C是對立事件
(2)判斷下列給出的每對事件是互斥事件還是對立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)
2、數(shù)都為1～10)中，任取一張．
①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
③“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．
[自主解答] (1)A∩B＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為所有基本事件的全集)，故事件B、C是對立事件．
(2)①是互斥事件，不是對立事件．
原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．
②既是互斥事件，又是對立事件．
原因：從40
3、張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時發(fā)生的，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．[來源:]
③不是互斥事件，也不是對立事件．
原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．
[答案] (1)D
【方法規(guī)律】
1．互斥事件的理解
(1)互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系．[來源:]
(2)所研究的兩個事件是在一次試驗(yàn)中所涉及的．
(3)兩個事件互斥是從“試驗(yàn)的結(jié)果不能同時出現(xiàn)”來確定的．
2．從集合的
4、角度理解互斥事件和對立事件
(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．
(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.
從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件：
(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；
(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；
(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；
(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”．
解：任取3只球，共有以下4種可能結(jié)果：“3只紅球”，“2只
5、紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”．
(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件．
(2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，可能同時不發(fā)生，故不是對立事件．
(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有一只白球”不可能同時發(fā)生，故互斥．其中必有一個發(fā)生，故對立．
(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對立事件．
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)二 隨機(jī)事件的頻率與概率
1．隨機(jī)事件的
6、頻率與概率有著一定的聯(lián)系，在統(tǒng)計學(xué)中，可通過計算事件發(fā)生的頻率去估算事件的概率，因此，它們也成為近幾年高考的命題熱點(diǎn)．多以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．多為容易題或中檔題．
2．高考對該部分內(nèi)容的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)列出頻率分布表；
(2)由頻率估計概率；
(3)由頻率計算某部分的數(shù)量．
[例2] (2013湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量 Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：
7、
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；
Y
51
48
45
42
頻數(shù)
4
(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg的概率．
[自主解答] (1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株．列表如下：
Y
51
48
45
42
頻數(shù)
2
4
6
8、3
所種作物的平均年收獲量為
＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
【互動探究】
若本例中的條件不變，試估計年收獲量介于[42,48]之間的可能性．
解：依題意知：
法一：P(42≤x≤48)＝P(x＝42)＋P(x＝45)＋P(x＝48)
＝＋＋＝.
法二：P(42≤x≤48)＝1－P(x＝51)＝1－＝.
隨機(jī)事件的頻率與概率的常見類型及解題策略
(1)補(bǔ)全或?qū)懗鲱l率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一
9、計數(shù)，寫出頻率．
(2)由頻率估計概率．可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計概率．
(3)由頻率估計某部分的數(shù)值．可由頻率估計概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．
某射擊運(yùn)動員進(jìn)行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，各次訓(xùn)練的成績?nèi)缦卤恚?
射擊次數(shù)
100
120
150
100
150
160
150
擊中飛碟數(shù)
81
95
123
82
119
127
121
擊中飛碟的頻率
[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中；
(2)這個運(yùn)動員擊中飛碟的概率約為多少？
解：利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率．
(1)射擊
10、次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是＝0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；
(2)擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個運(yùn)動員擊中飛碟的概率約為0.81.
考點(diǎn)三
互斥事件、對立事件的概率
[例3] (2013洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下：
排隊人數(shù)
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？
(2)至少3人排隊等候的概率是多少？
[
11、自主解答] 記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F互斥．
(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則
H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事
12、件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
【方法規(guī)律】
求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法
(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計算．
(2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就會較簡便．
提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)．
某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二
13、等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[來源:]
解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分別為，，.
(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.
∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1張獎券的中獎概率為.
(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或
14、中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個難點(diǎn)——對頻率和概率的理解
(1)依據(jù)定義求一個隨機(jī)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個常數(shù)，而頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．
(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機(jī)事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計”是不同的．也就是說，單獨(dú)一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性．
1個重點(diǎn)——對互斥事件與對立事件的理解
(1)對于互斥事件要抓住如下特征進(jìn)行理解：
①互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系；
②所研究的兩個事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；
③兩個事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果中不能同時出現(xiàn)來確定的．
(2)對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且只有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作.從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即A∪＝U，A∩＝?.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．
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