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第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖
考點一
空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
[例1] 下列結(jié)論中正確的是( )
A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐
B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐
D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線
[自主解答] A錯誤．如圖1所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
B錯誤．如圖2所示，若△ABC不
2、是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．
圖1
圖2
C錯誤．若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形．但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．故選D.
[答案] D
【方法規(guī)律】
解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
給出下列四個命題：
①各側(cè)面都是
3、全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；
②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；
③棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐；
④長方體一定是正四棱柱．
其中正確的命題個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：選A 反例：①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；③若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，故③中不能組成正六棱錐；④顯然錯誤，故選A.
高頻考點
考點二 空間幾何體的三視圖
1．空間幾何體的三視圖是每年高考的熱
4、點，題型為選擇題或填空題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對三視圖的考查常有以下幾個命題角度：
(1)由幾何體的直觀圖求三視圖；
(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖；
(3)由幾何體的三視圖還原出幾何體的形狀．
[例2] (1)(2013·四川高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是( )
(2)(2013·湖南高考)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于( )
A. B．1 C. D.[來源:]
(3)(201
5、3·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為( )
[自主解答] (1)由于俯視圖是兩個圓，所以排除A，B，C，故選D.
(2)由已知，正方體的正視圖與側(cè)視圖都是長為，寬為1的矩形，所以正視圖的面積等于側(cè)視圖的面積，為.
(3)設(shè)O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，將以O(shè)、A、B、C為頂點的四面體補成一正方體后，由于OA⊥BC，所以該幾何體以zOx平面為投影面
6、的正視圖為A.
[答案] (1)D (2)D (3)A
三視圖問題的常見類型及解題策略
(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示．
(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．
(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．
1．底面水平放置的正三棱柱的所有棱長均
7、為2，當(dāng)其正視圖有最大面積時，其側(cè)視圖的面積為( )
A．2 B．3 C. D．4
解析：選A 當(dāng)正視圖的面積達到最大時可知其為正三棱柱某個側(cè)面的面積，可以按如圖所示位置放置，此時側(cè)視圖的面積為2.
2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是( )
解析：選D A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D.
3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為( )
A．2＋
8、 B．1＋
C．2＋2 D．4＋
解析：選D 依題意得，該幾何體的側(cè)視圖的面積等于22＋×2×＝4＋.
考點三[來源:]
空間幾何體的直觀圖
[例3]
如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求△ABC的面積．
[自主解答]
建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy′，△A′B′C′的頂點C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上，把y′軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點C使OC＝2OC′，A、B點即為A′、B′點，長度不變．
已知A′B′
9、＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得＝，
所以O(shè)C′＝a＝a，
所以原三角形ABC的高OC＝a，
所以S△ABC＝×a×a＝a2.
【互動探究】
若本例改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”．應(yīng)如何求？
解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為a××＝a，
故其面積S△A′B′C′＝a×a＝a2.
【方法規(guī)律】
平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關(guān)系
按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形
10、，S原圖形＝2S直觀圖．
記住上述關(guān)系，解題時能起到事半功倍的作用．
有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地
的面積為________．
解析：如圖①，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，
則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.
而四邊形AECD為矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1.
∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可還原原圖形如圖②.
11、
在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴這塊菜地的面積為
S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
答案：2＋
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個特征——三視圖的長度特征
“長對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．[來源:]
2個概念——正棱柱、正棱錐的概念
(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形．
(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正[來源:]
三棱錐叫做正四面體．
3個注意點——畫三視圖應(yīng)注意的三個問題
(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．
(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．
(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．
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