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1、
第31練 三角函數(shù)綜合練
訓練目標
(1)三角函數(shù)圖象、性質的應用；(2)三角函數(shù)與解三角形的綜合．
訓練題型
(1)討論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象、性質；(2)三角變換和三角函數(shù)的結合；(3)三角函數(shù)與解三角形．
解題策略
(1)討論三角函數(shù)的性質，可先進行三角變換，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或復合函數(shù)；(2)解題中貫穿整體代換、數(shù)形結合思想；(3)三角函數(shù)和解三角形的綜合問題，一定要結合正弦、余弦定理，利用三角形中的邊角關系.
一、選擇題
1．若tan α＝2tan ，則等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．
2、已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α等于( )
A. B.
C．－ D．－
3.已知A，B，C，D，E是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)一個周期內的圖象上的五個點，如圖，A，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
4．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin AsinB(2－cosC)＝sin2＋，則△ABC為( )
A．等邊三角形 B．等腰直角三角形
C．銳角非等邊三角形 D．鈍角三角形
5．(
3、20xx全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調，則ω的最大值為( )
A．11 B．9
C．7 D．5
二、填空題
6．已知扇形的周長為4 cm，當它的半徑為________ cm和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________ cm2.
7．當x∈時，函數(shù)y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
8．若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈，α＋β∈，則β＝________.
9.如圖，某氣象儀器研究所按以
4、下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進行該儀器的垂直彈射，觀測點A，B兩地相距100 m，∠BAC＝60，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚 s．在A地測得該儀器至最高點H時的仰角為30，則該儀器的垂直彈射高度CH＝________ m．(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s)
三、解答題
10．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin A－sin C(cosB＋sin B)＝0.
(1)求角C的大??；
(2)若c＝2，且△ABC的面積為，求a，b的值．
答案精析
1．C [＝＝
＝＝＝＝3
5、.]
2．C [∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin αcosα＋4cos2α＝.
用降冪公式化簡得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.故選C.]
3．A [因為A，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，
所以T＝4＝π，所以ω＝2.
因為A，所以0＝sin，
所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又因為0<φ<，所以φ＝.故選A.]
4．B [由正弦定理，得2sin AcosB＝sin C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin AcosB＝sin AcosB＋cosAsi
6、nB，
整理得sin AcosB＝cosAsinB，
∴tan A＝tan B.
又∵A，B∈(0，π)，∴A＝B.
∵sin AsinB(2－cosC)＝sin2＋，
∴sin AsinB＝sin2＋，
∴sin AsinB＝，
∴sin AsinB＝.
∵A＝B，∴sin A＝sin B＝.
∵A，B∈(0，π)，∴A＝B＝.
∵A＋B＋C＝π，∴C＝，
∴△ABC是等腰直角三角形．]
5．B [因為x＝－為f(x)的零點，x＝為f(x)的圖象的對稱軸，所以－＝＋kT，
即＝T＝，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因為f(x)在上單調，
所以－＝≤＝，即ω≤12，
7、由此得ω的最大值為9，故選B.]
6．1 2 1
解析 設扇形的圓心角為α，半徑為r cm，則2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2，
∴S扇形＝|α|r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴當r＝1時，(S扇形)max＝1，此時|α|＝2.
7. 2
解析 ∵x∈，∴sin x∈.
又∵y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－
2(1－sin2x)＝22＋，
∴當sin x＝時，ymin＝；
當sin x＝－或sin x＝1時，ymax＝2.
8.
解析 ∵cosα＝，α∈，
∴sin α＝.
又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈，
∴sin(α＋β)＝，
8、∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin α＝.
又∵α∈，α＋β∈，
∴β∈(0，π)，∴β＝.
9．140
解析 由題意，設AC＝x m，則BC＝x－340＝(x－40) m．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30，∠ACH＝90，所以CH＝ACtan∠CAH＝140(m)．
故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m.
10．解 (1)由題意得，∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)，
∴sin BcosC＋sin CcosB－sin CcosB－sin BsinC＝0，
即sin B(cosC－sin C)＝0，
∵0
高三數(shù)學第31練 三角函數(shù)綜合練
