高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第5章 拓展資料：復(fù)數(shù)問題的六種簡求策略

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1、2019版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 復(fù)數(shù)問題的六種簡求策略 復(fù)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)，它涉及到高中數(shù)學(xué)的很多分支，是每年高考中必考的內(nèi)容，為幫助同學(xué)們掌握這部分內(nèi)容，本文介紹幾種簡求復(fù)數(shù)題的常用方法，供參考。 一、特殊值法 對于含有參數(shù)范圍的題目，可選定參數(shù)范圍內(nèi)一特值代入，進(jìn)行估算，可排除干擾支，確定應(yīng)選支。 例1．當(dāng)＜m＜1時(shí),復(fù)數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 分析：由于＜m＜1,取m=，則z=i,對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選D。 二、運(yùn)用特殊等式 記牢一些常用的

2、特殊等式，如（1i）2=2i，（）3=1等，有助于復(fù)數(shù)運(yùn)算題的快速解決。 例2．計(jì)算（1－i）6（）97 解：原式=[（1-i ）2]3（）96（） =（-2i）3（－）332（） =8i（）=－4－4i 三、運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)很多，如z為實(shí)數(shù)z=，z為純復(fù)數(shù)z=-，z=|z|2等，若能靈活運(yùn)用，可簡化解題。 例3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，求|z2-z+4|的最大值和最小值。 解析：由|z|=2，得|z|2=z=4，則|z2-z+4|=|z2-z+z|=|z（z-1+）|=2|（z -1+|，若設(shè)z=a+bi（-2≤a≤2，-2≤b≤2），則|z2-z+4|=2

3、|a+bi-1+a-bi|=2|2a-1|。 ∴當(dāng)a=時(shí)，|z2-z+4|min=0，當(dāng)a=－2時(shí)，|z2－z+4|max=10 四、兩邊同取模 如果一個(gè)復(fù)數(shù)等式中，一邊能夠表示成實(shí)部和虛部，采用兩邊取模后，可將虛數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題。 例4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+||=2+ i，那么z等于（ ） A．+i B．-i C． D． 分析：原關(guān)系式可化為z=2-||+i，又|z|=||且為實(shí)數(shù)，兩邊取模得|z|=，解得|z|=，則z=2-+i=+ i，故應(yīng)選D。 五、運(yùn)用整體思想 有些復(fù)數(shù)問題，若從整體上去觀察、分析題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，充分利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)，對問

4、題進(jìn)行整體處理，可得妙解。 例5．求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z①z +是實(shí)數(shù)，且1＜z+≤6，②z的實(shí)部與虛部均為整數(shù)。 解析：觀察給出式，可設(shè)μ=z+，則μ∈R，且1＜μ≤6，整理得z2- μz+10=0，則△=μ2-40＜0，由求根公式得z=i由條件②知是整數(shù)，則μ=2，或4或6，當(dāng)μ=2時(shí)，z=13i，當(dāng)μ=4時(shí)，z=2i（不合題意，舍去），當(dāng)μ=6時(shí)，z=3i故滿足條件的復(fù)數(shù)z=13i，或z=3i。 六、活用復(fù)數(shù)的幾何意義 在深刻理解復(fù)數(shù)幾何意義的基礎(chǔ)上，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，借助幾何圖形的直觀化可快速解題。 例6．已知z1、z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2i，則|z1-z2|的最大值是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 分析：由|z1|=1，且z1=2i-z2知|z2-2i|=1，根據(jù)模的幾何意義知z1、z2分別在單位圓及以2i為圓心的圓上，則z1、z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間距離|z1-z2|的最大值為兩圓的連心線長加上兩圓的半徑長即|z1-z2| max =2+2=4，故選C。