同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習：第五章 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 Word版含解析

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1、課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21　　　　　　　 B．42 C．63 D．84 解析：設數(shù)列{an}的公比為q，則a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故選B. 答案：B 2．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：由題知公比q≠1，則S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝

2、9，又a5＝a1q4＝9，則a1＝，故選C. 答案：C 3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則等于(　　) A．－3 B．5 C．－31 D．33 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則由已知得q≠1. ∵S3＝2，S6＝18， ∴＝，得q3＝8， ∴q＝2.∴＝＝1＋q5＝33，故選D. 答案：D 4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，則m＝(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 解析：am＝a1a2a3a4＝aqq2q3＝24×26＝210＝2m，所以m＝10，故選B

3、. 答案：B 5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖像上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項和為Tn，則下列結論正確的是(　　) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1 C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1 解析：因為點(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖像上，所以Sn＝3·2n－3，所以an＝3·2n－1，所以bn＋bn＋1＝3·2n－1，因為數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，設公比為q，則b1＋b1q＝3，b2＋b2q＝6，解得b1＝1，q＝2，

4、所以bn＝2n－1，Tn＝2n－1，所以Tn＜bn＋1，故選D. 答案：D 6．(2018·鄭州質檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a＝2a3a6，S5＝－62，則a1的值是 ． 解析：設{an}的公比為q.由a＝2a3a6得(a1q4)2＝2a1q2·a1q5，∴q＝2，∴S5＝＝－62，a1＝－2. 答案：－2 7．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，則公比q＝ . 解析：因為等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列且a1＝－2<0，所以0<q<1，將3(an＋an＋2)

5、＝10an＋1兩邊同除以an可得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝，而0<q<1，所以q＝. 答案： 8．若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝ . 解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3， ∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝， ∵a1＝1，∴an＝. 答案： 9．(2018·昆明市檢測)數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＋2an＝3. (1)證明{an－1}是等比

6、數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)已知符號函數(shù)sgn(x)＝設bn＝an·sgn(an)，求數(shù)列{bn}的前100項和． 解析：(1)因為an＋1＝－2an＋3，a1＝－1， 所以an＋1－1＝－2(an－1)，a1－1＝－2， 所以數(shù)列{an－1}是首項為－2，公比為－2的等比數(shù)列． 故an－1＝(－2)n，即an＝(－2)n＋1. (2)bn＝an·sgn(an)＝ 設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，則S100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2. 10．(201

7、8·合肥質檢)在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*. (1)求證：數(shù)列{}為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解析：(1)證明：由an＋1＝an知＝·， ∴{}是以為首項、為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知{}是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴＝()n，∴an＝， ∴Sn＝＋＋…＋，① 則Sn＝＋＋…＋，② ①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－＝1－， ∴Sn＝2－. B組——能力提升練 1．(2018·長春調(diào)研)等比數(shù)列{an}中，a3＝9，前三項和S3＝27，則公比q的值為 (　　) A．1 B．－ C．1

8、或－ D．－1或－ 解析：當公比q＝1時， a1＝a2＝a3＝9， ∴S3＝3×9＝27. 當q≠1時，S3＝， ∴27＝ ∴a1＝27－18q， ∴a3＝a1q2， ∴(27－18q)·q2＝9， ∴(q－1)2(2q＋1)＝0， ∴q＝－. 綜上q＝1或q＝－.選C. 答案：C 2．數(shù)列{an}滿足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，則λ的值等于(　　) A．1 B．－1 C. D．2 解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，所以＝1

9、，得λ＝2. 答案：D 3．(2018·彬州市模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－a，則a＋a＋…＋a＝(　　) A．(2n－1)2 B.(2n－1) C．4n－1 D.(4n－1) 解析：∵Sn＝2n－a，∴a1＝2－a，a1＋a2＝4－a，a1＋a2＋a3＝8－a， 解得a1＝2－a，a2＝2，a3＝4， ∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴22＝4(2－a)，解得a＝1. ∴公比q＝2，an＝2n－1，a＝22n－2＝4n－1. 則a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 答案：D 4．設數(shù)列{an}是公比為q(|q|＞1)的等比數(shù)列，令bn＝an＋1

10、(n∈N*)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則q＝(　　) A. B．－ C．－ D．－ 解析：數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，且bn＝an＋1(n∈N*)，∴an＝bn－1， 則{an}有連續(xù)四項在{－54，－24,18,36,81}中， ∵數(shù)列{an}是公比為q(|q|＞1)的等比數(shù)列， 等比數(shù)列中有負數(shù)項，則q＜0，且負數(shù)項為相隔兩項 ∵|q|＞1，∴等比數(shù)列各項的絕對值遞增，按絕對值的順序排列上述數(shù)值18，－24,36，－54,81， 相鄰兩項相除＝－，＝－，＝－，＝－， ∵|q|＞1，∴

11、－24,36，－54,81是{an}中連續(xù)的四項，此時q＝－. 答案：C 5．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝ . 解析：由S3＋3S2＝0，得a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，即4a1＋4a2＋a3＝0，即4a1＋4a1q＋a1q2＝0，即q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2. 答案：－2 6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝2log3＋1，求＋＋…＋. 解析：(1)當n＝1時，a1＝a1－1，∴a1＝2， 當n≥2時，∵Sn＝an－1，① ∴

12、Sn－1＝an－1－1(n≥2)，② ①－②得an＝(an－1)－(an－1－1)， 即an＝3an－1， ∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＝2×3n－1. (2)由(1)得bn＝2log3＋1＝2n－1， ∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝. 7．數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，若數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，求證：Tn<2. 解析：(1)由題設得＝·，又＝2，所以數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝. (2)證明：bn＝＝＝， 因為對任意n∈N*,2n－1≥2n－1， 所以bn≤. 所以Tn≤1＋＋＋＋…＋ ＝2<2.