人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：55 數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、 精品資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點，則b8＋a9＝(　　) A．24　　　　　　　　　 B．32 C．48 D．64 解析：依題意有，an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，又a1＝1，故a2＝2，a3＝2，a4＝22，a5＝22，a6＝23，a7＝23，a8＝24，a9＝24，故b8＋a9＝(a8＋a9)＋a9＝a8＋2a9＝3×24＝48. 答案：C 2．已知

2、數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比q≠1，若a4＝b4，a12＝b12，則(　　) A．a(chǎn)8＝b8 B．a(chǎn)8>b8 C．a(chǎn)8<b8 D．a(chǎn)8>b8或a8<b8 解析：∵{bn}為等比數(shù)列，其公比q≠1，∴b4≠b12， ∴a4≠a12，∴a8＝ > ＝ ＝b8. 答案：B 3．已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝(　　) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．1 解析：由題意可知，an＋1＋an－

3、1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù))，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2. 答案：C 4．(2013年高考遼寧卷)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題： P1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； P2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； P3：數(shù)列{}是遞增數(shù)列； P4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 解析：設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命

4、題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題． 答案：D[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 5．(2014年保定調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列，若b＝，則a＋c的最大值為(　　) A. B．3 C．2 D．9[來源:] 解析：∵acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列， ∴2bcos B＝acos C＋ccos A， ∴cos

5、B＝，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3·2＝，即3≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立， ∴a＋c≤2. 答案：C 6．若關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0與x2－x＋b＝0(a≠b)的四個根組成首項為的等差數(shù)列，則a＋b的值是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)兩個方程的根分別為x1、x4和x2、x3. 因為x1＋x4＝x2＋x3＝1，所以x1＝，x4＝，從而x2＝，x3＝. 則a＝x1x4＝，b＝x2x3＝，或a＝，b＝，∴a＋b＝＋＝. 答案：D 二、填空題 7．(2013年高考重慶卷)已知{an}是等差數(shù)列，a

6、1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 解析：因為{an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 答案：64 8．《九章算術(shù)》之后，人們進(jìn)一步用等差數(shù)列求和公式來解決更多的問題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)，共織390尺布”，則每天比前一天多織________尺布．(不作近似計算) 解析：由題意知，a1＝5，n＝30，Sn＝390＝30×

7、;5＋d?d＝. 答案： 9．(2014年合肥模擬)已知數(shù)列{an}滿足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________.[來源:] 解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，an＋1an＋2an＋3·an＋4＝24，得an＋4＝an，所以數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列，再令n＝1，求得a4＝4，每四個一組可得(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013＝10×503＋1＝5 031. 答案：5 031 三、解答題 10．(2

8、014年大同模擬)已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前6項和S6＝21，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列． (1)求an； (2)設(shè){bn}是首項為2，公差為－a1的等差數(shù)列，其前n項和為Tn，求不等式Tn－bn>0的解集． 解析：(1)∵4a1，a2，a2成等差數(shù)列，∴4a1＋a2＝3a2， 即4a1＝2a2，∴q＝2. 則S6＝＝21，解得a1＝，∴an＝. (2)由(1)得－a1＝－， ∴bn＝2＋(n－1)＝， Tn＝2n＋(n－1)·＝， ∴Tn－bn>0，即－>0，解得1<n<14(n∈N*)， 故不等式Tn－bn>0的

9、解集為{n∈N*|1<n<14}． 11．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值． 解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，∴a2＋a4＝20， ∴，解得或.又?jǐn)?shù)列{an}單調(diào)遞增，∴q＝2，a1＝2，∴an＝2n. (2)由題意知bn＝2n·log2n＝－n

10、·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① ∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② ∴①－②得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2， ∵Sn＋n·2n＋1>50，∴2n＋1－2>50，∴2n＋1>52，又當(dāng)n≤4時，2n＋1≤25＝32<52，當(dāng)n≥5時，2n＋1≥26＝64>52.故使Sn＋n·2

11、n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5. 12．(能力提升)(2013年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 解析：(1)依題意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4. (2)當(dāng)n≥2時，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n， 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)， 兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)a

12、n＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1， 故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，[來源:] 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2. (3)證明：當(dāng)n＝1時，＝1<； 當(dāng)n＝2時，＋＝1＋＝<； 當(dāng)n≥3時，＝<＝－，此時 ＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<. 綜上，對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差數(shù)列，則q的值為(　　) A. B. C. D.或 解析：∵a2，a3，

13、a1成等差數(shù)列，∴a3＝a1＋a2，∴q2＝1＋q，∴q＝或q＝，等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，∴q＝不滿足題意，舍去，∴q＝. 答案：C[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 2．(2014年成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項和為(　　) A．0 B．－9 C．9 D．1 解析：由數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*可知該數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)題意可知只要該數(shù)列中a5＝，數(shù)列{yn}的前9項和就能計算得到一個定值，又因為f(x)＝sin 2

14、x＋1＋cos x，則可令數(shù)列{an}的公差為0，則數(shù)列{yn}的前9項和為S9＝(sin 2a1＋sin 2a2＋…＋sin 2a9)＋(cos a1＋cos a2＋…＋cos a9)＋9＝9sin 2a5＋9cos a5＋9＝9sin＋9cos ＋9＝9. 答案：C 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝x2＋x的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，不等式Tn>loga(1－a)對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)∵點(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋x的圖象上， ∴Sn＝n2＋n，① 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，② ①－②得an＝n. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝＋＝1，符合上式， ∴an＝n. (2)由(1)得＝＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋… ＋＋ ＝＝－. ∵Tn＋1－Tn＝>0，∴數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增． ∴(Tn)min＝T1＝. 要使不等式Tn>loga(1－a)對任意正整數(shù)n恒成立，只要>loga(1－a)即可． ∵1－a>0，∴0<a<1，∴1－a>a，即0<a<， ∴實數(shù)a的取值范圍是.