高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第三節(jié)二項式定理突破熱點題型

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1、 精品資料 第三節(jié)　二項式定理 高頻考點 考點一 求二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù) 　　 　 1．二項式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點，也是高考命題的熱點，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對二項式定理的考查主要有以下幾個命題角度： (1)求二項展開式中的第n項； (2)求二項展開式中的特定項； (3)已知二項展開式的某項，求特定項的系數(shù)． [例1]　(1)(2013江西高考)5展開式中的常數(shù)項為(　　) A．80 B．－80 C．40

2、 D．－40 (2)(2013遼寧高考)使n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [自主解答]　(1)此二項展開式的通項為Tr＋1＝C(x2)5－r(－1)r2rx－3r＝C(－1)r2rx10－5r.因為10－5r＝0，所以r＝2，所以常數(shù)項為T3＝C22＝40. (2)Tr＋1＝C(3x)n－rx－r＝C3n－rxn－r－r＝C3n－rxn－(r＝0,1,2，…，n)，若Tr＋1是常數(shù)項，則有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，當(dāng)r＝0,1時，n＝0，，不滿足條件；當(dāng)r＝

3、2時，n＝5.[來源:] [答案]　(1)C　(2)B 【互動探究】 若本例(2)中的條件“n∈N*”改為“n≥3”，其他條件不變，則展開式中的有理項最少有________項． 解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr＋1＝C3n－rxn－(r＝0,1,2，…，n)． 即當(dāng)為整數(shù)時，Tr＋1為有理項．顯然當(dāng)n＝3時，r的取值最少，有r＝0，r＝2， 即有理項為T1、T3兩項． 答案：2　　　　　 求二項式展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的第n項．可依據(jù)二項式的通項公式直接求出第n項． (2)求展開式中的特定項．可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定

4、項的特點求出r值即可． (3)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)．可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù)． 1．若二項式n的展開式中第5項是常數(shù)項，則正整數(shù)n的值可能為(　　) 　A．6 B．10 C．12 D．15 解析：選C　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 當(dāng)r＝4時，＝0，又n∈N*，所以n＝12. 2．(2014昆明模擬)(1－)4的展開式中x的系數(shù)是________． 解析：(1－)4的展開式中x的項為C10(－)4＋xC14(－)0＝2x＋x＝3x.所以x的系數(shù)為3. 答案：3 考點二

5、 二項式系數(shù)或各項系數(shù)和 　 　 [例2]　(1)(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8[來源:] (2)若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________. [自主解答]　(1)由題意得：a＝C，b＝C， 所以13C＝7C，∴＝， ∴＝13，解得m＝6，經(jīng)檢驗為原方程的解，選B. (2)由C＝C，得3n＋1＝n＋6

6、(無整數(shù)解)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，問題即轉(zhuǎn)化為求(3－x)4的展開式中各項系數(shù)和的問題，只需在(3－x)4中令x＝－1即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256. [答案]　(1)B　(2)256 【方法規(guī)律】 賦值法的應(yīng)用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f

7、(1)， 奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 1．設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大的項是(　　) A．15x3 B．20x3 C．21x3 D．35x3 解析：選B　在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn中，令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an. 令x＝0，得1＝a0，∴a1＋a2＋…＋an＝2n－1＝63，∴n＝6. 而(1＋x)6的展開式中系數(shù)最大的項為T4＝Cx3＝20x3. 2．(2014麗水模擬)若(1－2x)2 014＝a0

8、＋a1x＋…＋a2 013x2 013＋a2 014x2 014(x∈R)，則＋＋…＋＋的值為(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：選C　令x＝0，則a0＝1，令x＝， 則a0＋＋＋…＋＋＝0，∴＋＋…＋＋＝－1.[來源:] 考點三 二項式定理的應(yīng)用 　 [例3]　(1)已知2n＋23n＋5n－a能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；[來源:數(shù)理化網(wǎng)] (2)求1.028的近似值．(精確到小數(shù)點后三位) [自主解答]　(1)∵2n＋23n＋5n－a＝42n3n＋5n－a ＝46n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ＝4(

9、C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a， 顯然正整數(shù)a的最小值為4. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C0.02＋C0.022＋C0.023≈1.172. 【方法規(guī)律】 1．整除問題的解題思路 利用二項式定理找出某兩個數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除性問題和余數(shù)問題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項式，并將它展開進(jìn)行分析判斷． 2．求近似值的基本方法 利用二項式定理進(jìn)行近似計算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時，(1＋x)n≈1＋nx. 求證： (1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈

10、N*)； (2)3n>(n＋2)2n－1(n∈N*，n>2)． 證明：(1)∵32n＋2－8n－9＝3232n－8n－9 ＝99n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9 ＝9(C8n＋C8n－1＋…＋C8＋C1)－8n－9 ＝9(8n＋C8n－1＋…＋C82)＋98n＋9－8n－9 ＝982(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋64n ＝64[9(8n－2＋C8n－3＋…＋C)＋n]， 顯然括號內(nèi)是正整數(shù)，故原式能被64整除． (2)因為n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展開后至少有4項． (2＋1)n＝2n＋C2n－1＋…＋C2＋1≥2n＋n2n－1＋2n＋1>2n＋n

11、2n－1＝(n＋2)2n－1， 故3n>(n＋2)2n－1(n∈N*，n>2)．[來源:] ————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]—————————— 1個公式——二項展開式的通項公式 　通項公式主要用于求二項式的特定項問題，在運用時，應(yīng)明確以下幾點： (1)Can－rbr是第r＋1項，而不是第r項； (2)通項公式中a，b的位置不能顛倒； (3)通項公式中含有a，b，n，r，Tr＋1五個元素，只要知道其中的四個，就可以求出第五個，即“知四求一”． 3個注意點——二項式系數(shù)的三個注意點 　(1)求二項式所有系數(shù)的和，可采用“賦值法”； (2)關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法； (3)展開式中第r＋1項的二項式系數(shù)與第r＋1項的系數(shù)一般是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運算要細(xì)心，以防出錯．