數(shù)值計算課程設(shè)計-擬合方法與擬合函數(shù)的選取(共14頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 題目：擬合方法與擬合函數(shù)的選取 班級： 數(shù)101班 數(shù)102班 數(shù)101班 指導(dǎo)教師： 譚高山 提交日期：2013年5月 13日 專心---專注---專業(yè) 目錄 一、擬合問題的提出……………………………………………….1 二、擬合準(zhǔn)則……………………………………………………….1 三、擬

2、合函數(shù)的選取..…………………………………………….1 四、函數(shù)擬合實(shí).………………………………………………….2 4.1 多項式擬合……………………………………………………2 4.2 指數(shù)與復(fù)合函數(shù)擬合.....………………………………………4 4.3 分段擬合………………………………………………………7 五、總結(jié)…………………………………………………………..12 六、參考文獻(xiàn)……………………………………………….…….12 一、 擬合問題的提出 在很多科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，我們通過測量或觀察等方法獲得一組看上去雜亂無

3、章的數(shù)據(jù)，為了找出這些數(shù)據(jù)之間的某種規(guī)律和聯(lián)系，即尋找一個較簡單的函數(shù)曲線，使之在一定準(zhǔn)則下最接近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，以便突顯各數(shù)據(jù)點(diǎn)的先后變化趨勢，由此便產(chǎn)生了曲線擬合的概念。 曲線擬合在實(shí)際中有著很廣泛的實(shí)用價值。因?yàn)槲覀兯@取的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)本身往往帶有測量誤差，難免會出現(xiàn)個別數(shù)據(jù)誤差過大的現(xiàn)象。相比于插值法，曲線擬合時，不要求曲線嚴(yán)格地經(jīng)過每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣就能有效降低個別數(shù)據(jù)對整體數(shù)據(jù)規(guī)律的干擾作用；另外，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往很多，插值法會比較繁雜，擬合方法則更實(shí)際更高效。 2、 擬合準(zhǔn)則 在曲線擬合中，有幾種不同的誤差準(zhǔn)則： 1.最大誤差: 2.

4、 平均誤差 3. 均方根誤差 4. 誤差平方和 通過求誤差的最小值，可得該準(zhǔn)則下的最佳擬合曲線。由于誤差平方和容易進(jìn)行最小化計算，故而我們通常采用該標(biāo)準(zhǔn)，稱之為最小二乘準(zhǔn)則。以下課程實(shí)驗(yàn)都是在最小二乘準(zhǔn)則下實(shí)現(xiàn)的。 三、擬合函數(shù)的選取 曲線擬合時，首要也最關(guān)鍵的一步就是選取恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)。對于一組給定的數(shù)據(jù)，我們可以先做出其散點(diǎn)圖，判斷應(yīng)該采用什么樣的曲線來作擬合，然后在直觀判斷的基礎(chǔ)上，選取多組曲線分別作擬合，然后比較，看哪條曲線的最小二乘指標(biāo)最小，也即擬合的最好。 一般來說，選取多項式作為擬合曲線，是簡單且常用的。MATLAB中有現(xiàn)成的多項式擬合程序，調(diào)

5、用格式為f=polyfit(x,y,n)，其中輸入?yún)?shù)x，y為要擬合的數(shù)據(jù)，n為擬合多項式的系數(shù)，輸出參數(shù)f為擬合多項式的系數(shù)向量。 對于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的擬合曲線，我們可以先通過線性變換將之轉(zhuǎn)換成簡單的線性函數(shù)，接著再用多項式擬合的命令f=polyfit(x,y,n)來實(shí)現(xiàn)函數(shù)的擬合。下面表格列舉兩個線性變換的例子： 原函數(shù)y 化為線性函數(shù)Y=AX+B型 變量與常量的變化 4、 函數(shù)擬合實(shí)例 4.1多項式擬合 例1.給定一組數(shù)據(jù)點(diǎn) 如下表： -1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2

6、 2.9 3.8 4.2 7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24 首先，我們在MATLAB中輸入程序 >> x=[-1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2 2.9 3.8 4.2];y=[7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24]; plot(x,y,'b*'),xlabel('x'),ylabel('y') title('表中數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）的散點(diǎn)圖'

7、;) 運(yùn)行后得表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下(圖中*表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)）: 因?yàn)閿?shù)據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢與二次多項式很接近，所以可選用二次多項式作為擬合曲線，設(shè)f(x)=ax^2+bx+c。編程: >> x=[-1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2 2.9 3.8 4.2];y=[7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24]; f=polyfit(x,y,2);a=f(1),b=f(2),c=f(3) X=-1.5:0.01:4.2;Y=polyval(f,X);f=polyval(f,x); fy=abs(f

8、-y);E=sum((fy.^2)) plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') title('擬合直線與數(shù)據(jù)點(diǎn)結(jié)合圖') 運(yùn)行后得： a = 1.9974; b =0.0021; c = 3.0188; E = 0.0097 生成如下圖形： 即擬合多項式為：f=1.9974x^2+0.0021x+3.0188; 誤差很小，只有0.0097. 4.2 指數(shù)與復(fù)合函數(shù)擬合 例2.給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)如下表： xi 2.7 0

9、.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3 yi 2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37 在MATLAB中輸入程序: >> x=[2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3];y=[2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37]; >> plot(x,y,'b*'),axis([0,3,0,12]) 得散點(diǎn)圖： 據(jù)圖，我們?nèi)煞N擬合函數(shù)分別為 和 ： （1） 設(shè) ，在MATLAB中輸入程序

10、>> x=[2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3];y=[2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37]; Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B X=0:0.01:3;Y=a*exp(-b.*X);f=a*exp(-b.*x); plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') legend('數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi,yi)','擬合曲線

11、Y=f(x)') title('數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)和擬合曲線Y=f(x)的圖形') fy=abs(f-y);E1=sum((fy.^2)) 得： a =10.7441; b =0.5460; E1 = 1.3072. （2） 設(shè) ，在MATLAB中輸入程序 x=[2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3];y=[2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37]; Y=1./y;f=polyfit(x,Y,1);a=f(1),b=f(2) X=0:

12、0.01:3;Y=1./(a.*X+b);f=1./(a.*x+b); plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') Legend('數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi,yi)','擬合曲線Y=f(x)') Title('數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)和擬合曲線Y=f(x)的圖形') Fy=abs(f-y);E2=sum((fy.^2)) 得： a =0.1089; b =0.0720; E2 =0.0097. 因?yàn)镋1〉E2，顯然第二種

13、擬合曲線的誤差較小，擬合效果更佳。 4.3 分段擬合 實(shí)際中的很多科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其擬合函數(shù)都比較稍顯復(fù)雜，下面我們來列舉一例。 例3. 革螨在不同濃度的甲酚皂液的平均致死時間如下表顯示： X甲酚皂液的濃度（%） Y革螨的平均死亡時間（min） 0.100 50.4 0.150 41.2 0.175 33.6 0.200 19.0 0.300 11.6 0.400 10.6 0.500 8.4 0.600 6.8 0.700 6.2 1.000 4.8 5.000 2.2 10.000 1.2 用MATLAB作散點(diǎn)圖：

14、 分析上圖可知，曲線的兩端都含有漸近線，故全段擬合曲線中一定含有指數(shù)項。 >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 1.000 5.000 10.000]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2 4.8 2.2 1.2]; Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B X=0:0.01:10;Y=a*exp(-b.*X);f=a*exp(-b.*x); plot(x,y,

15、9;r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') legend('數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi,yi)','擬合曲線Y=f(x)') title('數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)和擬合曲線Y=f(x)的圖形') fy=abs(f-y);E1=sum((fy.^2)) 得:a =15.6609; b =0.2978; E1 =2.4705e+003 即擬合函數(shù)為： 顯然，擬合效果不佳。進(jìn)一步分析可以看出，前9個點(diǎn)有一條漸近線，而后

16、3個點(diǎn)有一條漸近線?？蓪⒁獢M合的曲線分為二段，前9個點(diǎn)為前段，后3個點(diǎn)為后段。我們可以分別對前9個點(diǎn)和后3個點(diǎn)進(jìn)行直線化。以x為橫坐標(biāo)，lny 為縱坐標(biāo)，做散點(diǎn)圖plot(x,log(y),'b*')得 可以看出后三個點(diǎn)明顯呈直線趨勢，我們先對后三個點(diǎn)進(jìn)行直線化。擬合的方法和前面相同，在MATLAB中輸入 x=[1.000 5.000 10.000]; y=[ 4.8 2.2 1.2]; Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B 得：a =5.2635；b =0.1527；即

17、 從圖3發(fā)現(xiàn)前9個點(diǎn)仍呈曲線趨勢，需要進(jìn)一步線性化。具體步驟如下：利用(4)求得前9個點(diǎn)處的函數(shù)值y’，再把實(shí)際數(shù)據(jù)中的前9個值減去y’。即得y”=y-y’，然后取其對數(shù)值ln(y”)，用MATLAB作出這些點(diǎn)圖象，在MATLAB下不需要一個個去求，只要在命令窗口輸入如下命令： >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2]; plot(x,log(y-(5.2635.*exp(-0.1527*x))

18、,'b*') 得： 可以發(fā)現(xiàn)這9個點(diǎn)成一定的曲線趨勢，利用x和 y的值可建立起直線回歸方程。只要在MATLAB下用同樣的方法再次求指數(shù)擬合 >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2]; Y=log(y-(5.2635.*exp(-0.1527.*x)));f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B 得a = 62.55659；b = 5

19、.7270；即 由于前段各點(diǎn)在后段直線的上方，故最終的擬合函數(shù)應(yīng)為y=（4）+（5）， 即 在MATLAB中做出散點(diǎn)和擬合曲線 >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 1.000 5.000 10.000]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2 4.8 2.2 1.2]; X=0:0.01:10;Y=5.2635.*exp(-0.1527.*X)+62.55659.*exp(-5.7270.*X); 得下圖： 顯然，所求擬合函數(shù)令人滿意。 五、總結(jié) 函數(shù)擬合是一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法，例如，可以用來尋求血藥濃度變化規(guī)律，用來測定彈簧彈力與伸長量之間的關(guān)系等等，總之它涉及生活學(xué)習(xí)的方方面面。另外，在實(shí)例分析中，我們通常都能先根據(jù)邏輯方法確定數(shù)據(jù)之間遵循的函數(shù)類型，所以很多時候只需確定一種擬合函數(shù)即可。值得注意的是，要學(xué)會通過不同途徑去盡量減少函數(shù)擬合的誤差。 六、參考文獻(xiàn) 1.《數(shù)值分析》第七版，Richard L.Burden，J.Douglas Faires，高等教育出版社。 2.《數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)》，任玉杰著，高等教育出版社。