【名師教案1】5.6應(yīng)用一元一次方程--能追上小明嗎

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1、 5. 6應(yīng)用一元一次方程--能追上小明嗎 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 1．進(jìn)一步掌握列方程解應(yīng)用題的步驟． 2．能充分利用行程中的速度、路程、時間之間的關(guān)系列方程解應(yīng)用題． (二)水平訓(xùn)練要求 1．借助“線段圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程，解決實(shí)際問題，發(fā)展分析問題、解決問題的水平． 2．進(jìn)一步體會方程模型的作用，提升應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識． 3．培養(yǎng)學(xué)生文字語言、圖形語言、符號語言這三種語言的轉(zhuǎn)換的水平． (三)情感與價值觀要求 通過開放性的問題，為學(xué)生提供思維的空間，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，團(tuán)隊(duì)精神和克服困難的勇氣． ●教學(xué)重點(diǎn) 1．借助“線段

2、圖”分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系．從而建立方程，解決實(shí)際問題． 用“線段圖”分析復(fù)雜問題中的等量關(guān)系，從而建立方程． ●教學(xué)方法 教師啟發(fā)與學(xué)生自主探索相結(jié)合． 教師先從簡單問題出發(fā)，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生用“線段圖”去尋找路程問題中的等量關(guān)系，從而學(xué)生在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下自主探索復(fù)雜問題的解決過程，建立數(shù)學(xué)模型． ●教具準(zhǔn)備 投影片三張 第一張：(記作5．6A)填空 第二張：(記作5．6B)想一想、試一試 第三張：(記作5．6C)議一議 ●教學(xué)過程 Ⅰ．提出問題，引入新課 出示投影片(5．6A) 做一做： 1．若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_____米． 2．小明用4分

3、鐘繞學(xué)校操場跑了兩圈(每圈400米)，那么他的速度為_____米/分． 3．小明家距離火車站1500米，他以4米/秒的速度騎車到達(dá)火車站需_____分鐘． ［師］上面3個小題都是關(guān)于路程、速度、時間的問題，那么它們之間有何關(guān)系呢？ ［生］路程=速度時間．知道這三個量中的兩個就能夠求出另一個． ［師］很棒．那么我們就用這個同學(xué)所說的關(guān)系來解答上面的三個小問題． ［生］(1)已知速度、時間，求路程．所以小明5秒能跑4米/秒5秒=20米． (2)已知時間、路程求速度．所以小明的速度為400米4分=100米/分． (3)已知路程、速度求時間．所以小明騎車到車站需要1500米4米/秒=3

4、75秒=6．25分． ［師］下面我們就來根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系來討論幾個較為復(fù)雜的問題． Ⅱ．講授新課 出示投影片(5．6B) 想一想，試一試 ［例1］小明和小彬每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米． (1)如果他們站在百米跑道的兩端同時相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？ (2)如果小明站在百米跑道的起跑處，小彬站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明能追上小彬？ ［師生共析］已知小彬和小明的速度分別為4米/秒，6米/秒． (1)兩人從百米跑道的兩端同時相向起跑，相遇時，兩人所跑的路程的和是100米．所以要解決這個問題，必須抓住這個等量關(guān)系．我們畫出線

5、段圖，能夠使他們的關(guān)系更加直觀，等量關(guān)系更加清晰．如下圖 所以等量關(guān)系為：小明所跑的路程+小彬所跑的路程=100米．接下來我們只要把這個等量關(guān)系用數(shù)學(xué)符號——方程表示出來即可．設(shè)兩人x秒后可相遇，則小明跑的路程就為6x米，小彬跑的路程為4x米，由此得到方程4x+6x=100． (2)如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，而小彬在他前面10米處，當(dāng)小明追上小彬時，小彬比小明少跑10米．在解決此問題時，只要抓住這個等量關(guān)系便可．為了使問題更直觀，我們不妨也用線段圖來表示，使等量關(guān)系更清晰．如下圖： 所 以等量關(guān)系為：小明跑的路程-小彬跑的路程=10米．如果設(shè)小明x秒可追上小彬，則小明跑的

6、路程為6x，小彬跑的路程為4x，則得到方程6x-4x=10． (由學(xué)生根據(jù)分析寫出解答過程) 解：(1)設(shè)小明和小彬x秒后相遇，根據(jù)題意得6x+4x=100， 解，得x=10 所以經(jīng)過10秒兩人相遇． (2)設(shè)小明x秒追上小彬，根據(jù)題意，得6x-4x=10 解，得x=5 所以小明5秒就追上了小彬． ［師］由例1我們能夠看到，在審題的過程中，如果能把文字語言變成圖形語言——線段圖，能夠使題中的等量關(guān)系“浮”出水面，最后我們只需設(shè)出未知數(shù)，把等量關(guān)系用符號語言表示出來，便得到了方程． 在我們的生活中，一些同學(xué)養(yǎng)成一種很不好的習(xí)慣——丟三落四．常害得父母親操心．小明今天就犯了這樣的

7、錯誤：小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分的速度出發(fā)．5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書．于是，小明的爸爸立即為180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．問：(1)爸爸追上小明用了多長時間？(2)追上小明時，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？ 同學(xué)們可仿照例1的方法，畫出線段圖去分析題目中的等量關(guān)系． ［生］我認(rèn)為小明的爸爸追上小明時，他們父子二人所行駛的路程是相等的． ［師］你能到黑板上畫出這個問題的線段圖嗎？ ［生］能夠．如果設(shè)爸爸追上小明用了x分鐘，則可畫得線段圖：(黑板上板演) 所以，根據(jù)題意，小明5分鐘行駛的路程為：805米；爸爸開

8、始追小明到追上，小明行駛的路程為80x米；小明的爸爸追上小明行駛的路程180x米．相等關(guān)系為：小明行駛的路程=爸爸行駛的路程即805+80x=180x． ［師］下面同學(xué)們在自己的練習(xí)本上完整地寫出解答過程． ［生］解：(1)設(shè)爸爸追上小明用了x分．根據(jù)題意，得180x=80x+805 化簡，得100x=400 x=4 所以小明的爸爸用了4分鐘追上小明． (2)因?yàn)榘职肿飞闲∶餍旭偟穆烦虨?804=720米，1000-720=280米． 所以，追上小明時，距離學(xué)校還有280米． ［師］通過做上面這個題，除了要學(xué)會用線段圖去尋找相等關(guān)系，從而建立模型——方程，使問題得到解決外．更重

9、要的是有丟三落四的毛病的同學(xué)，要吸取小明的教訓(xùn)，自己的事自己處理好，免得父母操心． Ⅲ．議一議 出示投影片(5．6C) 育紅學(xué)校七年級的學(xué)生步行到郊外旅行．(1)班的學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4千米/時，(2)班的學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6千米/時．前隊(duì)出發(fā)1小時后，后隊(duì)才出發(fā)，同時后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12千米/時． 根據(jù)上面的事實(shí)提出問題并嘗試解答． (這是一個開放性問題，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生交流、討論，然后大膽地提出問題，并試著利用方程去解決，并與同伴交流自己的問題和解決問題的過程) ［生］我提出的問題是：后隊(duì)用多長時間可以追上前隊(duì)？ ［生

10、］這個問題可用方程來解，只要找到這個問題等量關(guān)系即可．根據(jù)題意畫線段圖如下： 如果設(shè)后隊(duì)x小時可追上前隊(duì)，那么后隊(duì)行駛的路程為6x千米，前隊(duì)行駛的路程為(41+4x)千米．根據(jù)線段圖可知：前隊(duì)行駛路程=后隊(duì)行駛的路程，由此可得方程6x=41+4x． ［師］這位同學(xué)分析得很到位．下面請一位同學(xué)完整地寫出過程． ［生］解：設(shè)前隊(duì)被后隊(duì)追上用了x小時，根據(jù)題意，得6x=41+4x 解，得x=2 所以前隊(duì)被后隊(duì)追上需2小時． ［生］后隊(duì)在追前隊(duì)時，后隊(duì)派了一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車不停地在兩隊(duì)之間來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，那么這位聯(lián)絡(luò)員行了多少千米的路程． ［師］這個問題提得非常好．如何解決呢？同學(xué)們可

11、以先討論一下，也許解決起來不困難． ［生］我們認(rèn)為這個問題從整體上考慮較易．因?yàn)槁?lián)絡(luò)員的速度是12千米/時，而且聯(lián)絡(luò)員是后隊(duì)出發(fā)時，派他在兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，由此我們知道聯(lián)絡(luò)員用去的時間恰好就是后隊(duì)追上前隊(duì)的時間即2小時，所以聯(lián)絡(luò)員行駛的路程為122=24千米． ［師］你真棒！我們祝賀你，在困難面前，你是一個勝利者．大家應(yīng)該向你學(xué)習(xí)．老師相信，我們每一位同學(xué)在遇到復(fù)雜的問題時，一定能樹立信心，樹立克服困難的勇氣． ［生］我還可以提出一個問題嗎？ ［師］完全可以．我們歡迎他提出問題． ［生］當(dāng)聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)后，往回返，當(dāng)他和后隊(duì)相遇時，后隊(duì)離出發(fā)地有多遠(yuǎn)？ ［師］同學(xué)

12、們可以討論，并相互交流一下自己的想法． ［生］我覺得這個問題要分兩步完成： 第一步：設(shè)聯(lián)絡(luò)員x小時后可追上前隊(duì)，畫線段圖如下： 根據(jù)題意，可得12x=41+4x 解，得x= 所以聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)用了小時． 第二步：這時，后隊(duì)離出發(fā)點(diǎn)6千米/時小時=3千米．離前隊(duì)有(1+)4-3=3千米．設(shè)y小時后，聯(lián)絡(luò)員又碰上了后隊(duì)，畫線段圖如下： 根據(jù)題意，可得6y+12y=4(1+)-6 解，得y=． 所以此時后隊(duì)離開出發(fā)點(diǎn)6+6=4千米． ［師］看來，同學(xué)們已能面對復(fù)雜問題．祝賀你們．關(guān)于這個題還能提出好多問題，同學(xué)們?nèi)粲信d趣，課余時間可繼續(xù)發(fā)現(xiàn)，相信你們會有很大的收獲．

13、 Ⅳ．課時小結(jié) 我們這節(jié)課學(xué)會了用線段圖來形象直觀地表達(dá)題意，找到等量關(guān)系．更可喜的是，我們面對開放性的問題，能夠積極思維，大膽創(chuàng)新，這節(jié)課將是一節(jié)很難忘的課． Ⅴ．課后作業(yè) 1．習(xí)題5．9． 2．繼續(xù)合作完成P173議一議，大膽嘗試著去提出問題，解決問題． Ⅵ．活動與探究 8個人分別乘兩輛小汽車趕往火車站，其中一輛小汽車在距離火車站15千米的地方出了故障，此時離火車站停止檢票的時間還有42分鐘，這時惟一可以利用的交通工具只有一輛小汽車，連司機(jī)在內(nèi)限乘5人，這輛小汽車的平均速度為60千米/時．這8個人能趕上火車嗎？ 過程：這是開放性的問題，為學(xué)生提供了思維的空間．可以分多種情形

14、討論． 第一種情形：小汽車分2批送8個人．如果第2批人在原地不動． 第二種情形：如果在汽車送第一批人的同時，其他人先步行，可節(jié)省一點(diǎn)時間． 第三種情形：如果這輛汽車行駛到途中一定位置放下第一批人，然后掉頭再接另一批人使得兩批人同時到達(dá)火車站，比較省時． 結(jié)果：第一種情形：小汽車需來回走153=45(千米)，所需時間為4560= (小時)=45分>42分．因此單靠汽車來回接送無法使8人趕上火車． 第二種情形：如果設(shè)這些步行的速度為5千米/時，汽車送完第1批人后，用了x小時與第二批人相遇，根據(jù)題意有：5x+60x=15-5，解得x=，從汽車出故障開始，第二批人到達(dá)火車站要用+2=小時<4

15、2分．因此不計(jì)其他時間的話，這8人能趕上火車． 第三種情形：如果這輛汽車行駛到途中，一定位置放下第一批人，然后掉頭再接另一批人，使得兩批人同時到達(dá)火車站，那么比較省時，需要37分． ●板書設(shè)計(jì) 能追上小明嗎 一、問題提出 三、議一議 距離=速度時間 問題一： 二、想一想、試一試 問題二： (學(xué)生板演) 問題三 ●備課資料 (一)學(xué)會解開放題 隨著素質(zhì)教育的不斷深入，考查學(xué)生靈活運(yùn)用的綜合能力成為熱點(diǎn)．而開放性問題有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用能力和創(chuàng)造性思維能力． ［例1］按要求運(yùn)用數(shù)字135和25%編一道應(yīng)用題，要求：(1)要聯(lián)系市場經(jīng)濟(jì)，其解

16、符合實(shí)際．(2)數(shù)25%要用兩次．(3)列出的方程是一元一次方程，寫出這道應(yīng)用題的整個解的過程． 解：依據(jù)題目要求可編出應(yīng)用題： 某個體商店同時出售兩件衣服，每件售價都是135元，按進(jìn)價核算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%．試問在這次銷售中，商店是虧還是賺？ 解這道應(yīng)用題，設(shè)其中一件進(jìn)價x元，另一件進(jìn)價y元，由題意，得 x(1+25%)=135，則x=108； y(1-25%)=135，則y=180． ∴2135-(x+y)=-18 因此是虧，虧了18元． 根據(jù)題目要求還可編出一道應(yīng)用題： 某商店降價25%后，又提價25%，該商品現(xiàn)價為135元，問該商品原價多少元？

17、解：設(shè)該商品原價x元，則 (1-25%)(1+25)x=135． 解，得x=144 所以該商品原價是144元． ［例2］下面是工廠各部門提供的信息： 人事部：明年生產(chǎn)工人不多于800人，每年每人工時按2400工時計(jì)算； 市場部：預(yù)測明年的產(chǎn)品銷量是10000~12000件； 技術(shù)部：該產(chǎn)品平均每件需用120工時，每件需要裝4個某種主要部件； 供應(yīng)部：今年年終庫存某種主要部件6000個，明年可采購到這種部件60000個． 請判斷：(1)工廠明年的生產(chǎn)量至多為多少件？(2)為減少積壓，至多裁減多少人用于開發(fā)其他新產(chǎn)品． 解：(1)據(jù)人事部、技術(shù)部、供應(yīng)部的信息，明年生產(chǎn)量為x件

18、，則 4x=6000+60000，解得x=16500 120x=8002400，解得x=16000 受工時限制x應(yīng)取16000． (2)據(jù)市場部信息，設(shè)應(yīng)裁減y人，則 2400(800-y)=12000120 解，得y=200．應(yīng)裁減200人． (二)參考練習(xí) 列方程解應(yīng)用題 1．甲、乙兩人騎自行車，同時從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為17．5千米/時，乙的速度為15千米/時，經(jīng)過幾小時兩人相距32．5千米？ 2．在一直的長河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時由A地順流而下，乙船到B地時接到通知需立即返回到C地執(zhí)行任務(wù)，甲船繼續(xù)順流航行，已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時7

19、．5千米，水流速度為每小時2．5千米，A、C兩地間的距離為10千米．如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用了4小時，問乙船從B地到達(dá)C地時，甲船駛離B地有多遠(yuǎn)？ 答案：1．解：(1)相遇前經(jīng)過x小時，甲、乙二人相距32．5千米，根據(jù)題意，得： (17．5+15)x+32．5=65 x=1 (2)相遇后甲乙繼續(xù)前進(jìn)，設(shè)從出發(fā)到相遇后經(jīng)過x小時相距32．5千米，根據(jù)題意，得 (17．5+15)x-32．5=65 x=3 所以經(jīng)過1小時或3小時甲、乙兩人相距32．5千米． 2．解：設(shè)乙船由B地航行到C地用了x小時，那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了(4-x)小時． (1)若C地在A、B兩地之間，有 (4-x)(7．5+2．5)-x(7．5-2．5)=10 解，得x=2 102=20千米 (2)若C地不在A、B兩地之間，有 x(7．5-2．5)-(4-x)(7．5+2．5)=10 解，得x= 10＝千米． 所以乙船從B地到達(dá)C地時甲船駛離B地有20千米或千米．