勒貝格積分的性質(zhì)與應(yīng)用論文設(shè)計

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1、勒貝格積分的性質(zhì)與應(yīng)用 目錄 摘要 1 Abstract 1 0.引言 2 1.勒貝格積分的雙向性 2 2.勒貝格積分的性質(zhì) 2 2.1勒貝格積分的初等性質(zhì) 3 2.2．勒貝格積分的其他性質(zhì) 10 2.3勒貝格積分的極限定理 11 3.勒貝格積分性質(zhì)的應(yīng)用 13 3.1利用勒貝格積分的性質(zhì)進(jìn)行證明 13 3.1.1利用勒貝格積分的性質(zhì)討論函數(shù)的可積性 13 3.1.2利用勒貝格積分的性質(zhì)證明等式 14 3.2利用勒貝格積分的性質(zhì)計算積分值 15 4.結(jié)束語 17 5.參考文獻(xiàn) 18 致謝 19  25 勒貝格積分的性質(zhì)與應(yīng)用 摘要：在函數(shù)勒貝

2、格積分存在的條件下，對勒貝格積分的性質(zhì)進(jìn)行思考和證明，將勒貝格積分性質(zhì)進(jìn)行擴(kuò)展和進(jìn)一步的研究。同時，對勒貝格積分性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行整理，突出勒貝格積分的優(yōu)點(diǎn)，從而對勒貝格積分性質(zhì)和應(yīng)用形成更加清晰的認(rèn)識，促進(jìn)與積分性質(zhì)相關(guān)問題的解決，提高應(yīng)用實(shí)變函數(shù)理論分析問題與解決實(shí)際問題的能力。 關(guān)鍵詞：勒貝格積分 性質(zhì) 應(yīng)用 The properties of Lebesgue integral and its applications Abstract： Under the condition that the function Lebesgue integral exists, con

3、sider and prove the properties of Lebesgue integral, extending and further studying the properties of Lebesgue integral. At the same time, organize the applications of Lebesgue integral’s properties, highlight the advantages of Lebesgue integral, so as to form a clearer understanding of Lebesgue pro

4、perties and its applications, promote the resolution of problems related to integrals properties, and improve ability to analyze and solve problems in applying the theory of real variable functions. Keywords：Lebesgue integral; property; application 0.引言 黎曼積分的出現(xiàn)，使得一大類在牛頓積分意義下或柯西積分意義下不可積的函數(shù)進(jìn)行積分變

5、成了可能,從而使得常見的積分問題基本上都能得到完滿的解決,但黎曼可積的函數(shù)主要的還是連續(xù)函數(shù),或者說不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù)[1]。 針對Riemann積分中存在的缺陷,法國數(shù)學(xué)家勒貝格成功的引入了一種新的積分,即Lebesgue積分。勒貝格積分是實(shí)變函數(shù)論的中心內(nèi)容，積分理論建立在勒貝格測度論的基礎(chǔ)上，是黎曼積分理論的升華，它不僅包含了黎曼積分理論的成果，而且很大程度上擺脫了黎曼積分的困境。勒貝格意義上的積分，使得可積函數(shù)類大大增加，而且具有良好的性質(zhì)，積分與極限交換順序的條件也大大減弱，使積分運(yùn)算更加便捷，更適合數(shù)學(xué)各分支及很多實(shí)際問題的需要[2][3]。 1.勒貝格積分的雙向性[4]

6、 在黎曼積分中，函數(shù)黎曼可積與函數(shù)具有黎曼積分值是等價的。但在勒貝格積分中，函數(shù)勒貝格可積與函數(shù)具有勒貝格積分值并不等價。 勒貝格可積與勒貝格積分的定義區(qū)別： 勒貝格積分存在:設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)，若非負(fù)可測函數(shù)f+(x)，f-(x)在E上的積分不同時為+∞，則稱f(x)在E上有積分，并定義f(x)在E上的積分為Ef(x)dx =Ef+(x)dx-Ef-(x)dx。積分值為有限數(shù)或±∞。 勒貝格可積：設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)，若非負(fù)可測函數(shù)f+(x)，f-(x)在E上的積分都為有限數(shù)時，即當(dāng)f+(x)與f-(x)均在E上可積時，稱f(x)在E上可積，其積分值為有限數(shù)。

7、 2.勒貝格積分的性質(zhì) 目前關(guān)于勒貝格積分的諸多性質(zhì)，大多都是在函數(shù)勒貝格可積的條件下給出的，然而有很多實(shí)際問題當(dāng)中出現(xiàn)的函數(shù)雖然具有勒貝格積分，但不是勒貝格可積的，這類積分就不能用勒貝格可積條件下的諸多性質(zhì)。關(guān)于這部分內(nèi)容，現(xiàn)行的大部分教材及參考書[5]-[9]中,內(nèi)容講的很少,也缺乏條理性和系統(tǒng)性。為了研究這類函數(shù)的積分，將從理論角度出發(fā)，對初等性質(zhì)中的條件進(jìn)行研究，將部分性質(zhì)條件中的“可積”改為“積分存在”，修改后若成立則給出證明，否則舉出反例。除此之外，進(jìn)一步對勒貝格積分的性質(zhì)進(jìn)行思考和證明，將勒貝格積分性質(zhì)進(jìn)行擴(kuò)展和研究。 2.1勒貝格積分的初等性質(zhì) 性質(zhì)1（積分的單調(diào)性

8、）: 若f(x)，g(x)在E上可積，f(x)≤g(x)，則Ef(x)dx Eg(x)dx。 性質(zhì)1':若f(x)，g(x)在E上積分存在，f(x)≤g(x)，則Ef(x)dx Eg(x)dx.證明：任意x∈E，f(x)≤g(x)，則任意x∈E，f+(x) g+(x)，f-(x) g-(x)， 由命題“設(shè)f(x)，g(x)為E上非負(fù)可測函數(shù)，則若在E上f(x)≤g(x)，則Ef(x)dx Eg(x)dx”得Ef+(x)dx Eg+(x)dx，Ef-(x)dx Eg-(x)dx，故 Ef(x)dx=Ef+(x)dx-Ef-(x)dxEg+(x)dx-Eg-(x)dx=Eg(x)d

9、x. 注1：設(shè)f(x)為E上非負(fù)可測函數(shù)，g(x)在E上勒貝格可積，且滿足f(x)≤g(x)，a.e.x∈E，則f(x)在E上勒貝格可積。 證明：g(x)在E上L-可積，則E gxdx<∞，又f(x)≤g(x)，a.e.x∈E,則E fxdx≤E gxdx<∞, 則f(x)在E上勒貝格可積. 注2：設(shè)f(x)為E上可測函數(shù)，g(x)在E上非負(fù)且勒貝格可積，且滿足|fx|≤g(x)，a.e.x∈E, 則f(x)在E上勒貝格可積。 證明：0≤f+≤g, 0≤f-≤g,g在E上非負(fù)勒貝格可積，則f+、f-都在E上非負(fù)勒貝格可積，故f在E上勒貝格可積。 性質(zhì)2.1（絕對可積性

10、）: 設(shè)f(x)在E上可測，則f(x)在E上可積的充要條件是|f(x)|在E上可積. 注1：將此性質(zhì)條件中的“可積”改為“積分存在”，結(jié)論不成立。 證明：必要性：f =f+-f-，f(x)在E上積分存在，則f+，f-在E上積分不同時為+∞，令g(x) =|f(x)|，g+=f+，g—=f-=0，則g(x)在E上積分存在，即|f(x)|在E上積分存在。

11、

12、 充分性：反例：f(x) =&1,x≥0&-1,x<0，|f(x)| =1（x R1），在R1上|f(x)|的積分存在為+∞，而f(x)在R1上的積分不存在。或|f(x)| 為非負(fù)可測函數(shù)，非負(fù)可測函數(shù)積分一定存在，與f(x)積分是否存在無關(guān)。 注2：性質(zhì)2.1中f(x)在E上可測不可少。反例：設(shè)E是[0,1]的一個勒貝格不可測集，考慮函數(shù)f(x)=χE-χ0,1?E. 性質(zhì)2.2:若f(x)在E上可積，則|Ef(x)dx|E|f(x)|dx. 性質(zhì)2.2’:若f(x)在E上積分存在，則|Ef(x)dx|E|f

13、(x)|dx. 證明：若f(x)在E上有積分，則|f|在E上也有積分. 由于-|f|≤f(x)≤|f|，由性質(zhì)1知-E|f(x)|dx Ef(x)dx E|f(x)|dx， 故|Ef(x)dx|E|f(x)|dx. 性質(zhì)3.1:設(shè)E為二無交可測集E1，E2之并，若E上的函數(shù)f(x)分別在E1，E2上可積，則f(x)在E上可積. 注：將此性質(zhì)條件中的“可積”改為“積分存在”，結(jié)論不成立。 證明：反例 ：f(x) =&1,x≥0&-1,x<0，E1=Ef>0，E2=Ef<0，f(x)分別在E1，E2上積分存在，但f(x)在R1上的積分不存在。

14、 性質(zhì)3.2:若f(x)在E上有積分，則f(x)在E的任何可測子集E0上也有積分. 性質(zhì)3.2’:若f(x)在E上積分存在，則f(x)在E的任何可測子集E0上都積分存在. 證明：f(x)在E積分存在，則Ef+(x)dx與Ef-(x)dx至少有一個是有限的.又對任意可測子集E0?E，都有E0f+(x)dx Ef+(x)dx,E0f-(x)dx Ef-(x)dx，則E0f+(x)dx與E0f-(x)dx至少有一個是有限

15、的，從而f(x)在E0積分存在. 性質(zhì)3.3:（積分區(qū)域的有限可加性與σ-可加性）設(shè)E為有限或可列個兩兩無交的可測集Ei之并 ，若f(x)在E上可積，則Ef(x)dx =. 性質(zhì)3.3’:設(shè)E為有限或可列個兩兩無交的可測集Ei之并，若f(x)在E上積分存在，則Ef(x)dx 證明：由性質(zhì)3.2’,知f(x)在Ei上有積分，Ei兩兩無交，則 =χEi， 則Ef(x)dx==Rnfxχ(x)dx=Rnf(x)χEidx = = 性質(zhì)4.1:若mE=0，則E上的任何函數(shù)f(x)都可積，并且Ef(x)dx=0. 性質(zhì)4.1’:若mE =0，則E上的任何函數(shù)f(x)都有積分，

16、并且Ef(x)dx=0. 證明：由mE=0知f(x)在E上可測，由“設(shè)f(x)是E上非負(fù)可測函數(shù)，若mE=0，則Ef(x)dx =0.”知Ef+(x)dx =0，Ef-(x)dx =0，故f(x)在E上有積分，且Ef(x)dx =Ef+(x)dx－Ef-(x)dx =0。 注：設(shè)f(x)是E上幾乎處處大于零的可測函數(shù)，且Ef(x)dx =0，則mE=0。 證明：反證法。假設(shè)m(E)大于零，令E1=x∈E|f(x)>0，則mE1=mE大于零。又由于E1=，則存在k0，使得mF >0，其中F =x∈E1|f(x)≥1k0，則0=Ef(x)dx =E1f(x)dx Ff(x)dx

17、 1k0mF >0，矛盾，從而mE =0。 性質(zhì)4.2（積分的唯一性）:若f(x)在E上可積，g(x)與f(x)在E幾乎處處相等，則g(x)在E上也可積，并且Eg(x)dx =Ef(x)dx. 性質(zhì)4.2’:若f(x)在E上積分存在，g(x)與f(x)在E幾乎處處相等，則g(x)在E上積分也存在，并且Eg(x)dx =Ef(x)dx. 證明：令E1=E[f≠g]，則mE1=0.f(x)在E上積分存在，由性質(zhì)3.2,知f(x)在E?E1上積分存在，從而g(x)在E?E1上積分存在。又由性質(zhì)4.1知g(x)在E1上積分存在。根據(jù)性質(zhì)3.3知，g(x)在E上積分存在。并且Eg(x)d

18、x =E\E1g(x)dx +E1g(x)dx=E\E1g(x)dx =E\E1f(x)dx =E\E1f(x)dx +E1f(x)dx=Ef(x)dx。 注：性質(zhì)4.2的逆命題：設(shè)f(x)，g(x)是E上的可積函數(shù)，若Ef(x)dx =Eg(x)dx，則或者f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等，或者存在A?E，使得Af(x)dx >Ag(x)dx。 證明：假設(shè)對E的任意可測子集A，有Af(x)dx Ag(x)dx，則對E的任意可測子集A，必有Af(x)dx =Ag(x)dx，否則，若存在E的可測子集A0，使得A0f(x)dx <A0g(x)dx，則E\A0f(x)dx =Ef

19、(x)dx－A0f(x)dx >Eg(x)dx－A0g(x)dx =E\A0g(x)dx，矛盾。所以對E的任一可測子集A，有Af(x)dx =Ag(x)dx。 下證命題“設(shè)f(x)，g(x)是E上可積，若對E上任意可測子集A，Af(x)dx =Ag(x)dx，則f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等”成立。 證明：不妨設(shè)g(x)≡0，否則考慮f(x)－g(x)即可。則問題轉(zhuǎn)化為若對E的任意可測子集A，Af(x)dx =0，要證f(x)在E上幾乎處處等于0。則只需證明mE[f>0] =0同時mE[f<0] =0。令A(yù) =Ef>0，則有0=Af(x)dx =Ef(x)?χ

20、Adx，因為在E上有f(x) χA(x)≥0,則f(x)?χA(x) =0在E上幾乎處處成立。但是在A上有f(x)?χA(x) =f(x) >0，所以mA=0。同理可證mE[f<0] =0。 性質(zhì)5:若f(x)在E上可積，則f(x)在E上幾乎處處取有限值. 注：將此性質(zhì)條件中的“可積”改為“積分存在”，結(jié)論不成立。 證明：逆否命題為“若f(x)在E上不幾乎處處取有限值，則f(x)在E上積分不存在.” 幾乎處處取有限值即mf=±∞=0，所以不幾乎處處取有限值，為mf=±∞≠0。存在在E上非負(fù)可測函數(shù)，mf=±∞≠0，但積分存在。 例：g(

21、x)=x,0<x<12∞,12<x<1，逆否命題不成立，則原命題不成立。 性質(zhì)6: f(x)，g(x)在E上可積，則f(x)+g(x)在E上可積，并且E[f(x)+g(x)]dx =Ef(x)dxEg(x)dx. 性質(zhì)6’:f(x)，g(x)在E上積分存在，若Ef(x)dx+Eg(x)dx有意義，則f(x) +g(x)在E上積分存在，并且E[f(x)+g(x)]dx =Ef(x)dx+Eg(x)dx. 證明：由于(f+g)+-(f+g)-=f +g =f+-f-+g+-g-， 故(f+g)++f-+g-=(f+g)-+f++g+，兩邊同時積分， 再由命題“

22、設(shè)f(x)，g(x)為E上非負(fù)可測函數(shù)，則E[f(x)+g(x)]dx=Ef(x)dx +Eg(x)dx”得 E(f+g)+(x)dx+Ef-(x)dx+Eg-(x)dx=E(f+g)-(x)dx+Ef+(x)dx +Eg+(x)dx ………………………………………………（1） 又(f+g)+f++g+，(f+g)-f-+g-，則有 E(f+g)+(x)dx Ef+(x)dx +Eg+(x)dx E(f+g)-(x)dx Ef-(x)dx +Eg-(x)dx 因為Ef(x)dx +Eg(x)dx有意義，所以Ef+(x)dx+Eg+(x)dx與Ef-(x)dx+Eg-(x)dx至少有一

23、個是有限的。 不妨設(shè)Ef-(x)dx +Eg-(x)dx＜+∞，則E(f+g)-(x)dx＜+∞。 (1)式兩端同時減去E(f+g)-(x)dx +Eg-(x)dx +Eg-(x)dx，得 E(f+g)+(x)dx-E(f+g)-(x)dx =Ef+(x)dx+Eg+(x)dx-Ef-(x)dx -Eg-(x)dx 即E[f(x)+g(x)]dx =Ef(x)dx +Eg(x)dx。 同時表明f(x)+g(x)在E上有積分。 性質(zhì)7:若f(x)在E上可積，c是一實(shí)數(shù)，則cf(x)在E上可積，并且Ecf(x)dx =Ef(x)dx. 性質(zhì)7’:若f(x)在E上積分存在，c是一實(shí)

24、數(shù)，則cf(x)在E上積分存在，并且Ecf(x)dx =Ef(x)dx. 證明：若c≥0，則(cf)+=cf+，(cf)-=cf-.由f的勒貝格積分存在,易知cf的勒貝格積分也存在.再由命題“設(shè)f(x)，g(x)為E上非負(fù)可測函數(shù)，則Ecf(x)dx=cEf(x)dx，c≥0為實(shí)數(shù)”得Ecf(x)dx E(cf)+(x)dx -E(cf)—(x)dx=Ecf+(x)dx -Ecf—(x)dx =cEf(x)dx.若c<0，則(cf)+=-cf-，(cf)-=-cf+，同理可證得. 注：性質(zhì)6與性質(zhì)7合起來稱為“可積函數(shù)的線性性質(zhì)”。 性質(zhì)8:設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)，若E|f

25、(x)|dx =0，則f(x) =0，a.e.于E. 性質(zhì)9:（絕對連續(xù)性）若f(x)在E可積，則對任意ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)me<δ(e?E)時恒有|ef(x)dx|<ε. 注：性質(zhì)9的實(shí)質(zhì)為:若f(x)在E可積，則對于E上任意可測子集e，有l(wèi)imme→0e fxdx=0. 性質(zhì)9’:設(shè)f(x)在E上積分存在，若對任意ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)R1中有限個兩兩無交的開區(qū)間Ii滿足 <δ時（不論Ii的取法如何）恒有<ε，則f(x)的積分具有絕對連續(xù)性。 證明： f=f+-f-, f(x)在E上積分存在，不失一般性，設(shè)f-在R1

26、上可積。 設(shè)ε>0 ，因為f-在R1上可積，由性質(zhì)9， 故存在δ1>0，使得當(dāng)e?R1，me<δ1時，e f-dx=e f-dx<13ε。 再由條件，存在δ2>0，使得對任意有限個兩兩無交的開區(qū)間Ii，只要 <δ2，有<13ε。 取δ=minδ1.δ2，當(dāng) <δ時，==≤+2<ε。（※） 現(xiàn)設(shè)e?R1，me< δ，則存在R1中開集G，使e?G，mG< δ，G可表成有限個或可列個兩兩無交的開區(qū)間Ii之并，即G=，mG=，所以對Ii中任意有限個開區(qū)間I1, I2,?, In都有 < δ。 由（※），得<ε，令

27、n→∞,即當(dāng)Ii中有可列個開區(qū)間時，有≤ε；當(dāng)G可表成有限個兩兩無交的開區(qū)間的并時，自然有≤ε。 所以，≤≤≤ε。 故f(x)的積分具有絕對連續(xù)性 注：性質(zhì)9的逆命題[10]：設(shè)f(x)是E上有積分的函數(shù)，并且對任意ε>0，使當(dāng)me<δ（e?E）時恒有ef(x)dx|<ε，當(dāng)mE<∞時，f(x)必為E上的可積函數(shù)。 證明：對于任意一個ε>0，則存在一個δ>0，當(dāng)me<δ時，ef(x)dx|<ε。若mE<δ，則結(jié)論顯然成立。若mE≥δ，因mE<∞，所以存在正整數(shù)n，使得0<mEn<δ，于是由Lebesgue測度的介值

28、定理知，存在e1?E，使得me1=mEn。令E1=E\e1，再由Lebesgue測度的介值定理知，存在e2E1?E，使得me2=mEn，并且e1e2=?。重復(fù)n-1次，得到n個兩兩無交的可測集，E =，mei<δ，(i =1,2，…n),則|Efxdx|=≤≤nε，nε為有限數(shù)，則f(x)在E上可積。 注1：當(dāng)mE =∞時，命題不成立。 例：f(x)≡1，E=[1，∞]，易知f(x)在E上不可積。 2.2．勒貝格積分的其他性質(zhì) 性質(zhì)10：（L-可積的夾逼定理）fx為E上的可測函數(shù)，若有兩個在E上勒貝格可積的函數(shù)gx和h(x)，使得gx≤fx≤h(x)，則fx也在E上勒貝格

29、可積。 證明：fx≤h(x)，則f+x≤h+(x)，又gx≤fx，則f-x≤g-(x)。由于gx和h(x)在E上勒貝格可積，則h+(x) 和g-(x)在E上勒貝格可積，則f+x和f-x在E上勒貝格可積，從而fx在E上勒貝格可積。 性質(zhì)11：（積分變量的平移變換）若f(x)在Rn上可積，則對任意的y0Rn，f(x+y0)可積，且Rnf(x+y0)dx =Rnf(x)dx。證明參見文獻(xiàn)[7] 性質(zhì)12：設(shè)f(x)，g(x)在E上勒貝格可積，則M(x) =maxf(x),g(x)，m(x) =minf(x),g(x)也在E上勒貝格可積。 證明：M(x)=fx+gx+|fx+gx|2，

30、m(x) =fx+gx-|fx+gx|2，x?E，結(jié)合性質(zhì)6與性質(zhì)2.1，可知結(jié)論成立。 性質(zhì)13:f(x)在可測集E上勒貝格可積，則存在絕對連續(xù)函數(shù)g(x)，使得g(x)的導(dǎo)函數(shù)在E上幾乎處處等于f(x)。證明參見文獻(xiàn)[5] 勒貝格積分的意義下使得牛頓-萊伯尼茲公式f(x)-f(a)=axf'(t)dt 成立的函數(shù)f恰是絕對連續(xù)函數(shù)。 性質(zhì)14:(唯一性定理）設(shè)f在E上可測且mE>0，則E |f|p=0（0<p<∞）的充要條件為f(x)=0，a.e.x∈E. 證明參見文獻(xiàn)[6] 推論：設(shè)f(x)在E上勒貝格可積，若對E上任意有界可測函數(shù)g(x)，有E

31、 fxgxdx=0，則f(x)=0，a.e.x?E. 證明：令g(x)=signf(x)=1,fx>00,fx=0-1,fx<0，則g(x)為E上有界可測函數(shù)，且f(x)g(x)=|f(x)|，則E fxdx=E fxgxdx=0，所以f(x)=0，a.e.x?E. 2.3勒貝格積分的極限定理 Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理合稱為Lebesgue三大極限定理，它們不需要一致收斂的條件,能夠在較弱的條件下解決積分與極限的換序問題。 性質(zhì)15：（勒維（Levi）逐項積分定理）設(shè)fn(x)是可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)列，在E上滿足f1(x)≤f2(x

32、)≤ f3(x)≤?，則Elimn→∞fn(x)dx =limn→∞Efn(x)dx。 注1：Levi逐項積分定理針對非負(fù)單調(diào)遞增可測函數(shù)列成立，對于非負(fù)單調(diào)遞減的可測函數(shù)列一般不成立。 反例：fnx=1,x∈[n,+∞) 0,x∈0,n ，滿足fnx≥fn+1x，fnx→f x≡0，n→∞，但E f(x)dx= 0 ≠ limn→∞E fnxdx =+∞ 對條件進(jìn)行補(bǔ)充,下面命題成立。 設(shè)fn(x)是f(x)上的非負(fù)可測函數(shù)列，在E上滿足f1(x)≥ f2(x) ≥f3(x)≥?，存在fn0(x)在E上勒貝格可積，則Elimn→∞fn(x)dx =limn→∞Efn(x)dx。

33、 性質(zhì)16：（勒貝格（Lebesgue）逐項積分定理）設(shè)fn(x)是可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)列，則=。 性質(zhì)17：（法都（Fatou）引理）設(shè)fn(x)是E上非負(fù)可測函數(shù)列，則Elimn→∞fn(x)dx limn→∞Efn(x)dx。 注1：結(jié)論中的≤不能改為=。 反例：設(shè)E=0,1，fn(x)=nxn-1（n=1,2?）. fn(x)是E上非負(fù)可測函數(shù)，E fnxdx=R01nxn-1dx=1，而對于任何x∈0,1，limn→∞fn(x)=limn→∞nxn-1=0。所以E limn→∞fn(x)dx=0<1=limn→∞E fnxdx. 注2：法都引理雖然反映了極限和

34、積分的可交換性，但是是關(guān)于下極限的不等式。 一般可測函數(shù)的極限定理： 性質(zhì)18：（勒貝格控制收斂定理）設(shè)mE<∞，fn(x)是E上一列可測函數(shù)，存在E上的非負(fù)可積函數(shù)F(x)，使fn(x)≤F(x)（n=1,2,?），fn(x)在E依測度收斂于函數(shù)f(x)，則f(x)在E上可積，并且limn→∞Efn(x)dx =Ef(x)dx。 注：條件“mE<∞”可去掉。 推論1：設(shè)mE<∞，fn(x)是E上一列可測函數(shù)，存在E上的非負(fù)可積函數(shù)F(x)，使fn(x)≤F(x)（n=1,2,?），fn(x)在E幾乎處處收斂于函數(shù)f(x)，則f(x)在E上可積，并且limn→∞E

35、fn(x)dx =Ef(x)dx。 注1[11]：勒貝格控制收斂定理中的控制函數(shù)必須明確。 反例：fn=1n(1n)2+x2，x 0,1，則=&∞,x=0&0,x∈(0,1]，= = ==π2，而01f(x)dx =0。也就是即使fn(x)是閉區(qū)間上的連續(xù)可測函數(shù)，并且fn幾乎處處收斂到在閉區(qū)間上勒貝格可積的函數(shù)，limn→∞Efn(x)dx =Ef(x)dx也不一定成立。 注2：勒貝格控制收斂定理中的控制函數(shù)為L-可積必不可少。即若fn(x)是一列在E上可積的函數(shù)，且一致收斂于f(x)，f(x)也不一定在E上可積。 例：fn(x) = ，x 0，+∞，因為1x2+k

36、21k2，所以一致收斂，則fn(x)一致收斂于f(x)，0+∞fn(x)dx=<∞，但0+∞f(x)dx= ，即f(x)在E上不可積。 注3：條件“mE<∞”可去掉。 推論2：（勒貝格有界控制收斂定理）設(shè)mE<∞,fn(x)是E上一列可測函數(shù)，存在常數(shù)C>0，使得fn≤C，a.e.n=1,2,?，如果fn(x)在E上幾乎處處收斂（或依測度收斂）于可測函數(shù)f(x)，則limn→∞Efn(x)dx =Ef(x)dx。 注：條件“mE<∞”不可去掉。 2.4黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系[12]： 對于常義R積分： 1. 設(shè)f(x)在a,b上R可積，則f(x)在

37、a,b上L可積，且La,b fdx=Rabfdx 對于廣義R積分： 2. 設(shè)f(x)是在[a,+∞上 定義的函數(shù)，當(dāng)t∈a,+∞時，f(x)在[a,t] 上R可積，則f(x)在[a,+∞)上L可積的充要條件為f(x)在[a,+∞上廣義R可積，且積分值相等。 3. 設(shè)f(x)是在[a,b上 定義的函數(shù)，b為f(x)的瑕點(diǎn)，當(dāng)t∈a,b時，f(x)在[a,t]上R可積，則f(x)在[a,b上L可積的充要條件為f(x)在[a,b上瑕積分有限，且積分值相等。 3.勒貝格積分性質(zhì)的應(yīng)用 勒貝格積分一定程度上彌補(bǔ)了黎曼積分的不足，勒貝格積分理論充滿了新思想和新方法，有更廣泛的應(yīng)用。但同時，

38、隨著可積函數(shù)范圍的擴(kuò)大，再加上已學(xué)的黎曼積分知識的固有影響，勒貝格積分定義多角度、性質(zhì)繁多復(fù)雜等，限制了勒貝格積分的普及與推廣?，F(xiàn)針對勒貝格積分的計算、性質(zhì)的證明等問題，對勒貝格積分的性質(zhì)進(jìn)行討論、梳理與應(yīng)用。 3.1利用勒貝格積分的性質(zhì)進(jìn)行證明 3.1.1利用勒貝格積分的性質(zhì)討論函數(shù)的可積性 1.利用性質(zhì)2.1絕對可積性，由f(x)可積證明函數(shù)f(x)可積 例：若mE<∞，f(x)是E上的有界可測函數(shù)，則fx在E上可積。 證明：由于f(x)是E上的有界可測函數(shù)，故存在M>0，使得任意x∈E,f(x)≤M，則E f(x)dx≤M?mE<∞，則f(x)在E上可積，故f

39、(x)E上可積。 2.利用性質(zhì)4.2幾乎處處相等的函數(shù)有相同的可積性，由此證明函數(shù)可積。 3.利用性質(zhì)1注1和注2 比較原則證明f(x)勒貝格可積 4.利用性質(zhì)10 L-可積的夾逼定理證明f(x)勒貝格可積 5.結(jié)合絕對可積性與法都引理證明函數(shù)可積 例：設(shè){fn(x)}是E上非負(fù)可積函數(shù)列，limn→∞fn(x)= fx，a.e.x∈E，且存在常數(shù)M，使得E fn(x)dx≤M，?n∈N.證明fx在E上可積。 證明：顯然fx在E上幾乎處處非負(fù)且可測，E f(x)dx=E limn→∞fn(x)dx= E limn→∞ fnxdx Fadou引理≤limn→∞E|fnx|dx≤M，

40、則|fx|在E上可積，則fx在E上可積。 3.1.2利用勒貝格積分的性質(zhì)證明等式 1.利用性質(zhì)9積分的絕對連續(xù)性進(jìn)行證明 例[13]：設(shè)fx在E上可積，en= Ef≥n，則limn→∞n?men=0 證明：第一步，證明men<∞； 因fx在E上可積，有∞>E f(x)dx≥en f(x)dx≥n?men，則men<∞. 第二步，證明limn→∞men=0； 方法1：因fx在E上可積，利用性質(zhì)5，則fx在E上幾乎處處有限，即mEf=∞=0:。又Ef=∞=n=1∞en,且en+1?en,n=1,2?，men<∞，有l(wèi)imn→∞men=mEf=∞=0； 方

41、法2：E f(x)dx≥en f(x)dx≥n?men，則men≤E f(x)dxn，而E f(x)dx<+∞，所以有l(wèi)imn→∞men=0； 第三步：利用積分的絕對連續(xù)性，對于任意的>0，存在δ>0，當(dāng)e?E且me<δ時，有e f(x)dx<ε。由第二步，存在N，當(dāng)n>N時，有men<δ，從而有en f(x)dx<ε。則當(dāng)n>N時，有n?men≤en f(x)dx<ε，所以limn→∞n?men=0 2.結(jié)合單調(diào)性與法都引理進(jìn)行證明 例：設(shè){fn(x)}是E上一列非負(fù)可測函數(shù)列，若limn→∞fn(x)= fx，且f

42、n(x)≤ fx，x∈E，n∈N，證明在E中任一可積子集e，有l(wèi)imn→∞efn(x)dx =e f(x)dx。 證明：[單調(diào)性]因為 fnx≤ fx,x∈E，則efn(x)dx≤e f(x)dx，則limn→∞e fn(x)dx≤e f(x)dx； 再由法都引理，e fxdx=e limn→∞fn(x)dx≤limn→∞e fn(x)dx，所以limn→∞efn(x)dx =e f(x)dx。 3.2利用勒貝格積分的性質(zhì)計算積分值 1.性質(zhì)4.1表明零集上函數(shù)的積分值為0，或在零集上改變函數(shù)的值，不影響函數(shù)的可積性和積分值。 2.性質(zhì)4.2幾乎處處相等的可積函數(shù)有相同的積分值

43、，由此求函數(shù)積分。 例：f(x)=0，a.e.于[0,1],則[0,1] fdx=[0,1] 0dx=0 3.性質(zhì)4.2’幾乎處處相等的積分存在的函數(shù)有相同的積分值，由此求函數(shù)積分。 例：f(x)=0, x∈(0,1)∩Q1x,x∈(0,1)?Q， (0，1) 上有理數(shù)的測度為零，則f(x)在0,1上幾乎處處等于1x,但 1x在(0，1)上是不可積的，故不能用性質(zhì)4.2。1x在(0，1)上積分是存在的，用性質(zhì)4.2’便可知f(x)在(0，1)的積分是+∞。 4.性質(zhì)3：積分區(qū)域的可加性 根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)將集合劃分為有限或可列個和互不相交的可測子集的并，而函數(shù)在每個自己上的積分又是

44、容易計算的。 例：設(shè)fx=x2,x為0,2中的無理數(shù)x,x為2,4中的無理數(shù)2,x為0,4中的有理數(shù)，求fx在[0,4]的積分。 解：[0,4] fxdx=[0,2] x2dx+[2,4] xdx+0=263 5.性質(zhì)3’的運(yùn)用。 例：設(shè)E=[0,1]，Ek=(12k, 12k-1],f(x)=2k,x∈Ek0,x=0. 解：f(x)在E上非負(fù)可測，則在E上一定積分存在。 直接利用性質(zhì)3’， E fxdx= = =+∞。 也就證明了f(x)上并不可積，所以性質(zhì)3是失效的。 6.性質(zhì)16：積分的逐項可加性 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)項級數(shù)，此時無需驗證函數(shù)項級數(shù)一致收斂。 例：求01

45、ln?(1-x)xdx 解：由于ln(1-x)= ,x∈[0,1),由逐項積分定理，知 01ln?(1-x)xdx= ===-π26。 7.性質(zhì)7與性質(zhì)6:積分的線性性質(zhì),用于求積分值 8.利用性質(zhì)13，關(guān)鍵在于找到導(dǎo)函數(shù)在E上幾乎處處等于f(x)一個絕對連續(xù)函數(shù)g(x)，然后利用黎曼積分中的N-L公式計算勒貝格積分。 例[14]：f(x)=sinx,x∈[0,1]∩Qcosx,x∈[0,1]?Q,計算積分[0,1] fxdx 解：gx=sinx在[0,1]上導(dǎo)函數(shù)有界，所以是絕對連續(xù)函數(shù)。且F'x=f(x),a.e.x∈[0,1],由性質(zhì)13，可得[0,1] fxd

46、x=sin1-sin0=sin1. 9.性質(zhì)15 Levi定理因無需證明f,fn可積，用起來方便 例:求limn→∞(L)0π2sinn(x)dx 令fn=sinnx，直接由Levi定理， limn→∞(L)0π2sinn(x)dx=(L)0π2limn→∞sinn(x)dx=0 10.利用性質(zhì)18勒貝格控制收斂定理，不用判斷被積函數(shù)是否一致收斂。計算積分極限，重要的是尋找可積的控制函數(shù)。 例[15]：求極限limn→∞0πnx1+n2x2sin5nxdx 解：nx1+n2x2sin5nx為[0,π]上可測函數(shù)， 且|nx1+n2x2sin5nx|≤nx2nx≤

47、12x，而12x在[0,π]上勒貝格可積，利用控制收斂定理， 可得limn→∞0πnx1+n2x2sin5nxdx=0πl(wèi)imn→∞nx1+n2x2sin5nxdx=0 11.結(jié)合幾乎處處相等與勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系，在勒貝格積分計算過程中局部化為黎曼積分來計算，或借助實(shí)變函數(shù)的勒貝格積分的性質(zhì)和方法解決數(shù)學(xué)分析中黎曼函數(shù)的積分計算問題與證明問題。 例1：利用勒貝格可積的性質(zhì)證明，若fx是[a,b]上處處大于零的R可積函數(shù)，則(R)abfxdx>0. 證明：當(dāng)是[a,b]上處處大于零的R可積函數(shù)函數(shù)時，它為L可積的，且Rabfdx=La,b fdx，因La,b fdx>

48、0，則Rabfdx>0 例2：求limn→∞(R)0π2sinn(x)dx 分析：利用limn→∞(R)0π2sinn(x)dx=limn→∞(L)0π2sinn(x)dx 例3： 設(shè)f(x)=sinx ，x為0,1中無理數(shù)arctanx2， x為0,1中有理數(shù)，求0,1 fdx 解：因為f(x)=sinx在0,1上幾乎處處成立，則0,1 fdx=0,1 sinxdx=cos0-cos1=1-cos1. 4.結(jié)束語 通過梳理知識點(diǎn)，同時對性質(zhì)的條件進(jìn)行細(xì)致分析，對勒貝格積分的性質(zhì)形成更加清晰的認(rèn)識。同時，結(jié)合文中的舉例，使得對于積分的性質(zhì)的應(yīng)用更加熟悉。雖然勒貝格積

49、分在定義的角度等方面來看，與黎曼積分相比并無新意，實(shí)則不然。勒貝格積分提供了一個新的角度去思考黎曼積分的問題，同時具有比黎曼積分更好的性質(zhì)。在今后的實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中，要善于用比較分析的方法，深刻理解勒貝格積分，從而更有利于實(shí)變函數(shù)及其他領(lǐng)域的相關(guān)研究。  5.參考文獻(xiàn) [1] 顧滕.黎曼積分和勒貝格積分的比較[J]. 科教文匯(下旬刊),2015(06):57-59. [2] 呂延方.對Lebesgue積分理論優(yōu)越性的探討[J].企業(yè)科技與發(fā)展,2008(08):158-160. [3] 劉皓春曉.勒貝格控制收斂定理及其應(yīng)用[J]. 品牌(下半月),2015(03):273.

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52、.勒貝格積分三大收斂定理及其應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊(下旬),2017(06):60-61.  致謝 時光荏苒，本科四年的生活即將敲響結(jié)束的鐘聲，回首四年，我受益匪淺。行文至此，我的論文也即將完成，在此謹(jǐn)向所有關(guān)心和幫助我的老師、同學(xué)、親人和朋友表達(dá)最誠摯的謝意！ 首先感謝我的指導(dǎo)老師路慧芹教授，很幸運(yùn)能在路老師的幫助下進(jìn)行畢業(yè)論文設(shè)計。大二跟著路老師學(xué)習(xí)常微分方程，大三跟著路老師學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)，路老師具有淵博的知識，課程充滿樂趣。本論文是在導(dǎo)師路慧芹老師的悉心指導(dǎo)下完成的，無論從格式規(guī)范、論文要點(diǎn)還是文章結(jié)構(gòu)，路老師都不厭其煩，給予我及時的幫助。路老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，敏銳的思維和洞察力，開闊的科研思路等將是我畢生效仿的榜樣。在此，向路老師致以深深地謝意和崇高的敬意！ 其次，感謝數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院全體領(lǐng)導(dǎo)和老師對我的培養(yǎng)教育，感謝同學(xué)四年的陪伴與幫助，祝大家一切都好！ 同時，感謝家人在生活和學(xué)業(yè)中給予的最無私的支持，你們的支持是我內(nèi)心最強(qiáng)大的動力，深深的感謝你們！ 最后，向參加本論文評閱和答辯的專家老師們致以最誠摯的謝意！