《浙江省甌海區(qū)三溪中學高三數學第一輪復習 第十三講 變化率與導數、導數的運算課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《浙江省甌海區(qū)三溪中學高三數學第一輪復習 第十三講 變化率與導數、導數的運算課件（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、 同學們，我們人個體學習知識的過程是重復人類歷史上人類如同學們，我們人個體學習知識的過程是重復人類歷史上人類如何學習認識知識的過程。比如我們學習數學遇到的問題就是人類歷何學習認識知識的過程。比如我們學習數學遇到的問題就是人類歷史上數學家認識研究數學所遇到的問題。史上數學家認識研究數學所遇到的問題。 歷史上數學家如何學習認識研究導數，為什么要發(fā)明導數，我歷史上數學家如何學習認識研究導數，為什么要發(fā)明導數，我們從兩個數學家說起。們從兩個數學家說起。 笑話 許超許超: 高考數學卷子我看了！其實也沒多難，導數那一題運用高考數學卷子我看了！其實也沒多難，導數那一題運用拉格朗日中值定理和佩亞諾余項的泰勒公
2、式就可以解決！解析幾何拉格朗日中值定理和佩亞諾余項的泰勒公式就可以解決！解析幾何那題只要在橢圓上求曲線積分，然后再橢圓包括的區(qū)域內求二重積那題只要在橢圓上求曲線積分，然后再橢圓包括的區(qū)域內求二重積分就可以解決！立體幾何就更簡單了！直接求三重積分，立刻解決！分就可以解決！立體幾何就更簡單了！直接求三重積分，立刻解決！至于數列那一題，先用狄利克雷充分條件證明通項公式再間斷點收至于數列那一題，先用狄利克雷充分條件證明通項公式再間斷點收斂于左極限和右極限和的一半，再進行傅里葉變換，利用拉普拉斯斂于左極限和右極限和的一半，再進行傅里葉變換，利用拉普拉斯方程，求出方程，求出N階導數，再求和，取極限就可以解
3、決了！階導數，再求和，取極限就可以解決了！ 牛頓：影響人類歷史的牛頓：影響人類歷史的100位偉人，牛頓排名第二。位偉人，牛頓排名第二。 艾薩克艾薩克牛頓爵士是人類歷史上出現過的最偉大、最有影響的科牛頓爵士是人類歷史上出現過的最偉大、最有影響的科學家，同時也是物理學家、數學家和哲學家，晚年醉心于煉金術和學家，同時也是物理學家、數學家和哲學家，晚年醉心于煉金術和神學。他在神學。他在1687年年7月月5日發(fā)表的不朽著作日發(fā)表的不朽著作自然哲學的數學原理自然哲學的數學原理里用數學方法闡明了宇宙中最基本的法則里用數學方法闡明了宇宙中最基本的法則萬有引力定律和三大萬有引力定律和三大運動定律。這四條定律構成
4、了一個統一的體系，被認為是運動定律。這四條定律構成了一個統一的體系，被認為是“人類智人類智慧史上最偉大的一個成就慧史上最偉大的一個成就”，由此奠定了之后三個世紀中物理界的，由此奠定了之后三個世紀中物理界的科學觀點，并成為現代工程學的基礎。牛頓為人類建立起科學觀點，并成為現代工程學的基礎。牛頓為人類建立起“理性主理性主義義”的旗幟，開啟工業(yè)革命的大門。牛頓逝世后被安葬于威斯敏斯的旗幟，開啟工業(yè)革命的大門。牛頓逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成為在此長眠的第一個科學家。特大教堂，成為在此長眠的第一個科學家。 萊布尼茲：影響人類的萊布尼茲：影響人類的100位偉人中，無萊布尼茲排名，但是：位偉人中，無
5、萊布尼茲排名，但是： 戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉萊布尼茨（萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年年1716年），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光年），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。先后獨立發(fā)明了微積分。 歷史上牛頓與萊布尼茲爭論誰是微積分的發(fā)明人，牛頓贏，但歷史上牛頓與萊布尼茲爭論誰是微積分的發(fā)明人，牛頓贏，但歷史上是兩人同時發(fā)明。這次爭論讓英國的數學倒退一個世紀。歷史上是兩人同時發(fā)明。這次爭
6、論讓英國的數學倒退一個世紀。 牛頓、愛因斯坦有自閉癥即阿斯伯格癥。牛頓、愛因斯坦有自閉癥即阿斯伯格癥。 在發(fā)明微積分前已經有笛卡爾的解析幾何。但在生活生產在發(fā)明微積分前已經有笛卡爾的解析幾何。但在生活生產實踐中遇到一些問題，以往的數學知識無法解決，必須要有新實踐中遇到一些問題，以往的數學知識無法解決，必須要有新方法來解決。比如：方法來解決。比如： 1 1、已知物體運動的位移是關于時間的函數、已知物體運動的位移是關于時間的函數, ,求物體在求物體在任意時刻的速度與加速度等任意時刻的速度與加速度等; ; 2 2、求曲線的切線、求曲線的切線; ; 3 3、求已知函數的最大值與最小值、求已知函數的最大
7、值與最小值; ; 4 4、求長度、面積、體積和重心等。、求長度、面積、體積和重心等。以上有物理問題和幾何問題，牛頓從物理角度發(fā)明微積分，萊以上有物理問題和幾何問題，牛頓從物理角度發(fā)明微積分，萊布尼茲從幾何角度發(fā)明微積分。布尼茲從幾何角度發(fā)明微積分。 學習微積分先從哪里開始？學習微積分先從哪里開始？ 先學習導數，要學習導數先學習什先學習導數，要學習導數先學習什么？那就是平均變化率。從平均變化率我們知道導數是個什么東西。么？那就是平均變化率。從平均變化率我們知道導數是個什么東西。 對于四個問題通過具體例子來說明如果函數是二次那可以求最對于四個問題通過具體例子來說明如果函數是二次那可以求最大值、最小
8、值、切線、面積（舊方法只可以求直線圍成的面積，二大值、最小值、切線、面積（舊方法只可以求直線圍成的面積，二次曲線圍成的面積原來方法就不行），如果大于二次那原來方法就次曲線圍成的面積原來方法就不行），如果大于二次那原來方法就力不從心要發(fā)明新方法，于是牛頓、萊布尼茲發(fā)明了微積分。力不從心要發(fā)明新方法，于是牛頓、萊布尼茲發(fā)明了微積分。導數是微積分的核心概念之一它是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具。 導數研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度問題問題2 高臺跳水高臺跳水 在在高臺跳水運動中高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高運動員相對于水面的高
9、度度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時間與起跳后的時間t t（單位：秒）存（單位：秒）存在函數關系在函數關系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用運動員在某些時如何用運動員在某些時 間段內的平均速度粗略間段內的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)地描述其運動狀態(tài)? ?hto請計算00.52:ttv 和1時的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05( / )0.5 0(2)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在這段時間里，在1這段時間里， 計算運動員在計算運動員在 這段時間
10、里的平均速度這段時間里的平均速度,并思考下面的問題并思考下面的問題:65049t 探究探究:(1) 運動員在這段時間里是靜止的嗎運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2) 你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?65()(0)1049hh0hvt 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài)他在這段時間里運動狀態(tài).平均變化率定義平均變化率定義: 若設若設x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 則平均變化率為則平均變化率為121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x這
11、里這里x看作是對于看作是對于x1的一個的一個“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同樣同樣f=y=f(x2)-f(x1)l上述問題中的變化率可用式子上述問題中的變化率可用式子 表示表示稱為函數稱為函數f(x)從從x1到到x2的的平均變化率平均變化率思考思考? 觀察函數觀察函數f(x)的圖象的圖象平均變化率平均變化率表示什么表示什么?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線直線AB的的斜率斜率 有的同學學到這里可能會疑問，覺得學習平均變化率好像什么有的同學學到這里可能會疑問，覺得學習平均變化率好像什么也沒學
12、就是以前的直線的斜率且仿佛回到了以前且覺得還把簡單問也沒學就是以前的直線的斜率且仿佛回到了以前且覺得還把簡單問題復雜化。題復雜化。 其實如果再學下去，就會峰回路轉，煥然一新，出現新東西就其實如果再學下去，就會峰回路轉，煥然一新，出現新東西就是導數。是導數。小結：小結： 1.函數的平均變化率函數的平均變化率( )f xx121)()f xxx2f(xv2.求函數的平均變化率的步驟求函數的平均變化率的步驟:(1)求函數的增量求函數的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計算計算平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x3.平均變化率是曲線陡峭程度的平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化
13、數量化”，是一種粗略，是一種粗略的刻畫的刻畫-導數導數導數的定義導數的定義:函數函數 y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xyxxfxxfxx lim )()(lim0000稱為函數稱為函數 y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導數導數, 記作記作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy;)().1 (000其導數值一般也不相同的值有關，不同的與xxxf 的具體取值無關。與 xxf)(0一概念的兩個名稱。瞬時變化率與導數是同).2( 導數的具體模型就是已知位移與時間的函數關系求瞬時速度。導數的具體模
14、型就是已知位移與時間的函數關系求瞬時速度。P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .圖圖 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趨勢趨勢化化變變的的割線割線時時趨近于點趨近于點沿著曲線沿著曲線當點當點圖圖如如察察觀觀nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 yxo)(xfy P相切相交再來一次PPnoxyy=f(x)割割線線切線切線T當點當點Pn沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P即即x0時時,割線割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位趨近于確定的位置，這個確定位置的直線置的直線PT稱為點稱為點P處的處的切線切線.?同同過過的的
15、切切線線定定義義有有什什么么不不此此處處切切線線定定義義與與以以前前學學切線切線Pl 能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該點的直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。例。不能不能xyo直線與圓有惟一公共點時，直線與圓有惟一公共點時，直線叫做圓的切線。直線叫做圓的切線。所以，不能用直線與曲線的公共點的個所以，不能用直線與曲線的公共點的個數來定義曲線的切線。數來定義曲線的切線。 圓的切線定義并不適圓的切線定義并不適用
16、于一般的曲線。用于一般的曲線。 通過通過逼近逼近的方法，將的方法，將割線趨于的確定位置的割線趨于的確定位置的直線直線定義為切線定義為切線（交點（交點可能不惟一）可能不惟一）適用于各適用于各種曲線。所以，這種定種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的義才真正反映了切線的直觀本質。直觀本質。 2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割線與切線的斜率有何關系呢？割線與切線的斜率有何關系呢？xxfxxfkPQ)()(xy00 即：當即：當x0時，割線時，割線PQ的的斜率的極限斜率的極限，就是曲線，就是曲線在點在點P處的處的切線的斜率切線的斜率，xxfxxfxyxx)(
17、)(k0000limlim所以： 0 xf 函數函數 y=f(x)在點在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線處的導數的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率，即曲線處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0) 處的切線的斜率是處的切線的斜率是 .)(0 xf 故曲線故曲線y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy 導數的幾何意義導數的幾何意義 結論：根據導數的幾何意義，結論：根據導數的幾何意義， 當某點處導數大于零時，說明在這點的附近曲線當某點處導數大于零時，說明在這點的附近曲線
18、是上升的，即函數在這點附近是單調遞增；是上升的，即函數在這點附近是單調遞增； 當某點處導數小于零時，說明在這點的附近曲線當某點處導數小于零時，說明在這點的附近曲線是下降的，即函數在這點附近是單調遞減；是下降的，即函數在這點附近是單調遞減； 當某點處導數等于零時，說明是函數的最值點。當某點處導數等于零時，說明是函數的最值點。 這是導數又一個非常重要的應用，用導數判斷函數的單調性結這是導數又一個非常重要的應用，用導數判斷函數的單調性結論是簡單明了通俗易懂，這就是導數的偉大魅力。比如判斷論是簡單明了通俗易懂，這就是導數的偉大魅力。比如判斷y=x2 、y=x3 的單調性的單調性,要復習高一的證法，再講
19、解導數的證法，高一證法同要復習高一的證法，再講解導數的證法，高一證法同學早已忘光。通過比較知道導數的巨大魅力，導數是項偉大的發(fā)明，學早已忘光。通過比較知道導數的巨大魅力，導數是項偉大的發(fā)明，如愛因斯坦的狹義、廣義相對論。證明如愛因斯坦的狹義、廣義相對論。證明y=x3 的單調性是某年的高考的單調性是某年的高考題，得分很低。題，得分很低。 有的同學可能覺得求導數每次按定義求運算量很大，其實同學有的同學可能覺得求導數每次按定義求運算量很大，其實同學們學到以后會發(fā)現這些有共同的公式去套，有人專門解出具有普遍們學到以后會發(fā)現這些有共同的公式去套，有人專門解出具有普遍意義的函數的導數，讓人們只是套一下解題
20、。意義的函數的導數，讓人們只是套一下解題。例例1:2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切線方程：20 xy即：求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點P(1,2)處的切線方程處的切線方程.導數的幾何意義的應用導數的幾何意義的應用202lim2xxxx 注：舊方法也可以求，且新方法與舊方法相比還不顯示出導數注：舊方法也可以求，且新方法與舊方法相比還不顯示出導數的優(yōu)越性。但以下一題就可以顯示出導數的優(yōu)越性，這一題舊方法的優(yōu)越性。但以下一題就可以顯示出導數的優(yōu)越性，這一題舊方法已經是力不從心無可救藥了，必須要發(fā)明新方法即導數的方法。已經是力不從心無可救藥了，必須要發(fā)明新
21、方法即導數的方法。練習練習:如圖如圖,已知曲線已知曲線 , 求求: (1)點點P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上一點 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即點即點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx 這是導數這是導數非常非常非常非常
22、小的應用。小的應用。原來方法原來方法沒有效果沒有效果了，必須了，必須發(fā)明新方發(fā)明新方法，那就法，那就是導數是導數11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公 式若則公 式若則公 式若則公 式若則公 式若則公 式若則公 式若則且公 式若1( )ln,( );fxxfxx則基本初等函數的導數公式注意：幾個其他的公式只須知道結論，推導過程超標不做要求，注意：幾個其他的公式只須知道結論，推導過程超標不做要求，大學里有學。有了公式我們求函數導數時不必每次都根據定義大學里有學。有了公式我們求函數導數時不必每次都根據定義來求，根據定義運算量大，我們只須根據公式套一下就可求出來求，根據定義運算量大，我們只須根據公式套一下就可求出
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