數(shù)學第三章 函數(shù) 第四節(jié) 反比例函數(shù)

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1、第四節(jié)反比例函數(shù)考點一考點一 反比例函數(shù)的圖象與性質反比例函數(shù)的圖象與性質 (5(5年年0 0考考) )例例1 1(2018(2018衡陽中考衡陽中考) )對于反比例函數(shù)對于反比例函數(shù)y y ，下列說法不，下列說法不正確的是正確的是( )( )2xA A圖象分布在第二、四象限圖象分布在第二、四象限B B當當x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而增大的增大而增大C C圖象經過點圖象經過點(1(1，2)2)D D若點若點A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )都在圖象上，且都在圖象上，且x x1 1x x2 2，則則y y1 1y y2 2【分析分析】

2、根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質對各選項分析判斷根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解后利用排除法求解【自主解答自主解答】 A Ak k2 20 0，它的圖象在第二、四象它的圖象在第二、四象限，故本選項正確；限，故本選項正確；B Bk k2 20 0，當，當x x0 0時，時，y y隨隨x x的增大而增大，故本選項的增大而增大，故本選項正確；正確；C C 2 2，點點(1(1，2)2)在它的圖象上，故本選項正在它的圖象上，故本選項正確；確；D D點點A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )都在反比例函數(shù)都在反比例函數(shù)y y 的圖象的圖象上，若上，

3、若x x1 1x x2 20 0，則，則y y1 1y y2 2，故本選項錯誤故選，故本選項錯誤故選D.D.212x對于反比例函數(shù)對于反比例函數(shù)y y (k0)(k0)，k k的符號、圖象所在的象限、的符號、圖象所在的象限、函數(shù)的增減性這三者，知道其中一個，另外兩個都可以推函數(shù)的增減性這三者，知道其中一個，另外兩個都可以推出，即出，即k0k0圖象在第一、三象限圖象在第一、三象限在每個象限內在每個象限內y y隨隨x x的增的增大而減??；大而減??；k0k0圖象在第二、四象限圖象在第二、四象限在每個象限內在每個象限內y y隨隨x x的增大而增大的增大而增大kx1 1(2018(2018菏澤中考菏澤中

4、考) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y yaxax2 2bxbxc c的圖象如的圖象如圖所示，則一次函數(shù)圖所示，則一次函數(shù)y ybxbxa a與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y y 在同在同一平面直角坐標系中的圖象大致是一平面直角坐標系中的圖象大致是( )( )a b cx B B2 2(2018(2018東營模擬東營模擬) )已知反比例函數(shù)已知反比例函數(shù)y y 的圖象如圖，的圖象如圖，則則m m的取值范圍是的取值范圍是_1 mx m1 m1 3 3(2018(2018濱州中考濱州中考) )若點若點A(A(2 2，y y1 1) )，B(B(1 1，y y2 2) )，C(1C(1，y y3 3) )都在

5、反比例函數(shù)都在反比例函數(shù)y y (k(k為常數(shù)為常數(shù)) )的圖象的圖象上，則上，則y y1 1，y y2 2，y y3 3的大小關系為的大小關系為 _223kkxy y2 2y y1 1y y3 3考點二考點二 確定反比例函數(shù)的解析式確定反比例函數(shù)的解析式 (5(5年年3 3考考) )例例2 2 (2018(2018東營中考東營中考) )如圖，如圖，B(3B(3，3)3)，C(5C(5，0)0)，以，以OCOC，CBCB為邊作平行四邊形為邊作平行四邊形OABCOABC，則經過點，則經過點A A的反比例函數(shù)的解析的反比例函數(shù)的解析式為式為 【分析分析】設設A A坐標為坐標為(x(x，y)y)，根

6、據(jù)四邊形，根據(jù)四邊形OABCOABC為平行四為平行四邊形，利用平移性質確定出邊形，利用平移性質確定出A A的坐標，利用待定系數(shù)法確的坐標，利用待定系數(shù)法確定出解析式即可定出解析式即可【自主解答自主解答】四邊形四邊形OABCOABC是平行四邊形，是平行四邊形，B(3B(3，3)3)，C(5C(5，0)0)，A(3A(35 5，3)3)，即，即A(A(2 2，3)3)，過點過點A A的反比例函數(shù)的反比例函數(shù)解析式為解析式為y y . . 6x確定反比例函數(shù)解析式的方法確定反比例函數(shù)解析式的方法(1)(1)當已知反比例函數(shù)圖象上一個點的坐標時，可用待定系當已知反比例函數(shù)圖象上一個點的坐標時，可用待定

7、系數(shù)法求得函數(shù)解析式；數(shù)法求得函數(shù)解析式；(2)(2)當實際問題中的兩個變量成反比例函數(shù)關系時，且知道當實際問題中的兩個變量成反比例函數(shù)關系時，且知道其中一組對應值，可用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式其中一組對應值，可用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式4 4(2017(2017威海中考威海中考) )如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的邊的邊長為長為5 5，點，點A A的坐標為的坐標為( (4 4，0)0)，點，點B B在在y y軸上，軸上，若反比例函數(shù)若反比例函數(shù)y y (k0)(k0)的圖象過點的圖象過點C C，則，則該反比例函數(shù)的解析式為該反比例函數(shù)的解析式為( )( )kxA A5 5(2018

8、(2018岳陽中考岳陽中考) )如圖，某反比例函數(shù)圖象的一支經如圖，某反比例函數(shù)圖象的一支經過點過點A(2A(2，3)3)和點和點B(B(點點B B在點在點A A的右側的右側) )，作，作BCyBCy軸，垂足軸，垂足為點為點C C，連接，連接ABAB，AC.AC.(1)(1)求該反比例函數(shù)的解析式；求該反比例函數(shù)的解析式；(2)(2)若若ABCABC的面積為的面積為6 6，求直線，求直線ABAB的的解析式解析式解：解：(1)(1)由題意得由題意得k kxyxy2 23 36 6，反比例函數(shù)的解析式為反比例函數(shù)的解析式為y y . .(2)(2)如圖，設如圖，設B B點坐標為點坐標為(a(a，b

9、)b)，作作ADBCADBC于于D D，則，則D(2D(2，b)b)6x反比例函數(shù)反比例函數(shù)y y 的圖象經過點的圖象經過點B(aB(a，b)b)，b b ，ADAD3 3 ，S SABCABC BCBCADAD a(3a(3 ) )6 6，解得解得a a6 6，b b 1 1，B(6B(6，1)1)6x6a6a12126a6a設設ABAB的解析式為的解析式為y ykxkxb.b.將將A(2A(2，3)3)，B(6B(6，1)1)代入函數(shù)解析式得代入函數(shù)解析式得解得解得直線直線ABAB的解析式為的解析式為y y x x4.4.12考點三考點三 比例系數(shù)比例系數(shù)k k的幾何意義的幾何意義 (5(

10、5年年3 3考考) )例例3 3 (2015(2015東營中考東營中考) )如圖是函數(shù)如圖是函數(shù)y y 與與函數(shù)函數(shù)y y 在第一象限內的圖象，點在第一象限內的圖象，點P P是是y y 的圖象上一動點，的圖象上一動點，PAxPAx軸于點軸于點A A，交，交y y 的圖象于點的圖象于點C C，PByPBy軸于點軸于點B B，交，交y y 的圖象于點的圖象于點D.D.(1)(1)求證：求證：D D是是BPBP的中點；的中點；(2)(2)求四邊形求四邊形ODPCODPC的面積的面積3x6x6x3x3x【分析分析】 (1) (1)根據(jù)解析式設出點根據(jù)解析式設出點P P的坐標，進而寫出點的坐標，進而寫出

11、點D D的坐的坐標，根據(jù)線段中點的定義可證明結論；標，根據(jù)線段中點的定義可證明結論；(2)(2)利用反比例系數(shù)利用反比例系數(shù)k k的幾何意義解答的幾何意義解答【自主解答自主解答】(1)(1)點點P P在函數(shù)在函數(shù)y y 上，上，設點設點P P的坐標為的坐標為( ( ，m)m)點點D D在函數(shù)在函數(shù)y y 上，上，BPxBPx軸，軸，設點設點D D的坐標為的坐標為( ( ，m)m)由題意得由題意得BDBD ，BPBP 2BD2BD，D D是是BPBP的中點的中點 6x6m3x3m3m6m(2)S(2)S四邊形四邊形OAPBOAPB m m6 6，由反比例系數(shù)由反比例系數(shù)k k的幾何意義可知的幾何

12、意義可知S SOBDOBD ，S SOACOAC ，S S四邊形四邊形ODPCODPCS S四邊形四邊形PBOAPBOAS SOBDOBDS SOACOAC6 6 3.3.6m32323232確定確定k k值時忽略圖象所在的象限值時忽略圖象所在的象限過反比例函數(shù)圖象上的任一點分別向兩坐標軸作垂線，垂線過反比例函數(shù)圖象上的任一點分別向兩坐標軸作垂線，垂線段與兩坐標軸圍成的矩形面積等于段與兩坐標軸圍成的矩形面積等于|k|k|，這一點和垂足以及，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形面積等于坐標原點所構成的三角形面積等于 . .但是需要注意的是，但是需要注意的是，確定確定k k值時，還要結合具體的函

13、數(shù)圖象所在的象限，這是最值時，還要結合具體的函數(shù)圖象所在的象限，這是最易出錯的地方易出錯的地方| |2k6 6(2018(2018郴州中考郴州中考) )如圖，如圖，A A，B B是反比例函數(shù)是反比例函數(shù)y y 在第一在第一象限內的圖象上的兩點，且象限內的圖象上的兩點，且A A，B B兩點的橫坐標分別是兩點的橫坐標分別是2 2和和4 4，則則OABOAB的面積是的面積是( )( )A A4 B4 B3 C3 C2 D2 D1 14xB B7 7(2014(2014東營中考東營中考) )如圖，函數(shù)如圖，函數(shù)y y 和和y y 的圖象分的圖象分別是別是l l1 1和和l l2 2. .設點設點P P

14、在在l l1 1上，上，PCxPCx軸，垂足為軸，垂足為C C，交，交l l2 2于點于點A A，PDyPDy軸，垂足為軸，垂足為D D，交，交l l2 2于點于點B B，則，則PABPAB的面積為的面積為 1x3x8 8 8 8(2018(2018威海中考威海中考) )如圖，直線如圖，直線ABAB與雙與雙曲線曲線y y (k0)(kSS2 2時，點時，點P P的橫坐標的橫坐標x x的取值范圍為的取值范圍為_kx6 6x x2 2 考點四考點四 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合 (5(5年年2 2考考) )例例4 4(2017(2017東營中考東營中考) )如圖，一次函數(shù)如

15、圖，一次函數(shù)y ykxkxb b的圖象與坐標的圖象與坐標軸分別交于軸分別交于A A，B B兩點，與反比例函數(shù)兩點，與反比例函數(shù)y y 的圖象在第一象的圖象在第一象限的交點為限的交點為C C，CDxCDx軸，垂足為軸，垂足為D D，若，若OBOB3 3，ODOD6 6，AOBAOB的面積為的面積為3.3.nx(1)(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)(2)直接寫出當直接寫出當x x0 0時，時，kxkxb b 00的解集的解集nx【分析分析】 (1) (1)先求出點先求出點A A，B B的坐標，利用待定系數(shù)法求出的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；

16、把一次函數(shù)的解析式；把x x6 6代入求出點代入求出點C C的坐標，進而得出的坐標，進而得出反比例函數(shù)的解析式；反比例函數(shù)的解析式；(2)(2)利用圖象寫出不等式的解集即可利用圖象寫出不等式的解集即可【自主解答自主解答】 (1)S(1)SAOBAOB3 3，OBOB3 3，OAOA2 2，B(3B(3，0)0)，A(0A(0，2)2)代入代入y ykxkxb b得得 解得解得一次函數(shù)的解析式為一次函數(shù)的解析式為y y x x2.2.ODOD6 6，D(6D(6，0)0)，CDxCDx軸，軸，23當當x x6 6時，時，y y 6 62 22 2，C(6C(6，2)2)點點C C在反比例函數(shù)在反

17、比例函數(shù)y y 上，上，n n6 62 21212，反比例函數(shù)的解析式是反比例函數(shù)的解析式是y y . .(2)(2)由圖象可知，當由圖象可知，當x x0 0時，時，kxkxb b 0 b 的解集，從函數(shù)圖象上反映為一次的解集，從函數(shù)圖象上反映為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的部分，即函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的部分，即xxx xA A或或x xB Bx0 x0；(2)(2)對于不等式對于不等式axaxb b 的解集，從函數(shù)圖象上反映為一次的解集，從函數(shù)圖象上反映為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方的部分，即函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方的部分，即0 x0 xx xA A或或xxx xB B.

18、 .kxkx9 9(2018(2018臨沂中考臨沂中考) )如圖，正比例函數(shù)如圖，正比例函數(shù)y y1 1k k1 1x x與反比例函與反比例函y y2 2 的圖象相交于的圖象相交于A A，B B兩點，其中點兩點，其中點A A的橫坐標為的橫坐標為1 1，當，當y y1 1y y2 2時，時，x x的取值范圍是的取值范圍是( )( )A Ax x1 1或或x x1 1B B1 1x x0 0或或x x1 1C C1 1x x0 0或或0 0 x x1 1D Dx x1 1或或0 0 x x1 12kxD D1010(2016(2016東營中考東營中考) )如圖，在平面直角坐標系中，直線如圖，在平面

19、直角坐標系中，直線ABAB與與x x軸交于點軸交于點B B，與，與y y軸交于點軸交于點A A，與反比例函數(shù)，與反比例函數(shù)y y 的圖象的圖象在第二象限交于點在第二象限交于點C C，CExCEx軸，垂足為點軸，垂足為點E E，tanABOtanABO ，OBOB4 4，OEOE2.2.mx12(1)(1)求反比例函數(shù)的解析式；求反比例函數(shù)的解析式；(2)(2)若點若點D D是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點，過點是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點，過點D D作作DFyDFy軸，垂足為點軸，垂足為點F F，連接，連接ODOD，BFBF，如果，如果S SBAFBAF4S4SDFODFO，求，求點點D

20、D的坐標的坐標解：解：(1)OB(1)OB4 4，OEOE2 2，BEBEOBOBOEOE6.6.CExCEx軸，軸，CEBCEB9090. .在在RtRtBECBEC中，中，tanABOtanABO ， ，即，即 ，解得，解得CECE3.3.結合圖象可知結合圖象可知C C點的坐標為點的坐標為( (2 2，3)3)將將C(C(2 2，3)3)代入反比例函數(shù)解析式可得代入反比例函數(shù)解析式可得3 3 ，解得解得m m6 6，12CEBE6CE12122m反比例函數(shù)解析式為反比例函數(shù)解析式為y y . .(2)(2)設點設點D D的坐標為的坐標為(a(a，b)b)S SBAFBAF4S4SDFODFO， AFAFOBOB4 4 OF OFFDFD，(AO(AOOF)OBOF)OB4OF4OFFDFD，即即22( (b)b)4 44ab4ab，8 84b4b4ab.4ab.6x1212點點D D在反比例函數(shù)圖象上，在反比例函數(shù)圖象上，b b ，abab6 6，8 84b4b2424，解得解得b b4.4.把把b b4 4代入代入b b 中，解得中，解得a a ，D( D( ，4)4)6a6a3232