數(shù)學第二章 函數(shù) 2.6 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用

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1、2.6函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用高考數(shù)學高考數(shù)學1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征函數(shù)性質(zhì)y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢隨值變化而不同圖象的變化隨x值的增大,圖象與y軸接近平行隨x值的增大,圖象與x軸接近平行隨值變化而不同知識清單2.幾種常見的函數(shù)模型(1)直線模型:一次函數(shù)模型y=kx+b(k0),圖象增長的特點是直線式上升(x的系數(shù)k0),通過圖象可以直觀地認識它,特例是正比例函數(shù)模型y=kx(k0).(2)反比例函數(shù)模型:y=(k0),增長特點是在單調(diào)區(qū)間內(nèi)y隨x的增大而減小.(3)指數(shù)函數(shù)模型:y

2、=abx+c(b0,b1,a0),其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(b1,a0).常形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(4)對數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0),增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢(a1,m0).常形象地稱為“蝸牛式增長”.kx(5)冪函數(shù)模型:y=axn+b(a0),其中最常見的是二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a0).其特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小,后增大(a0).(6)“對勾”函數(shù)模型:形如f(x)=x+(a0,x0)的函數(shù)模型,在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應用,常利用“基本不等式”解決,有時利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值.

3、3.解答函數(shù)的實際應用題的步驟(1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數(shù)量關系,初步選擇數(shù)學模型;(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,利用數(shù)學知識,建立相應的數(shù)學模型;(3)求模:求解數(shù)學模型,得出數(shù)學結論;ax(4)還原:將數(shù)學問題還原為實際問題.以上過程用框圖表示如下: 函數(shù)的實際應用題函數(shù)的實際應用題利用已知函數(shù)模型解決實際問題若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型,或可確定其函數(shù)模型的圖象,求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題.方法技巧方法例(2017江蘇無錫期中)某工廠第一季度某產(chǎn)品月生產(chǎn)量依次為10萬件,12萬件,1

4、3萬件,為了預測以后每個月的產(chǎn)量,以這3個月的產(chǎn)量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(單位:萬件)與月份x的關系.模擬函數(shù)1:y=ax+c;模擬函數(shù)2:y=mnx+s.(1)已知4月份的產(chǎn)量為14萬件,問選用哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)好?(2)受工廠設備的影響,全年的每月產(chǎn)量都不超過15萬件,請選用合適的模擬函數(shù)預測6月份的產(chǎn)量.bx解析若用模擬函數(shù)1:y=ax+c,則有解得a=,b=-3,c=,即y=-+.若用模擬函數(shù)2:y=mnx+s,則有解得m=-8,n=,s=14,即y=14-23-x.bx10,122,2133,3abcbacbac122522x 3x2522310,12,13,mnsmnsmns12(1)若用模擬函數(shù)1,當x=4時,y=13.75;若用模擬函數(shù)2,當x=4時,y=13.5.因為13.513.7515,模擬函數(shù)2:y=14-23-x是單調(diào)遞增函數(shù),當x=12時,y15,所以應該選用模擬函數(shù)2:y=14-23-x.當x=6時,y=14-23-6=13.875.所以預測6月份的產(chǎn)量為13.875萬件.2x 3x252734