數(shù)學(xué)第三章 導(dǎo)數(shù) 3.1 導(dǎo)數(shù)

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1、第三章 導(dǎo) 數(shù)3.1 導(dǎo) 數(shù)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)如果當(dāng)x0時(shí),有極限,就說函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(或瞬時(shí)變化率),記作 f (x0)或y,即f (x0)= .f (x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0, f(x0)處的切線的斜率.(2)如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)值在(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)新的函數(shù)叫做f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).記作f (x)或y.yx0|x x0limx yx0limx 00()()f

2、xxf xx知識(shí)清單2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義,通常指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義與物理意義的理解,有助于對(duì)抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí),應(yīng)給予足夠重視.3.f (x0)與f (x)的關(guān)系f (x0)表示f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),即f (x0)是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù); f (x)表示函數(shù)f(x)在某給定區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),此時(shí)f (x)是在(a,b)上x的函數(shù),即f (x)是在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式C=0 (其中C為常數(shù));(xn)= nxn-1 (nQ);(sin x)

3、= cos x ;(cos x)=-sin x ;(ln x)= ;(logax)= (a0,a1);(ex)= ex ;(ax)= axln a (a0,a1).2.可導(dǎo)函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(1)u(x)v(x)=u(x)v(x);(2)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);1x1lnxa(3)=(v(x)0).3.y=f(x)的導(dǎo)數(shù)yx= yuux (其中u=(x).( )( )u xv x2( ) ( )( ) ( )( )u x v xu x v xvx 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的解題策略進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí),要注意以下三點(diǎn):1.盡可能把原函數(shù)化為基本初等函數(shù)和的形式.2.遇到三角函數(shù)求

4、導(dǎo)時(shí),往往要對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),從而可以減少運(yùn)算量.3.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),要合理地選擇中間變量.例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=;(3)y=-sin.52sinxxxx2x212cos4x方法技巧方法1解析(1)解法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.解法二:y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3

5、x2+12x+11.(2)y=+x3+,y=()+(x3)+(x-2sin x)1522sinxxxx32x2sin xx32x=- +3x2-2x-3sin x+x-2cos x.(3)y=-sin=sin x,y=(sin x)=cos x.3252x2xcos2x121sin2x1212 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的解題策略導(dǎo)數(shù)的幾何意義的解題策略若已知曲線過點(diǎn)P(x0,y0),求曲線過點(diǎn)P(x0,y0)的切線,則需分點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解.(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)時(shí),切線方程為y-y0=f (x0)(x-x0).(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不是切點(diǎn)時(shí),可分以下幾步完成

6、:第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P(x1,f(x1);第二步:寫出在P(x1,f(x1)處的切線方程:y-f(x1)=f (x1)(x-x1);第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線方程,求出x1;第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1),可得過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.例2 (2017浙江金華十校聯(lián)考(4月),14)已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象在方法2點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為2x-y-5=0,則a= ;b = .解題導(dǎo)引 由切點(diǎn)在曲線上和切線斜率,得關(guān)于a,b的方程組解方程組得結(jié)論解析由切線方程知,f(1)=-3.而f (1)=(3x2+a)x=1=3+a,所以解得 32,13,aab 1,3.ab 答案-1;-3