數(shù)學(xué)第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第4節(jié) 數(shù)列求和 理

第第4節(jié)數(shù)列求和節(jié)數(shù)列求和最新考綱1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；2.了解非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式()當(dāng)q1時(shí)，Sn_；(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).na1(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2.常見的裂項(xiàng)公式診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)解析(3)要分a0或a1或a0且a1討論求解.答案(1)(2)(3)(4)答案B3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A.2nn21 B.2n1n21C.2n1n22 D.2nn2答案C4.(必修5P38T8改編)一個(gè)球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程是()A.100200(129) B.100100(129)C.200(129) D.100(129)答案A5.(必修5P61A4(3)改編)12x3x2nxn1_(x0且x1).解析設(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxn6.(2018麗水測(cè)試)“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列an中，a11，a21，an2an1an(nN*)則a7_；若a2 018m，則數(shù)列an的前2 016項(xiàng)和是_(用m表示).解析a11，a21，an2an1an(nN*)，a3112，同理可得：a43，a55，a68，則a713.a11，a21，anan1an2(nN*)，a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，a2 015a2 016a2 017a2 016a2 017a2 018.以上累加得，a12a22a32a42a2 016a2 017a3a4a2 018，a1a2a3a4a2 016a2 018a2m1.答案13m1考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和答案(1)A(2)A考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和規(guī)律方法(1)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).(2)將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.解(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)，又n1時(shí)，a12適合上式，考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和【例3】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；規(guī)律方法(1)一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式.【訓(xùn)練3】 (2017山東卷)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；