數(shù)學(xué)第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第五節(jié) 定積分與微積分基本定理 理

第五節(jié)定積分與微積分基本定理總綱目錄教材研讀1.定積分的定義考點(diǎn)突破2.定積分的運(yùn)算性質(zhì)3.微積分基本定理考點(diǎn)二定積分幾何意義的應(yīng)用考點(diǎn)二定積分幾何意義的應(yīng)用考點(diǎn)一定積分的計(jì)算4.定積分的幾何意義考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用教材研讀教材研讀1.定積分的定義定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0 x1xi-1xixn=b將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上任取一點(diǎn)i(i=1,2,n),作和式f(i)x=f(i),當(dāng)n時(shí),上述和式無限接近于某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作f(x)dx,即 f(x)dx=f(i).這里a和b分別叫做積分下限和積分上限,區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式.1ni1nibanbabalimnban2.定積分的運(yùn)算性質(zhì)定積分的運(yùn)算性質(zhì)(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k為常數(shù)).(2)f1(x)f2(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(ac1),則a的值是2.1a12xx答案答案2解析解析由dx=(x2+lnx)=(a2+lna)-(12+ln1)=a2+lna-1=3+ln2(a1),得a2+lna=4+ln2,所以a=2.1a12xx3.(2018北京海淀期中,9)定積分的值為0.131dxx答案答案0解析解析=-=0.131x dx14114x14144.若-2.122001( )d1,( )d1,( )df xxf xxf xx 則答案答案-2=-1-1=-2.221100( )d( )d( )df xxf xxf xx解析解析,212001( )d( )d( )df xxf xxf xx5.定積分(x+cosx)dx=.022解析解析(x+cosx)dx=.021sin2xx22答案答案22考點(diǎn)一定積分的計(jì)算考點(diǎn)一定積分的計(jì)算典例典例1(1)(2017北京豐臺(tái)一模,3)定積分dx=()A.10-ln3B.8-ln3C.D.(2)(2017北京海淀一模,5)已知a=xdx,b=x2dx,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.abcB.acbC.bacD.cab3112xx223649101010dx x考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破BC答案答案(1)B(2)C解析解析(1)dx=(x2-lnx)=(9-ln3)-(1-ln1)=8-ln3.故選B.(2)解法一:當(dāng)x(0,1)時(shí),結(jié)合圖象可知x2x,由定積分的幾何意義可知baab,選C.3112xx1210 1213132332x23方法技巧方法技巧求定積分的常用方法1.利用定積分的幾何意義.求定積分f(x)dx時(shí),若被積函數(shù)的原函數(shù)不易求,而被積函數(shù)的圖象與直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積易求,則用定積分的幾何意義求定積分.ba2.利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-a,a上連續(xù),則由定積分的幾何意義和奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得:(1)若f(x)是偶函數(shù),則f(x)dx=2f(x)dx;(2)若f(x)是奇函數(shù),則f(x)dx=0.aa0aaa1-1計(jì)算:定積分|3-2x|dx=.21解析解析因?yàn)閨3-2x|=所以|3-2x|dx332 ,2323,2x xxx21答案答案12=(3-2x)dx+(2x-3)dx=(3x-x2)+(x2-3x)=.321232321 232 12121-2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+c(a0),若f(x)dx=f(x0),0 x01,則x0的值為.10解析解析由已知可得a+c=a+c,=.又0 x01,x0=.1320 x20 x1333答案答案3333典例典例2(1)過點(diǎn)(-1,0)的直線l與曲線y=相切,則曲線y=與直線l及x軸所圍成的封閉圖形的面積為;(2)如圖,一橫截面為等腰梯形的水渠,因泥沙沉積,導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示),則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為1.2.xx考點(diǎn)二定積分幾何意義的應(yīng)用考點(diǎn)二定積分幾何意義的應(yīng)用13答案答案(1)(2)1.213解析解析(1)因?yàn)閥=的導(dǎo)數(shù)為y=,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則切線的斜率為=,解得x0=1,即切線的斜率為,所以直線l的方程為y=(x+1),所以所圍成的封閉圖形的面積為dx+1=+=.(2)建立直角坐標(biāo)系,如圖.12 x012 x001xx 12101(1)2xx1212322112423xxx10 1413x過B作BEx軸于點(diǎn)E,BAE=45,BE=2,AE=2,又OE=5,A(3,0),B(5,2).設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p0),將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入,得p=,故拋物線的方程為y=x2.從而曲邊三角形OEB的面積為x2dx=.又SABE=22=2,故曲邊三角形OAB的面積為,從而圖中陰影部分的面積為.又易知等腰梯形ABCD的面積為2=16,則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為=1.2.254225502253275x50 1031243836 102168163方法技巧方法技巧利用定積分求平面圖形面積的一般步驟(1)畫出草圖;(2)分析圍成平面圖形的各曲線與直線,求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限,及被積函數(shù);(3)將平面圖形的面積表示成一個(gè)定積分或若干個(gè)定積分的和;(4)計(jì)算定積分,寫出答案.2-1(2013北京,7,5分)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.B.2C.D.438316 23C答案答案C由拋物線方程可知拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),所以直線l的方程為y=1.設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)為M、N,分別過M、N作x軸的垂線MM和NN,交x軸于點(diǎn)M、N,如圖.故所求圖形的面積等于陰影部分的面積,所求面積為S=4-2dx=.故選C.2024x83考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用典例典例3一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=7-3t+(t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車行駛的路程(單位:m)是()A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2251t113C答案答案C解析解析由v(t)=0得t=4.故所求路程為s=v(t)dt=dt=(4+25ln5)m.40 40 25731tt23725ln(1)2ttt40 方法技巧方法技巧定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程:如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(t),那么從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過的路程s=v(t)dt.(2)變力做功:一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b時(shí),力F(x)所做的功是W=F(x)dx.baba3-1一物體在力F(x)=(單位:N)的作用下,沿與力F相同的方向,從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=4(單位:m)處,則力F(x)做的功為36J.5,02,34,2xxx答案答案36解析解析由題意知,力F(x)所做的功為W=52+=10+=36(J).424002( )d5d(34)dF xxxxx2342xx223344 424 222