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1、數(shù)學20分鐘專題突破03
立體幾何初步
1．已知直線則下列四個命題：
①; ②;
③; ④
其中正確的是 （ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
1
1
側(cè)視圖
1
1
正視圖
俯視圖
2．如圖，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當這個幾何體的體積最大時圓的半徑是 （ ）
A． B． C． D．
3．如圖，ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結(jié)AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面有（
2、 ）對
A．1 B．2
C．3 D．4
4．給出下列關于互不相同的直線 和平面 的四個命題：
①若；
②若是異面直線，；
③若；
④若
其中為假命題的是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
二.填空題：
1.正三棱錐P－ABC的四個頂點同在一個半徑為2的球面上，若正三棱錐的側(cè)棱長為2，則正三棱錐的底面邊長是____________.
2、正三棱柱的底面邊長為２，高為２，則它的外接球的表面積為______；
3.在北緯60°圈上有A，B兩地，它們在此緯度圈上的弧長等于(是地球的半徑)，則A，B兩地的球面距離為__
3、____________.
三.解答題：
如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點，.
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）當時，求直線與平面所成角的大??；
(Ⅲ) 當取何值時，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心?
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
答
4、案：
1.〖解析〗本題考查線面位置關系的判斷，②④顯然不正確
〖答案〗D
2. 〖解析〗本題考查三視圖及椎體的體積計算。設底面半徑為r，高位，又，則，當即時，體積最大。
【答案】Ｃ
3.〖解析〗本題考查圖形的翻折，和面面垂直的判定，顯然面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，
【答案】Ｃ
4.〖解析〗本題考查線線，線面及面面位置關系的判定
【答案】Ｃ
二.填空題：
1. 【答案】3
2.【答案】
3. 【答案】
三.解答題：
解法一：（Ⅰ）過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N分別為 A1B1
5、、D1C1的中點，連MB、NC，則四邊形BCNM是平行四邊形 …………… 2分
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
M
N
F
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC?！? 4分
（Ⅱ） 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，…… 7分
設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，
sin∠APF=。所以，直線AP與平面PBC所成的角是。 ………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC，所以。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心
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