小學(xué)五年級數(shù)學(xué) 奧數(shù) 舉一反三 課程教案 110周

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1、把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記： 平均數(shù)=總數(shù)量總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量平均數(shù)【例題1】 有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？【思路導(dǎo)航】 （1）1箱蘋果1箱梨1箱橘子=423=136（個）； （2）1箱桃1箱梨1箱橘子=363=108（個） （3）1箱蘋果1箱桃=372=72（個）由（1）（2）兩個等式可知：1箱蘋果比1箱桃多126108=18（個），再根據(jù)等

2、式（3）就可以算出：1箱桃有（7418）2=28（個），1箱蘋果有2818=46（個）。1箱蘋果和1箱桃共有多少個：372=74（個）1箱蘋果比1箱桃多多少個：42336=18（個）1箱蘋果有多少個：2818=46（個）【練習(xí)1】1，一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？2，甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？3，甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組平均每組植樹17棵，乙、丙兩

3、組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？【例題2】 一次數(shù)學(xué)測驗，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？【思路導(dǎo)航】 女生每人比全班平均分高9291.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.290.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.821=16.8（分），應(yīng)補給每個男生0.7分，16.8里包含有24個0.7，即全班有24個男生【練習(xí)2】1，兩組學(xué)生進行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？2，有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，已知一塊地是5

4、畝，平均每畝產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？3，把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千克8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？【例題3】 某3個數(shù)的平均數(shù)是2，如果把其中一個數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少？【思路導(dǎo)航】 原來三個數(shù)的和是23=6，后來三個數(shù)的和是33=9，9比6多出了3，是因為把那個數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是43=1?！揪毩?xí)3】1，已知九個數(shù)的平均數(shù)是72，去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？2，有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1，那么這五個數(shù)的平均數(shù)為

5、8。這個改動的數(shù)原來是多少？3，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分?jǐn)?shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？【例題4】 五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學(xué)的98分誤作89分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？【思路導(dǎo)航】 98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有幾個0.2，五一班就有幾名同學(xué)【練習(xí)4】1，五（1）班有40人，期中數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平均分

6、為92分。缺考的兩位同學(xué)補考均為100分，這次五（1）班同學(xué)期中考試的平均分是多少分？2，某班的一次測驗，平均成績是91.3分。復(fù)查時發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作97分計算，經(jīng)重新計算，該班平均成績是91.1分。問全班有多少同學(xué)？3，五個數(shù)的平均數(shù)是18，把其中一個數(shù)改為6后，這五個數(shù)的平均數(shù)是16。這個改動的數(shù)原來是多少？【例題5】把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個數(shù)的平均數(shù)是27，后三個數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】先求出五個數(shù)的和：385=190，再求出前三個數(shù)的和：273=81，后三個數(shù)的和：483=144。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中間的那個數(shù)就算

7、了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)?！揪毩?xí)5】1，甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？2，十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？3，下圖中的內(nèi)有五個數(shù)A、B、C、D、E，內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有中的平均數(shù)。求C是多少？ 把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記： 平均數(shù)=總數(shù)量總份數(shù) 總數(shù)量=平均

8、數(shù)總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量平均數(shù)【例題1】小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是84分，這次要考100分，才能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗？【思路導(dǎo)航】100分比86分多14分，這14分必須填補到前幾次的平均分84分中去，使其平均分成為86分。每次填補8684=2（分），14里面有7個2，所以，前面已經(jīng)測驗了7次，這是第8次測驗?！揪毩?xí)1】1，老師帶著幾個同學(xué)在做花，老師做了21朵，同學(xué)平均每人做了5朵。如果師生合起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學(xué)在做花？2，一位同學(xué)在期中測驗中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是94分，如果數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分，

9、問這位同學(xué)一共考了多少門功課？3，兩組同學(xué)進行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，如果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？【例題2】 小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、自然五科的平均成績是89分，政治、數(shù)學(xué)兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，語文、英語兩科平均84分，英語比語文多10分。小亮的各科成績是多少分？【思路導(dǎo)航】 因為語文、英語兩科平均分84分，即語文英語=168分，而英語比語文多10分，即英語語文=10分，所以，語文是（16810）2=79分，英語是7910=89分。又因為政治、英語兩科平均86分，所以政治是86289=83分；而

10、政治、數(shù)學(xué)兩科平均分91.5分，數(shù)學(xué)是91.5283=100分；最后根據(jù)五科的平均成績是89分可知，自然分是895（798983100）=94分?！揪毩?xí)2】1，甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是82，甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86，乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？2，小華的前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是80分，這一次得了100分，正好把這幾次的平均分提高到85分。這一次是他第幾次測驗？3，五個數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是7，后四個數(shù)的平均數(shù)是10，那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？【例題3】 兩地相距360千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?0小時，已知這條河的

11、水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？【思路導(dǎo)航】 用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因為36010=36（千米）是順?biāo)俣?，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是366=30（千米）。而逆水速度=靜水速度水流速度，所以汽艇的逆水速度是306=24（千米）。逆水行全程時所用時間是36024=15（小時），往返的平均速度是3602（1015）=28.8（千米）?！揪毩?xí)3】1，甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭，已知汽船在靜水中每小時行駛21千米

12、。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？2，一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。已知客輪的靜水速度是每小時30千米，水速每小時3千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？3，甲船逆水航行300千米，需要15小時，返回原地需要10小時；乙船逆水航行同樣的一段水路需要20小時，返回原地需要多少小時？【例題4】 幼兒園小班的20個小朋友和大班的30個小朋友一起分餅干，小班的小朋友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊。求一共分掉多少塊餅干？【思路導(dǎo)航】 只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（3020）人就能求出餅干的總塊數(shù)。因為大班的小朋友每人比大、小班小朋友

13、的平均數(shù)多2塊，30個小朋友一共多230=60（塊），這60塊平均分給20個小班的小朋友，每人可得6020=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是103=13（塊）。一共分掉13（3020）=650（塊）?！揪毩?xí)4】1，數(shù)學(xué)興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學(xué)競賽中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？2，兩組同學(xué)跳繩，第一組有25人，平均每人跳80下；第二組有20人，平均每人比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多5下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？3，一個技術(shù)工帶5個普通工人完成了一項任務(wù)，每個普通工人各得120元，這位技術(shù)工人的收入比他們6人的平均收入還多2

14、0元。問這位技術(shù)工得多少元？【例題5】 王強從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩下的步行，每小時走4千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？【思路導(dǎo)航】 求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。由于題中沒有告訴我們A地到B地間的路程，我們可以設(shè)全程為24千米（也可以設(shè)其他數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時間是1212124=4（小時），再用244就能得到行全程的平均速度是每小時6千米。【練習(xí)5】1，小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明往返的平均速度。2，運動員進行長跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中

15、每分鐘跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。3，把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？ 同學(xué)們都知道，長方形的周長=（長寬）2，正方形的周長=邊長4。長方形、正方形的周長公式只能用來計算標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學(xué)知識巧求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識，掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計算它們的周長?！纠}1】 有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長?！舅悸穼?dǎo)航】 根據(jù)題意，我們可

16、以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、下平移（如圖b），轉(zhuǎn)化成一個大正方形，這個大正方形的周長和原來5個小正方形重疊后的圖形的周長相等。因此，所求周長是184=72厘米。【練習(xí)1】1，下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。2，下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。3，有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的周長?！纠}2】 一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米。現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？【思路導(dǎo)航】 把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積是19244=17

17、6（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形，而此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。1764=44（厘米），現(xiàn)在這塊木板的周長是442=88（厘米）?！揪毩?xí)2】1，有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平方米，且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。2，有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放在一起，這個圖形的周長是多少？3，有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩下的部分仍是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？【例題3】已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？【

18、思路導(dǎo)航】 從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是（ab）2，三條豎著的線段和是b2。所以，整個圖形的周長是（ab）2b2，即2a4b?！揪毩?xí)3】 1，有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的正方形后準(zhǔn)備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。2，一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（1）所示長方形，求所拼長方形的周長。3，求下面圖形（圖2）的周長（單位：厘米）。圖一圖二【例題4】下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長?！舅悸穼?dǎo)航】 我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊，

19、其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，陰影部分的周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的?！揪毩?xí)4】1，求下面圖形的周長（單位：厘米）。2，在（ ）里填上“”、“”或“=”。甲的周長（ ）乙的周長3，下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。圖一圖二圖三【例題5】如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的長方形的周長?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊長。因為BC=EF，CF=DE，所以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘米），這正好是最大長方形周長的一半。因此，最大長方形的周長是（96）2=30（厘米）?！?/p>

20、練習(xí)5】1，下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原來正方形的周長發(fā)生了什么變化？（單位：厘米）2，下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米，高30厘米。這個零件的周長是多少厘米？3，有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周長。 長方形的面積=長寬，正方形的面積=邊長邊長。掌握并能運用這兩個面積公式，就能計算它們的面積。 但是，在平時的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關(guān)概念，利用“割補”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求

21、長方形、正方形面積的問題，從而正確解答。【例題1】 已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】 從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了?！揪毩?xí)1】1，有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求小路的面積。2，正方形的一組對邊增加30厘米，另一組

22、對邊減少18厘米，結(jié)果得到一個與原正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3，把一個長方形的長增加5分米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方形多181平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？【例題2】一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積?！舅悸穼?dǎo)航】 因為AECE=6，DEEB=35，把兩個式子相乘AECEDEEB=356，而CEEB=14，所以AEDE=35614=15?！揪毩?xí)2】1，下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影

23、部分的面積。2，下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。3，下圖中陰影部分是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8厘米，求整個圖形的面積。題一題二題三【例題3】 把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？【思路導(dǎo)航】 我們可以把小正方形移至大正方形里面進行分析。兩個正方形的面積差40平方分米就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正方形的上面，不難看出，A和B正好組成一個長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是4020=2（分

24、米），即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）2=11（分米），面積是1111=121（平方分米）【練習(xí)3】1，一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？2，一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？3，有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是80平方米。求草坪的面積?！纠}4】有一個正方形ABCD如下圖，請把這個正方形的面積擴大1倍，并畫出來。【思路導(dǎo)航】 由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦

25、法計算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關(guān)系進行分析。以正方形的四條邊為準(zhǔn)，分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍?！揪毩?xí)4】1，四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小正方形的面積分別是49平方米和4平方米，求其中一個長方形的寬。2，正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長都相等。如果此圖的周長是56厘米，那么，這個圖形的面積是多少？3，正圖中，正方形ABCD的邊長4厘米，求長方形EFGD的面積。題一題二題三【例題5】有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。一

26、個正方形的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊長的8倍，正方形的邊長為728=9（厘米），一個正方形的面積就是99=81（平方厘米）。【練習(xí)5】1，五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36厘米，求每個正方形的面積是多少平方厘米？2，有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形后，剩下部分的周長是多少厘米？3，有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD（如下圖），已知大長方形的面積是35平方厘米，且周長比原來小長方形的周長多10厘米。求原來小長方形的面積。 我們在數(shù)數(shù)的時候，遵循不重復(fù)、不

27、遺漏的原則，不能使數(shù)出的結(jié)果不準(zhǔn)確。但是在數(shù)圖形的個數(shù)的時候，往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地數(shù)出圖形的個數(shù)?！纠}1】 下面圖形中有多少個正方形？【思路導(dǎo)航】圖中的正方形的個數(shù)可以分類數(shù)，如由一個小正方形組成的有63=18個，22的正方形有52=10個，33的正方形有41=4個。因此圖中共有18104=32個正方形。【練習(xí)1】1，下圖中共有多少個正方形？2，下圖中共有多少個正方形？3，下圖中共有多少個正方形，多少個三角形？【例題2】下圖中共有多少個三角形？【思路導(dǎo)航】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類三角

28、形的個數(shù)相加。（1）圖中共有6個小三角形；（2）由兩個小三角形組合的三角形有3個；（3）由三個小三角形組合的三角形有5個；（4）由六個小三角形組合的三角形有1個。所以共有6351=15個三角形?！揪毩?xí)2】1，下面圖中共有多少個三角形？2，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。3，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？【例題3】數(shù)出下圖中所有三角形的個數(shù)。【思路導(dǎo)航】和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個，共35個三角形?！揪毩?xí)3】數(shù)出下面圖形中分別有多少個三角形

29、?！纠}4】 如下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣的正方形有多少個？【思路導(dǎo)航】把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：（1）最小的正方形有6個；（2）由4個小正方形組合而成的正方形有2個；（3）中間還可圍成2個正方形。所以共有622=10個?！揪毩?xí)4】1，下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？2，下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角形？3，下圖中共有9個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？【例題5】 數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？【思路導(dǎo)航】我們可以分類來數(shù)：1，單

30、一的小三角形有16個；2，兩個小三角形組合的有10個；3，四個小三角形組合的有8個；4，八個小三角形組合的有2個。所以，圖中一共有161082=36個三角形?！揪毩?xí)5】1，圖中共有（ ）個三角形。2，圖中共有（ ）個三角形。3，圖中共有（ ）個正方形。 自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下手的問題。【例題1】 寫出除213后余3的全部兩位數(shù)【思路導(dǎo)航】因為213=2103，把210分解質(zhì)因數(shù)：210=2357，所以，符號題目要求的兩位數(shù)有25=10，27=14，35=15，37=21，5

31、7=35，235=30，237=42，一共有7個兩位數(shù)【練習(xí)1】1，寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。2，178除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是3，適合條件的兩位數(shù)有哪些3，寫出除1290后余3的全部三位數(shù)。【例題2】（1）125125125125100個25積的尾數(shù)是幾？（2）（2126）（2126）（2126） 100個 （2126）積的尾數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】（1）因為個位5乘5，積的個位仍然是5，所以不管多少個125相乘，個位還是5；（2）每個括號里21乘26積的個位是6，我們只要分析100個6相乘，積的尾數(shù)是幾就行了。因為個位6乘6，積的個位仍然是6，所以不管多少個（2126）連乘，積的個位還是6

32、?！揪毩?xí)2】1，2121212150個21積的尾數(shù)是幾？2，1.51.51.51.5200個1.5積的尾數(shù)是幾？3，（1263）（1263）（1263）（1263）1000個（1263）積的尾數(shù)是幾？【例題3】（1）444450個4積的個位數(shù)是幾？（2）999951個9積的個位數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】（1）我們先列舉前幾個4的積，看看個位數(shù)在怎樣變化，1個4個位就是4；44的個位是6；444的個位是4；4444的個位是6由此可見，積的尾數(shù)以“4，6”兩個數(shù)字在不斷重復(fù)出現(xiàn)。502=25沒有余數(shù)，說明50個4相乘，積的個位是6。（2）用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個9相乘時，積的個位是以“9，1”兩個數(shù)

33、字不斷重復(fù)，512=251，余數(shù)是1，說明51個9本乘積的個位是9?！揪毩?xí)3】1，242424242001個24，積的尾數(shù)是多少？2，1239899，積的尾數(shù)是多少？3，94949494102個94494949101個49，差的個位是多少？【例題4】把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是多少？【思路導(dǎo)航】因為1/70.142857142857，化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)小 數(shù) ， 循 環(huán) 節(jié) “ 1 4 2 8 5 7 ” 共 有 6 個 數(shù) 字 。 由 于1006=164，所以，小數(shù)點后面的第100位是第17個循環(huán)節(jié)的第4個數(shù)字，是8?！揪毩?xí)4】1，把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點后

34、面第2001位上的數(shù)字。2，5/7寫成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點后第50個數(shù)字是幾？3，有一串?dāng)?shù)：5、8、13、21、34、55、89，其中，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中，第1000個數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少？【例題5】555552001個513，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。從豎式中可以看出，余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)。20016=3333，所以，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是4【練習(xí)5】1，44446100個4，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？2，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)各是幾？（1）

35、66664100個6（2）444474200個4（3）88887200個8（4）1111750個1 一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知條件是間接的，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應(yīng)用題沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件（分析法）。在實際解時，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運用這兩種方法?！纠}1】 五年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊活動，剩下的同學(xué)

36、相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？【思路導(dǎo)航】從每班選16人參加少先隊活動，6個班共選166=96（人）。剩下的同學(xué)相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)，那么，96人就相當(dāng)于原來（64）個班人人數(shù)，所以，原來每班962=48（人）?！揪毩?xí)1】1，五個同學(xué)有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程”后，五位同學(xué)剩下的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？2，把一堆貨物平均分給6個小組運，當(dāng)每個小組都運了68箱時，正好運走了這堆貨物的一半。這堆貨物一共有多少箱？3，老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽，當(dāng)每隊栽了6棵時，發(fā)現(xiàn)剩下的樹苗正好是原來每隊分得的棵數(shù)。這批樹苗一共有多少棵？【例題2】某車間

37、按計劃每天應(yīng)加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不僅提前3天完成原計劃加工零件的任務(wù)，而且還多加工了120個零件。這個車間實際加工了多少個零件？【思路導(dǎo)航】如果按原計劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計劃多563120=288（個）。為什么會多加工288個呢？是因為每天多加工了5650=6（個）。因此，原計劃加工的天數(shù)是2886=48（天），實際加工了5048120=1520（個）零件?！揪毩?xí)2】1，汽車從甲地開往乙地，原計劃每小時行40千米，實際每小時多行了10千米，這樣比原計劃提前2小時到達了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？2，小明騎車上學(xué)，原計劃每分鐘行200米，正好準(zhǔn)時到達學(xué)校，

38、有一天因下雨，他每分鐘只能行120米，結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學(xué)校有多遠？3，加工一批零件，原計劃每天加工80個，正好按期完成任務(wù)。由于改進了生產(chǎn)技術(shù)，實際每天加工100個，這樣，不僅提前4天完成加工任務(wù)，而且還多加工了100個。他們實際加工零件多少個？【例題3】 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個零件，乙中途停了15天沒有加工。40天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。這時兩人各加工了多少個零件？【思路導(dǎo)航】甲工作了40天，而乙停止了15天沒有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同樣多。由于甲每天比乙多加工6個，20天一

39、共多加工620=120（個）。這120個零件相當(dāng)于乙25-20=5（天）加工的個數(shù)，乙每天加工120（25-20）=24（個）。乙一共加工了2425=600（個），甲一共加工了6002=1200（個）【練習(xí)3】1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時兩人各加工帽子多少個？2，甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20千米。途中乙因修車用了2小時，6小時后甲車到達兩地中點，而乙車才行了甲車所行路程的一半。A、B兩地相距多少千米？3，甲、乙兩人承包一項工程，共得工資1120元。已知甲工作了10天，乙工

40、作了12天，且甲5天的工資和乙4天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資多少元？【例題4】服裝廠要加工一批上衣，原計劃20天完成任務(wù)。實際每天比計劃多加工60件，照這樣做了15天，就超過原計劃件數(shù)350件。原計劃加工上衣多少件？【思路導(dǎo)航】由于每天比計劃多加工60件，15天就比原計劃的15天多加工6015=900（件），這時已超過計劃件數(shù)350件，900件中去掉這350件，剩下的件數(shù)就是原計劃（2015）天中的工作量。所以，原計劃每天加工上衣（900350）（2015）=110（件），原計劃加工11020=2200（件）。【練習(xí)4】1，用汽車運一堆煤，原計劃8小時運完。實際每小時比原計劃多運1.

41、5噸，這樣運了6小時就比原計劃多運了3噸。原計劃8小時運多少噸煤？2，汽車從甲地開往乙地，原計劃10小時到達。實際每小時比原計劃多行15千米，行了8小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙20千米。甲、乙兩地相距多少千米？3，小明看一本書，原計劃8天看完。實際每天比原計劃少看了4頁。這樣，用10天才看完了這本書。這本書一共有多少頁？【例題5】 王師傅原計劃每天做60個零件，實際每天比原計劃多做20個，結(jié)果提前5在完成任務(wù)。王師傅一共做了多少個零件？【思路導(dǎo)航】按實際做法再做5天，就會超產(chǎn)（6020）5=400（個）。為什么會超產(chǎn)400個呢？是因為每天多生產(chǎn)了20個，400里面有幾個20，就是原計劃生產(chǎn)幾天。400

42、20=20（天），因此，王師傅一共做了6020=1200（個）零件?！揪毩?xí)5】1，食堂準(zhǔn)備了一批煤，原計劃每天燒0.8噸，實際每天比原計劃節(jié)約了0.1噸，這樣比原計劃多燒了2天。這批煤一共有多少噸？2，造紙廠生產(chǎn)一批紙，計劃每天生產(chǎn)13.5噸，實際每天比原計劃多生產(chǎn)1.5噸，結(jié)果提前2.5天完成了任務(wù)。實際用了多少天？3，機床廠生產(chǎn)一批機床，原計劃每天生產(chǎn)15臺，實際每天生產(chǎn)18臺，這樣比原計劃提前3天完成了任務(wù)。這批機床一共有多少臺？ 較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應(yīng)用題時要善于分析

43、，把復(fù)雜的問題簡單化，從而正確解答?！纠}1】 工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35根。已知這兩種管子的長相差2米，這段排水管道長多少米？【思路導(dǎo)航】因為每根長管子比每根短管子長2米，25根長管子就比25根短管子長50米。而這50米就相當(dāng)于（3525）根短管子的長度。因此，每根短管子的長度就是50（3525）=5（米），這段排水管道的長度應(yīng)是535=175（米）。【練習(xí)1】1，生產(chǎn)一批零件，甲單獨生產(chǎn)要用6小時，乙單獨生產(chǎn)要用8小時。如果甲每小時比乙多生產(chǎn)10個零件，這批零件一共有多少個？2，一班的小朋友在操場上做游戲，每組6人。玩了一會兒，他們覺得每組人數(shù)太

44、少便重新分組，正好每組9人，這樣比原來減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？3，甲、乙二人同時從A地到B地，甲經(jīng)過10小時到達了B地，比乙多用了4小時。已知二人的速度差是每小時5千米，求甲、乙二人每小時各行多少千米？【例題2】甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多拿24千克。結(jié)帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？【思路導(dǎo)航】三 人 拿 同 樣 多 的 錢 買 蘋 果 應(yīng) 該 分 得 同 樣 多 的 蘋 果 。2423=16（千克），也就是丙少拿16千克蘋果，所以得到242=48元。每千克蘋果是4816=3（元）?！揪毩?xí)2】1，甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛

45、筆若干支，分鉛筆時，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？2，春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了6個面包，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品，結(jié)果三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小軍各2.2元錢。每個面包多少元？3，“六一”兒童節(jié)時同學(xué)們做紙花，小華買來了7張紅紙，小英買來了和紅紙同樣價格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué)，結(jié)果另外兩名同學(xué)共付給老師9元錢。老師把9元錢怎樣分給小華和小英？【例題3】甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡車來

46、運輸時耗油最少？【思路導(dǎo)航】大汽車一次運5噸，耗油10升，平均運1噸貨耗油105=2（升）；小汽車一次運2噸，耗油5升，平均運1噸貨耗油52=2.5（升）。顯然，為耗油量最少應(yīng)該盡可能用大卡車。1775=35（輛）2噸，余下的2噸正好用小卡車運。因此，用35輛大汽車和1輛小汽車運耗油量最少。【練習(xí)3】1，五名選手在一次數(shù)學(xué)競賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。如果最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？2，用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，那么最多可以買1角的郵票多少張？3，某班有60人，其中42人會游泳，46人會騎車，50人會溜冰，55人會打乒乓球?？梢钥隙ㄖ辽?/p>

47、有多少人四項都會？【例題4】有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，其中北京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少家？【思路導(dǎo)航】這棟樓共訂報紙34+30+22=86（份），因為每家都訂2份不同的報紙，所以一共有862=43家。在這43家居民中，有34家訂了北京日報，剩下的9家居民一定是訂了江海晚報和電視報?！揪毩?xí)4】1，五（1）班全體同學(xué)每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種水果，其中蘋果40個，梨32個，桔子26個。那么，帶梨和桔子的有多少個同學(xué)？2，在一次慶祝“六一”兒童節(jié)活動中，一個方隊的同學(xué)每人手里都拿兩種顏色的

48、氣球，共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46只。那么，手拿紅、綠兩種氣球的有多少個同學(xué)？3，學(xué)校開設(shè)了音樂、球類和美術(shù)三個興趣小組，第一小隊的同學(xué)們每人都參加了其中的兩個小組，其中9人參加球類小組，6人參加美術(shù)小組，7人參加音樂小組的活動。參加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學(xué)？【例題5】一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機向外抽水，此時已進水800桶。一臺抽水機每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。每分鐘進水多少桶？【思路導(dǎo)航】50分鐘內(nèi)，兩臺抽水機一共能抽水（1814）50=1600（桶）。1600桶水中，有800桶是開始抽之前就漏進

49、的，另800桶是50分鐘又漏進的，因此，每分鐘漏進水80050=16（桶）?！揪毩?xí)5】1，一個水池能裝8噸水，水池里裝有一個進水管和一個出水管。兩管齊開，20分鐘能把一池水放完。已知進水管每分鐘往池里進水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少噸？2，某工地原有水泥120噸。因工程需要，又派5輛卡車往工地送水泥，平均每輛卡車每天送25噸，3天后工地上共有水泥101噸。這個工地平均每天用水泥多少噸？3，一堆貨物重96噸，甲隊用16小時運完，乙隊用24小時運完。如果讓兩隊同時合運，幾小時運完？ 解答一般應(yīng)用題時，可以按下面的步驟進行：1，弄清題意，找出已知條件和所求問題；2，分析已知條件和所求問題之間的關(guān)

50、系，找出解題的途徑；3，擬定解答計劃，列出算式，算出得數(shù)；4，檢驗解答方法是否合理，結(jié)果是否正確，最后寫出答案?！纠}1】 甲、乙兩工人生產(chǎn)同樣的零件，原計劃每天共生產(chǎn)700個。由于改進技術(shù)，甲每天多生產(chǎn)100個，乙的日產(chǎn)量提高了1倍，這樣二人一天共生產(chǎn)1020個。甲、乙原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？【思路導(dǎo)航】二人實際每天比原計劃多生產(chǎn)1020700=320（個）。這320個零件中，有100個是甲多生產(chǎn)的，那么320100=220（個）就是乙日產(chǎn)量的1倍，即乙原來的日產(chǎn)量，甲原來每天生產(chǎn)700220=480（個）?！揪毩?xí)1】1，工廠里有2個鍋爐，原來每月燒煤5.6噸。進行技術(shù)改造后，1號鍋爐每

51、月節(jié)約1噸煤，2號鍋爐每月燒煤量減少了一半，現(xiàn)在每月共燒煤3.5噸。原來兩個鍋爐每月各燒煤多少噸？2，甲、乙兩人生產(chǎn)同樣的零件，原計劃每天共生產(chǎn)80個。由于更換了機器，甲每天多做40個，乙每天生產(chǎn)的是原來的4倍，這樣二人一天共生產(chǎn)零件300個。甲、乙原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？3，甲、乙兩隊合挖一條水渠，原計劃兩隊每天共挖100米，實際甲隊因有人請假，每天比計劃少挖15米，而乙隊由于增加了人，每天挖的是原計劃的2倍，這樣兩隊每天一共挖了150米。求兩隊原計劃每天各挖多少米？【例題2】 把一根竹竿插入水底，竹竿濕了40厘米，然后將竹竿倒轉(zhuǎn)過來插入水底，這時，竹竿濕的部分比它的一半長13厘米。求竹

52、竿的長。【思路導(dǎo)航】 因為竹竿先插了一次，濕了40厘米，倒轉(zhuǎn)過來再插一次又濕了40厘米，所以濕了的部分是402=80（厘米）。這時，濕的部分比它的一半長13厘米，說明竹竿的長度是（8013）2=134（厘米）?！揪毩?xí)2】1，有一根鐵絲，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一個長8厘米，寬6厘米的長方形框架。這根鐵絲原來長多少厘米？2，有一根竹竿，兩頭各截去20厘米，剩下部分的長度比截去的4倍少10厘米。這根竹竿原來長多少厘米？3，兩根電線一樣長，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根長度的4倍。兩根電線原來各長多少米？【例題3】將一根電線截成15段。一部分每段長8米，另一

53、部分每段長5米。長8米的總長度比長5米的總長度多3米。這根鐵絲全長多少米？【思路導(dǎo)航】設(shè)這15段中有X段是8米長的，則有（15X）段是5米長的。然后根據(jù)“8米的總長度比5米的總長度多3米”列出方程，并進行解答?！揪毩?xí)3】1，某人過一個小山坡共用了20分鐘，他上坡每分鐘走80米，下坡每分鐘走102米。上坡路比下坡路少220米。這段小坡路全長多少米？2，食堂里買來15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知買回的大米比面粉多165千克，求買回大米、面粉各多少千克？3，老師買回兩種筆共16支獎給三好學(xué)生，其中鉛筆每支0.4元，圓珠筆每支1.2元，買圓珠筆比買鉛筆共多用了1.6元。求買這

54、些筆共用去多少錢？【例題4】 甲、乙兩名工人加工一批零件，甲先花去2.5小時改裝機器，因此前4小時甲比乙少做400個零件。又同時加工4小時后，甲總共加工的零件反而比乙多4200個。甲、乙每小時各加工零件多少個？【思路導(dǎo)航】（1）在后4小時內(nèi)，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（個）零件，甲每小時比乙多加工46004=1150個零件。（2）在前4小時內(nèi)，甲實際只加工了42.5=1.5小時，甲1.5小時比乙1.5小時應(yīng)多做11501.5=1725個零件，因此，1725400=2125個零件就是乙2.5小時的工作量，即乙每小時加工21252.5=850個，甲每小時加工8501150=200

55、0個?！揪毩?xí)4】1，甲、乙二人同時從A地去B地，前3小時，甲因修車1小時，因此乙鄰先于甲4千米。又經(jīng)過3小時，甲反而領(lǐng)先了乙17千米。求二人的速度。2，師徒二人生產(chǎn)同一種零件，徒弟比師傅早2小時開工，當(dāng)師傅生產(chǎn)了2小時后，發(fā)現(xiàn)自己比徒弟少做20個零件。二人又生產(chǎn)了2小時，師傅反而比徒弟多生產(chǎn)了10個。師傅每小時生產(chǎn)多少個零件？3，甲每小時生產(chǎn)12個零件，乙每小時生產(chǎn)8個零件。一次，二人同時生產(chǎn)同樣多的零件，結(jié)果甲比乙提前5小時完成了任務(wù)。問：甲一共生產(chǎn)了多少個零件？【例題5】加工一批零件，單給甲加工需10小時，單給乙加工需8小時。已知甲每小時比乙少做3個零件，這批零件一共有多少個？【思路導(dǎo)航】

56、 因為甲每小時比乙少做3個零件，8小時就比乙少做38=24（個）零件，所以，24個零件就是甲（108）小時的工作量。甲每小時加工24（108）=12（個），這批零件一共有1210=120（個）?！揪毩?xí)5】1，快、慢兩車同時從甲地開往乙地，行完全程快車只用了4小時，而慢車用了6.5小時。已知快車每小時比慢車多行25千米。甲、乙兩地相距多少千米？2，媽媽去買水果，她所帶的錢正好能買18千克蘋果或25千克的梨。已知每千克梨比每千克蘋果便宜0.7元，媽媽一共帶了多少錢？3，師徒二人加工零件，已知師傅6小時加工的零件和徒弟8小時加工的零件相等。如果師傅每小時比徒弟多加工3個零件，那么，徒弟每小時加工多少

57、個零件？ 填“幻方”是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來的數(shù)陣問題，也是一類比較常見的填數(shù)問題。這里，和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗法。待定數(shù)法就是先用字母（或符號）表示滿足條件的數(shù)，通過分析、計算來確定這些字母（或符號）應(yīng)具備的條件，為解答數(shù)陣問題提供方向。試驗法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。把分析推理和試驗法結(jié)合起來，再由填數(shù)的可能情況，確定應(yīng)填的數(shù)。【例題1】 把5、6、7、8、9五個數(shù)分別填入下圖的五個方格里，如圖a使橫行三個數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21?！舅悸穼?dǎo)航】先把五格方格中的數(shù)用字母A、B、C、D

58、、E來表示，根據(jù)題意可知：ABCDE=35，AEBCED=212=42。把兩式相比較可知，E=4235=7，即中間填7。然后再根據(jù)59=68便可把五個數(shù)填進方格，如圖b?！揪毩?xí)1】 1，把110各數(shù)填入“六一”的10個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。2，把19各數(shù)填入“七一”的9個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是13。3，將17七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和相等?！纠}2】將110這十個數(shù)填入下圖小圓中，使每個大圓上六個數(shù)的和是30?！舅悸穼?dǎo)航】設(shè)中間兩個圓中的數(shù)為a、b，則兩個大圓的總和是12310ab=302，即55ab=60，ab=5。在110這十個數(shù)

59、中14=5，23=5。當(dāng)a和b是1和4時，每個大圓上另外四個數(shù)分別是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；當(dāng)a和b是2和3時，每個大圓上另外四個數(shù)分別為（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。【練習(xí)2】1，把18八個數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使每個大圓上五個內(nèi)數(shù)的和相等。2，把110這十個數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使每個四邊形頂點的內(nèi)四個數(shù)的和都相等，且和最大。3，將18八個數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格以及對角線四格內(nèi)四個數(shù)的和都是18?！纠}3】將16這六個數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個圓內(nèi)數(shù)的和相等、且最大。【思路導(dǎo)航】設(shè)中間三個圓內(nèi)的數(shù)是a、b、c。

60、因為計算三條線上的和時，a、b、c都被計算了兩次，根據(jù)題意可知：123456（abc）除以3沒有余數(shù)。123456=21，213=7沒有余數(shù)，那么abc的和除以3也應(yīng)該沒有余數(shù)。在16六個數(shù)中，只有456的和最大，且除以3沒有余數(shù)，因此a、b、c分別為4、5、6。（123456456）3=12，所以有下面的填法：【練習(xí)3】1，將16六個數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使每邊上的三個內(nèi)數(shù)的和相等。2，將19九個數(shù)分別填入下圖內(nèi)，使每邊上四個內(nèi)數(shù)的和都是17.3，將18八個數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使每條安上三個數(shù)的和相等。【例題4】 將17分別填入下圖的7個內(nèi)，使每條線段上三個內(nèi)數(shù)的和相等?！舅悸穼?dǎo)航】首先要確定

61、中心圓內(nèi)的數(shù)，設(shè)中心內(nèi)的數(shù)是a，那么，三條線段上的總和是12345672a=282a，由于三條線段上的和相等，所以（282a）除以3應(yīng)該沒有余數(shù)。由于283=91，那么2a除以3應(yīng)該余2，因此，a可以為1、4或7。當(dāng)a=1時，（2821）31=9，即每條線段上其他兩數(shù)的和是9，因此，有這樣的填法。【練習(xí)4】1，將19填入下圖的中，使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。2，將111這十一個數(shù)分別填進下圖的里，使每條線上3個內(nèi)的數(shù)的和相等。3，將18這八個數(shù)分別填入下圖內(nèi)，使外圓四個數(shù)的和，內(nèi)圓四個數(shù)的和以及橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18?！纠}5】如下圖(a)四個小三角形的頂點處有六個圓圈。如果

62、在這些圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和相等。問這六個質(zhì)數(shù)的積是多少？【思路導(dǎo)航】設(shè)每個小三角形三個頂點處內(nèi)數(shù)的和為X。因為中間的小三角形頂點處的數(shù)在求和時都用了三次，所以，四個小三角形頂點處數(shù)的總和是4X=202X，解方程得X=10。由此可知，每個小三角形頂點處的三個質(zhì)數(shù)的和是10，這三個質(zhì)數(shù)只能是2、3、5。因此這6個質(zhì)數(shù)的積是223355=900。如圖（b）?！揪毩?xí)5】1，將九個不同的自然數(shù)填入下面方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的積都相等。2，將19九個自然數(shù)分別填入下圖的九個小三角形中，使靠近大三角形每條邊上五個數(shù)的和相等，并且盡可能大。這五個數(shù)之和最大是多少？3，將19九個數(shù)分別填入下圖內(nèi)，使外三角形邊上內(nèi)數(shù)之和等于里面三角形邊上內(nèi)數(shù)之和。