數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語言版) 第7章 圖
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1、第7章 圖
1 邏輯結(jié)構(gòu)
1.1 定義
G = (V, E) V是頂點集，E是頂點間二元關(guān)系的集合
內(nèi)涵越小，外延越大
與樹的區(qū)別：
①樹有特殊的根結(jié)點；
②樹的結(jié)點和關(guān)系能分成互不相交的若干子集
圖的分類：
無向圖
有向圖
邊：二元關(guān)系是無序的。
?。憾P(guān)系是有序的。
(vi,vj)：vi,vj互為鄰接點
2、2)
V2={v1,v2,v3,v4}
E2={
3、、區(qū)域連通的規(guī)劃問題…… ④進度組織：工程進度管理…… 1.4 概念 思路：考慮圖的復(fù)雜應(yīng)用，提供簡化問題的思路。 1.4.1 圖的分類 著眼點：存儲結(jié)構(gòu)的選擇。 無向完全圖 邊數(shù)：n*(n-1)/2 有向完全圖 弧數(shù)：n*(n-1) 稀疏圖 邊數(shù)≈頂點數(shù) 稠密圖 邊數(shù)≈頂點數(shù)2 帶權(quán)圖 邊或頂點帶權(quán)值 著眼點：圖的分解。 子圖 V(B)∈V(A)，E(B)∈E(A)，稱圖B是圖A的子圖。 1.4.2 頂點的參數(shù) 度 無向圖中，依附于某頂點的邊數(shù) 入度 有向圖中，以某頂點為弧尾的弧數(shù) 出度 有向圖中，以某頂點為弧頭的弧數(shù)
4、 度的應(yīng)用：以下哪個圖能夠一筆畫完成？為什么？ 一筆畫問題的本質(zhì)：圖結(jié)構(gòu)中的邊遍歷問題。 應(yīng)用領(lǐng)域：車間/廠房布置、行走路線的安排、交通設(shè)計… 1.4.3 有關(guān)路徑 著眼點：頂點間的聯(lián)系。 頂點間路徑 Vi,……,Vj 頂點間連通 若從Vi到Vj有路徑，稱Vi到Vj是連通的。 路徑長度 路徑上邊/弧的數(shù)目。 簡單路徑 路徑中所有頂點各不相同。 回路 路徑中，起點和終點是同一頂點。 簡單回路 除起點和終點外，其余頂點各不相同。 1.4.4 有關(guān)連通 著眼點：將不連通圖簡化為連通圖。 連通圖 無向圖中,任意二個頂點之間是連通的。
5、 無向圖的 連通分量 無向圖的極大連通子圖。 強連通圖 有向圖中,任意二個頂點之間存在來往路徑。 有向圖的 強連通分量 有向圖的極大強連通子圖。 1.4.5 生成樹 著眼點：將圖簡化為樹。 無向圖 生成樹 連通無向圖中，n個頂點和n-1條邊，構(gòu)成的連通子圖。（原連通圖的極小連通子圖） 生成森林 不連通的無向圖中，各連通分量的生成樹的集合。 有向圖 生成樹 強連通有向圖中，n個頂點和n-1條弧，構(gòu)成的單向連通子圖(vi、vj間存在一條路徑)。 一個頂點入度為０，其余頂點入度為１。 生成森林 不強連通的有向圖中，各有強連通分量的生成樹的集合。
6、 第7章 圖 2 圖的存儲結(jié)構(gòu) 存儲結(jié)構(gòu)應(yīng)該包含： ①頂點的信息；②邊/弧的信息；③權(quán)的信息。 2.1 鄰接矩陣 2.1.1 結(jié)構(gòu)圖 0, 1, 1, 0 1, 0, 0, 1 1, 0, 0, 1 0, 1, 1, 0 0, 4, 2, Inf 4, 0, Inf, 8 2, Inf, 0, 1 Inf, 8, 1, 0 0, 4, 2, Inf Inf, 0, Inf, 8 Inf, Inf, 0, Inf Inf, Inf, 1, 0 2.1.2 類的定義 cons
7、t double Inf=10000;
struct Edge
{ int v1,v2;
double weight;
};
class Mgraph // 簡化版，只存儲了邊/弧的信息。
{ int m_N;
vector
8、浪費多。
2.1.2 （無向圖的）類的實現(xiàn)
// 構(gòu)造函數(shù)
MGraph::MGraph(int n)
{ m_N = n;
m_Es=new vector
9、 i 10、鄰接表
2.2.1 結(jié)構(gòu)圖
圖的變化特征：頂點變化少，關(guān)系變化多。
頂點表: 順序結(jié)構(gòu)。邊/弧表：動態(tài)鏈表。
帶權(quán)圖的鄰接表
2.2.2 類的定義
struct ArcNode // 邊、弧結(jié)構(gòu)
{ int adjvex; // 鄰接點、弧頭的編號
double weight;
ArcNode *nextarc;
};
template 11、T>
class ALGraph
{ int m_N;
vector 12、= vs.size();
m_Data.resize(m_N);
for(int i=0; i 13、 ArcNode *p=new ArcNode;
p->adjvex=v2; p->weight=es[i].weight;
p->nextarc=m_Data[v1].firstarc;
m_Data[v1].firstarc = p;
}
}
// 計算有向圖中頂點i的出度
template 14、rn n;
}
// 計算有向圖中頂點i的入度
template 15、變化
原圖的結(jié)構(gòu)
刪除頂點2之后的圖結(jié)構(gòu)
2.3 逆鄰接表
2.3.1 結(jié)構(gòu)圖
鄰接表（出邊表）
逆鄰接表（入邊表）
思考：根據(jù)鄰接表繪制逆鄰接表。
2.3.2 類的定義
同鄰接表類
2.4 十字鏈表
2.4.1 結(jié)構(gòu)圖
將鄰接表、逆鄰接表合二為一。
主要用于表示有向圖。
和稀疏矩陣的十字鏈表結(jié)構(gòu)相比：本質(zhì)一樣。細節(jié)差別在于：行頭表和列頭表合并為了頂點表。
等價結(jié)構(gòu)：
2.2.2 類的定義
struct ArcNode // 弧結(jié)構(gòu)
{ int tailvex; // 弧尾的編號
int 16、headvex; // 弧頭的編號
double weight;
ArcNode *tlink; // 指向弧尾相同的弧結(jié)點
ArcNode *hlink; // 指向弧頭相同的弧結(jié)點
};
template 17、ata; // 頂點向量
………………
};
2.5 鄰接多重表
2.4.1 結(jié)構(gòu)圖
無向圖的鄰接表有50%的冗余。精簡方法：每條邊對應(yīng)一個邊結(jié)點。
主要用于表示無向圖。
鄰接多重表結(jié)構(gòu)
2.4.2 類的定義
struct EdgeNode // 邊、弧結(jié)構(gòu)
{ int ivex; // 第一鄰接點編號
int jvex; // 第二鄰接點編號
double weight;
ArcNode *ilink; // 指向第一鄰接點編號為i的邊結(jié)點
ArcNode *jlink; // 指向第二鄰接點編號為j的邊結(jié) 18、點
};
template 19、加以識別。
3.1 深度優(yōu)先搜索DFS(Depth First Search)
3.1.1 算法
①設(shè)置一個標記數(shù)組，設(shè)所有頂點都未曾被訪問；
②從起點v出發(fā)，訪問此頂點，同時設(shè)置訪問標記；
③依次從v的未被訪問過的鄰接點出發(fā)進行DFS；
（效果：所有與v連通的頂點都被訪問過）
④若所有頂點都已訪問，則完成；否則，另擇起點v，轉(zhuǎn)至②。
圖的邏輯結(jié)構(gòu)
圖的鄰接表存儲結(jié)構(gòu)
以頂點0為起點的DFS：0，1，4，3，2
以頂點3為起點的DFS：3，1，4，2，0
3.1.2 算法實現(xiàn)（遞歸）
// 帽子函數(shù)
template 20、or 21、),vs1.end());
}
return vs;
}
template 22、ed[w]==false)
DoDFSTraverse(w,visited,vs);
}
}
思考1：與樹的遞歸遍歷算法的共性。
思考2：時間復(fù)雜度？
思考3：計算DFS生成樹的各邊。
思考4：若采用鄰接矩陣結(jié)構(gòu)，程序如何調(diào)整？
3.1.3 調(diào)試示例
紅色邊：構(gòu)成DFS生成森林，稱為樹邊。
結(jié)點中的左數(shù)字：開始訪問該結(jié)點的步驟；
結(jié)點中的右數(shù)字：完成訪問該結(jié)點的所有鄰接點的步驟；
3.1.4 調(diào)試中的深入思考
搜索過程中，邊的分類：
回邊：子孫結(jié)點指向祖先結(jié)點。
前向邊：祖先結(jié)點指向子孫結(jié)點。
交叉邊：子樹/樹之間 23、的邊。
應(yīng)用：若在DFS過程中，沒有發(fā)現(xiàn)回邊，則該圖無環(huán)。
3.1.5 判斷無向圖中是否是連通，并計算連通分量的個數(shù)
int ALGraph 24、sited,vs1); n++;
vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end());
}
return n;
}
3.1.5 判斷無向圖中是否有回路
// 不適用于有向圖
template 25、rcle(v,visited)==true)
return true; // 存在環(huán)
return false; // 所有連通分量中，不存在環(huán)
}
template 26、 return true; // w已被訪問過，即發(fā)現(xiàn)環(huán)路
if(DoHasCircle(w,visited))
return true; // 在以w為起點的DFS中發(fā)現(xiàn)環(huán)路
}
return false; // 在以v為起點的DFS中，沒有發(fā)現(xiàn)環(huán)路
}
3.2 廣度優(yōu)先搜索BFS(breadth first search)
3.2.1 算法
①設(shè)所有頂點都未曾被訪問；
②將起點編號加入隊列，同時設(shè)置訪問標記；
③取隊首元素，設(shè)為v，訪問結(jié)點v；
④依次將v的各個未被訪問過的頂點加入隊列，同時設(shè)置訪問標記；
⑤若隊 27、列不空，則循環(huán)執(zhí)行③④，否則⑥；
⑥若所有頂點都已訪問，則完成；否則，另擇起點V，轉(zhuǎn)至②。
已知鄰接表，求遍歷序列。
以頂點0為起點的BFS：0，1，3，4，2
以頂點3為起點的BFS：3，1，0，4，2
3.2.2 算法實現(xiàn)
// 帽子函數(shù)
template 28、m_N; v++)
if(visited[v]==false)
{ vs1.clear();
DoBFSTraverse(v,visited,vs1);
vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end());
}
return vs;
}
template 29、> Q; ArcNode *p;
Q.push(v); visited[v]=true; // 步驟②
while(!Q.empty()) // 步驟⑤
{ v=Q.front(); Q.pop();
vs.push_back(m_Data[v].data); // 步驟③
// 步驟④
for(ArcNode *p=m_Data[v].firstarc; p; p=p->nextarc)
{ int w=p->adjvex;
if(visited[w]==false)
30、 { Q.push(w); visited[w]=true; }
}
}
}
思考1：與樹的層次遍歷算法的共性。
思考2：時間復(fù)雜度？
思考3：計算BFS生成樹的各邊。
思考4：計算起點到其余各頂點的最短路徑。
3.2.3 調(diào)試示例
紅色邊：構(gòu)成BFS生成森林，稱為樹邊。
結(jié)點數(shù)字：距離起點的路徑長度
3.4 生成樹、生成森林的存儲結(jié)構(gòu)（擴展思考）
在遍歷中，如何將生成樹、生成森林，以孩子兄弟法存儲起來？
圖的鄰接表結(jié)構(gòu)
圖的生成森林的二叉鏈表結(jié)構(gòu)
3.5 關(guān)節(jié)點、 31、重連通分量（擴展思考）
3.5.1 概念
關(guān)節(jié)點
若刪除某頂點及其關(guān)聯(lián)各邊，圖的一個連通分量將分割為多個連通分量，則該頂點是關(guān)節(jié)點。
重連通分量
沒有關(guān)節(jié)點的連通圖。
圖的連通度
若在連通圖上至少要刪除k個頂點才能破壞圖的連通性，則該圖的圖的連通度為k。
實際意義：連通度等價于系統(tǒng)的可靠度。
算法：在DFS生成樹，根結(jié)點至少有2個子結(jié)點，則為關(guān)節(jié)點。
第7章 圖
專題1 圖的非遞歸深度遍歷算法
1.1 狀態(tài)的定義
struct Status // 遍歷狀態(tài)類
{ int v; // 遍歷中的當前頂點編號
ArcNode *p; 32、// 當前頂點已經(jīng)訪問的弧結(jié)點的指針
};
1.2 與遞歸函數(shù)完全相同的帽子函數(shù)
template 33、 vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end());
}
return vs;
}
1.3 借助狀態(tài)棧的回溯法
// 約定每個頂點被訪問之后，再進棧
與樹先根算法的區(qū)別：訪問標記的處理
template 34、atus s1={v,m_Data[v].firstarc}; S.push(s1);
while( !S.empty() )
{ Status &s=S.top(); // s是棧頂狀態(tài)的引用
// 尋找v的下一個未訪問過的鄰接點
for(; s.p; s.p=s.p->nextarc)
if(visited[s.p->adjvex]==false) break;
if(s.p)
{ int w=s.p->adjvex; // 頂點w未訪問過
vs.push_back(m_Data[w].data); v 35、isited[w]=true;
Status nexts;
nexts.v=w; nexts.p=m_Data[w].firstarc;
S.push(nexts);
}
else
S.pop(); // 以v為起點的搜索已經(jīng)完畢
}
}
1.4 調(diào)試案例
訪問0
訪問1
訪問4
訪問3
訪問2
第7章 圖
專題2 地圖著色問題
2.1 地圖著色問題及其邏輯結(jié)構(gòu)
設(shè)一張地圖有n個區(qū)域，用不多 36、于4種顏色對這些區(qū)域進行著色，相鄰區(qū)域應(yīng)具有不同的顏色。
區(qū)域圖
邏輯結(jié)構(gòu)圖
2.2 地圖著色判斷問題
試設(shè)計算法，以一種著色方案為輸入，算法對該著色方案進行考察，判別是否滿足著色要求。
// colors[0]...colors[m_N-1]存儲了所有區(qū)域的顏色值
template 37、 if(colors[p->adjvex]==colors[i]) return false;
return true;
}
// colors[0]...colors[n-1]存儲了部分區(qū)域的顏色值
template 38、->adjvex]==colors[i])
return false;
return true;
}
2.3 計算所有的地圖著色方案
template 39、
}
template 40、置為color顏色
if(Check(Colors,i+1)) // 剪枝法：檢查局部解的合理性
GetAllColors(i+1,Colors,allColors);
}
}
2.3 小結(jié)
本質(zhì)上，窮舉所有的著色方案，是遍歷4叉樹所有葉子結(jié)點的過程。效率不高，但配合剪枝法的應(yīng)用，能較好的改善算法性能。
作業(yè)與上機
1 圖的鄰接表類
建立鄰接表類，深度、廣度遍歷之，盡可能的豐富鄰接表類的成員函數(shù)；
方向1：計算生成樹/生成森林的弧向量，進而建立生成樹/生成森林的樹的存儲結(jié)構(gòu)。
方向2：判別圖中是否存在回路；
方向3：計算頂點之間的 41、最短的路徑長度；
方向4：計算圖中的關(guān)節(jié)點，進而計算圖的連通度；
方向5：參照樹的非遞歸遍歷算法，實現(xiàn)圖的非遞歸深度遍歷算法。
方向6：計算地圖著色的一個/所有著色方案。
2 圖的應(yīng)用
Prim算法、Kruskal算法
Dijkstra算法、Floyd算法。
拓撲排序算法、關(guān)鍵路徑算法。
第7章 圖
4 最小生成樹
4.1 概念
最小生成樹：各邊權(quán)值之和最小的生成樹。
原圖
生成樹一
生成樹二
生成樹三
4.2 Prim算法
4.2.1 算法思路
設(shè)圖G=(V,E)，從起點v出發(fā)，構(gòu)造最小生成樹T=(VT,ET)。
42、①初始化VT={v}，ET={}；
②找權(quán)值最小的(Vp,Vq), Vp∈VT, Vq∈V-VT；
③將(Vp,Vq)并入ET，同時Vq并入VT；
④重復(fù)②③步驟n-1次。
4.2.2 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
①圖的結(jié)構(gòu)
因需要頻繁地讀取邊的權(quán)值，所以采用鄰接矩陣。
調(diào)試案例：以頂點4為起點，構(gòu)造最小生成樹。
M_Data:
{{ 0, 2,Inf,Inf,Inf, 7, 3,Inf,Inf},
{ 2, 0, 4,Inf,Inf,Inf, 6,Inf,Inf},
{Inf, 4, 0, 2,Inf,Inf,Inf, 2,Inf},
{Inf,I 43、nf, 2, 0, 1,Inf,Inf, 8,Inf},
{Inf,Inf,Inf, 1, 0, 6,Inf,Inf, 2},
{ 7,Inf,Inf,Inf, 6, 0,Inf,Inf, 5},
{ 3, 6,Inf,Inf,Inf,Inf, 0, 3, 1},
{Inf,Inf, 2, 8,Inf,Inf, 3, 0, 4},
{Inf,Inf,Inf,Inf, 2, 5, 1, 4, 0}
};
②輔助結(jié)構(gòu)
針對：找權(quán)值最小的(Vp,Vq), Vp∈VT, Vq∈V-VT；
設(shè)計結(jié)構(gòu)：VT外每個頂點到V 44、T的最短距離。
struct ShortDist // 表示某頂點到VT的最短距離及對應(yīng)頂點
{ float Distance; // VT外頂點到VT的最短距離
int VexInTree;// VT對應(yīng)的頂點編號
};
vector 45、NF
INF
2
SDs[i].Distance=0的含義：頂點i已在生成樹中
4.2.3 算法及分析
① 初始化SDs；
② 在SDs中,找出Distance最小非0值的下標k；
③ (SDs[k].VexInTree,k)為生成樹的邊；
k是樹外某點，SDs[k].VexInTree是樹內(nèi)某點；
④ SDs[k].Distance=0，即頂點k并入生成樹；
⑤ 若cost[k][i] 46、ee
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Distance
M
M
M
1
0
6
M
M
2
第一次循環(huán)后
VexInTree
4
4
3
4
4
4
4
3
4
Distance
M
M
2
0
0
6
M
8
2
第二次循環(huán)后
VexInTree
4
2
3
4
4
4
4
2
4
Distance
M
4
0
0
0
6
M
2
2
設(shè)圖頂點數(shù)為n，時間復(fù)雜度是O(n2)，空間復(fù)雜度是O(n)。
4.2.4 算法實現(xiàn)一：求MST的所有邊
vector 47、ge> MGraph::Prim1(int startv)
{ int n=m_Es->size();
vector 48、小非0值的下標k
if(SDs[j].Distance!=0 && SDs[j].Distance 49、tance)
{ SDs[j].Distance=(*m_Es)[k][j]; SDs[j].VexInTree=k; }
}
return tree;
}
4.2.5 算法實現(xiàn)二：求MST的樹結(jié)構(gòu)
// 生成一棵雙親表示法的樹，存于tree中
vector 50、xInTree=startv;
SDs[i].Distance=(*m_Es)[startv][i];
}
for(i=0; i 51、 tree[i].weight=SDs[k].Distance;
SDs[k].Distance=0; // 將頂點k納入生成樹中
for(j=0; j 52、4
-1
8
8
2
4
結(jié)構(gòu)解釋
4.3 Kruskal算法
4.3.1 算法思路
①盡可能選擇n-1條權(quán)值最小的邊；
②但不能構(gòu)成回路。
4.3.2 算法步驟
①初始化VT=V，ET={}，即n個頂點是n個連通分量；
②選擇權(quán)值最小的邊(Vp,Vq)；
③若Vp、Vq不屬于同一連通分量，將(Vp,Vq)并入ET；否則，舍棄。
④重復(fù)②③，直至選取了n-1條邊。
4.3.3 連通分量表示與合并
連通分量：采用子集樹的存儲結(jié)構(gòu)。
vector 53、并：子集樹的合并。
4.3.4 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
struct Edge
{ int v1,v2;
double weight;
bool operator<(Edge &e)
{ return weight 54、d());
}
vector 55、ends)
{ parents[begins]=ends; // 合并子集樹
tree[k] =m_Es[i]; k++;
if(k==m_N)
return tree; // 找到了全部的樹邊
}
}
return tree;
}
// 計算頂點v所屬的連通分量的編號
int Graph::Find(vector 56、,8:1
4,8:2 0,1:2
2,7:2 2,3:2
0,6:3 6,7:3
1,2:4 7,8:4
5,8:5 4,5:6
1,6:6 0,5:7
3,7:8
三元組
begins
ends
0
1
2
3
4
5
6
7
8
初始化
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
3,4:1
3
4
-1
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
6,8:1
6
8
-1
-1
-1
4
-1
-1
8
-1
-1
4,8:2
4
8
-1
57、-1
-1
4
8
-1
8
-1
-1
0,1:2
0
1
1
-1
-1
4
8
-1
8
-1
-1
2,7:2
2
7
1
-1
7
4
8
-1
8
-1
-1
2,3:2
7
8
1
-1
7
4
8
-1
8
8
-1
0,6:3
1
8
1
8
7
4
8
-1
8
8
-1
6,7:3
8
8
1,2:4
8
8
7,8:4
8
8
5,8: 58、5
5
8
1
8
7
4
8
8
8
8
-1
4.3.7 性能分析
設(shè)圖的頂點個數(shù)為n，邊數(shù)為e。邊數(shù)組已經(jīng)按權(quán)值有序。
空間復(fù)雜度： O(n)
“選邊”的時間復(fù)雜度： 最好O(n)； 最差O(e)
“求子集”的時間復(fù)雜度：最好O(log2n)；最差O(n)
4.4 暢想
Prim算法
適合稠密圖
Kruskal算法
適合稀疏圖
感受“貪心法”：用局部最優(yōu)解，組合全局最優(yōu)解。
第7章 圖
5 最短路徑
約定：路徑長度等于路徑中邊/弧權(quán)值之和；所有邊/弧權(quán)大于0。
5.1 單源點的最短路徑問題
59、
性質(zhì)：
最短路徑由最短子路徑組成。
策略：
由近及遠計算到各頂點的最短路徑。
Edsger Dijkstra
（1930-2002）
經(jīng)典之作：“GoTo Statement Considered Harmful”。
1972年因發(fā)明ALGOL語言而獲得圖靈獎，獲獎演說是“The Humble Programmer”。
在操作系統(tǒng)中，提出了PV操作；……
5.1.1 問題與對策
①如何存儲源點v到其余頂點的最短路徑長度？
vector 60、分已求解結(jié)點和未求解結(jié)點？
vector 61、選取與頂點v最近的結(jié)點w，成為已求解結(jié)點；
③借助結(jié)點w，修改從v出發(fā)到其余未求解結(jié)點的最短路徑長度；
④重復(fù)②③步驟N-1次。
案例演示
0,Inf,10,Inf,30,100;
Inf,0,5,Inf,Inf,Inf;
Inf,Inf,0,50,Inf,Inf;
Inf,Inf,Inf,0,Inf,10;
Inf,Inf,Inf,20,0,60;
Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,0
0
1
2
3
4
5
初始化
dist
0
Inf
10
Inf
30
100
set
True
false
false
62、false
false
false
path
第一次循環(huán)后
dist
0
Inf
10
60
30
100
set
True
false
True
false
false
false
path
2
第二次循環(huán)后
dist
0
Inf
10
50
30
90
set
True
false
True
false
True
S
path
4
4
第三次循環(huán)后
dist
0
Inf
10
50
30
60
set
True
false
True 63、
True
True
false
path
4
4,3
5.1.3 算法實現(xiàn)一：求最短路徑長度向量
vector 64、set[j]==false && sds[w]+(*m_Es)[w][j] 65、
}
空間復(fù)雜度： O(n)
時間復(fù)雜度： O(n*n)
5.1.4 算法實現(xiàn)二：求最短路徑向量
vector 66、
for(int j=0; j
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