數據結構(C語言版) 第7章 圖

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1、第7章 圖 1 邏輯結構 1.1 定義 G = (V, E) V是頂點集，E是頂點間二元關系的集合 內涵越小，外延越大 與樹的區(qū)別： ①樹有特殊的根結點； ②樹的結點和關系能分成互不相交的若干子集 圖的分類： 無向圖 有向圖 邊：二元關系是無序的。 弧：二元關系是有序的。 (vi,vj)：vi,vj互為鄰接點 ：弧頭vj、弧尾vi G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4} E1={(v1,v2),(v1,v3), (v1,v4),(v2,v3), (v2,v4),(v3,v4)} G2=(V2,E

2、2) V2={v1,v2,v3,v4} E2={, , , } 不予討論的圖: (總能轉換為簡單圖) 1.2 基本操作 對整體的操作 (遍歷) 深度遍歷DFSTraverse、 廣度遍歷BFSTraverse 對頂點的操作 InsertVex、DeleteVex、GetVex、SetVex 對弧/邊的操作 InsertArc、DeleteArc、GetArc、SetArc 1.3 常見應用 ①信息的組織：家庭照片管理…… ②運輸問題：最短路徑問題、最優(yōu)乘車路線問題…… ③網絡規(guī)劃：小區(qū)設店問題

3、、區(qū)域連通的規(guī)劃問題…… ④進度組織：工程進度管理…… 1.4 概念 思路：考慮圖的復雜應用，提供簡化問題的思路。 1.4.1 圖的分類 著眼點：存儲結構的選擇。 無向完全圖 邊數：n*(n-1)/2 有向完全圖 弧數：n*(n-1) 稀疏圖 邊數≈頂點數 稠密圖 邊數≈頂點數2 帶權圖 邊或頂點帶權值 著眼點：圖的分解。 子圖 V(B)∈V(A)，E(B)∈E(A)，稱圖B是圖A的子圖。 1.4.2 頂點的參數 度 無向圖中，依附于某頂點的邊數 入度 有向圖中，以某頂點為弧尾的弧數 出度 有向圖中，以某頂點為弧頭的弧數

4、 度的應用：以下哪個圖能夠一筆畫完成？為什么？ 一筆畫問題的本質：圖結構中的邊遍歷問題。 應用領域：車間/廠房布置、行走路線的安排、交通設計… 1.4.3 有關路徑 著眼點：頂點間的聯系。 頂點間路徑 Vi,……,Vj 頂點間連通 若從Vi到Vj有路徑，稱Vi到Vj是連通的。 路徑長度 路徑上邊/弧的數目。 簡單路徑 路徑中所有頂點各不相同。 回路 路徑中，起點和終點是同一頂點。 簡單回路 除起點和終點外，其余頂點各不相同。 1.4.4 有關連通 著眼點：將不連通圖簡化為連通圖。 連通圖 無向圖中,任意二個頂點之間是連通的。

5、 無向圖的 連通分量 無向圖的極大連通子圖。 強連通圖 有向圖中,任意二個頂點之間存在來往路徑。 有向圖的 強連通分量 有向圖的極大強連通子圖。 1.4.5 生成樹 著眼點：將圖簡化為樹。 無向圖 生成樹 連通無向圖中，n個頂點和n-1條邊，構成的連通子圖。（原連通圖的極小連通子圖） 生成森林 不連通的無向圖中，各連通分量的生成樹的集合。 有向圖 生成樹 強連通有向圖中，n個頂點和n-1條弧，構成的單向連通子圖(vi、vj間存在一條路徑)。 一個頂點入度為０，其余頂點入度為１。 生成森林 不強連通的有向圖中，各有強連通分量的生成樹的集合。

6、 第7章 圖 2 圖的存儲結構 存儲結構應該包含： ①頂點的信息；②邊/弧的信息；③權的信息。 2.1 鄰接矩陣 2.1.1 結構圖 0, 1, 1, 0 1, 0, 0, 1 1, 0, 0, 1 0, 1, 1, 0 0, 4, 2, Inf 4, 0, Inf, 8 2, Inf, 0, 1 Inf, 8, 1, 0 0, 4, 2, Inf Inf, 0, Inf, 8 Inf, Inf, 0, Inf Inf, Inf, 1, 0 2.1.2 類的定義 cons

7、t double Inf=10000; struct Edge { int v1,v2; double weight; }; class Mgraph // 簡化版，只存儲了邊/弧的信息。 { int m_N; vector > *m_Es; public: MGraph(int n); ~MGraph(); void Append(vector &es); void Output(); int Degree(int k); }; 空間復雜度：O(n*n)。 適合稠密圖，當點多邊少時，空間

8、浪費多。 2.1.2 （無向圖的）類的實現 // 構造函數 MGraph::MGraph(int n) { m_N = n; m_Es=new vector >(n,vector(n,Inf)); for(int i=0; i &es) { for(int i=0;

9、 i

10、鄰接表 2.2.1 結構圖 圖的變化特征：頂點變化少，關系變化多。 頂點表: 順序結構。邊/弧表：動態(tài)鏈表。 帶權圖的鄰接表 2.2.2 類的定義 struct ArcNode // 邊、弧結構 { int adjvex; // 鄰接點、弧頭的編號 double weight; ArcNode *nextarc; }; template struct VexNode // 頂點結構 { T data; ArcNode *firstarc; // 指向出邊表 }; template

11、T> class ALGraph { int m_N; vector > m_Data; // 頂點向量 public: ALGraph(vector vs);; ~ALGraph(); void Append(vector &es); void Output(); ……………… }; 空間復雜度：O(n+e) n是頂點數，e是邊/弧數。 2.2.3 類的實現 // 構造函數 template ALGraph::ALGraph(vector vs) { m_N

12、= vs.size(); m_Data.resize(m_N); for(int i=0; i void ALGraph::Append(vector &es) { for(int i=0; i

13、 ArcNode *p=new ArcNode; p->adjvex=v2; p->weight=es[i].weight; p->nextarc=m_Data[v1].firstarc; m_Data[v1].firstarc = p; } } // 計算有向圖中頂點i的出度 template int ALGraph::OutDegree(int k) { int n=0; for(ArcNode *p=m_Data[k].firstarc; p; p=p->nextarc) n++; retu

14、rn n; } // 計算有向圖中頂點i的入度 template int ALGraph::InDegree(int k) { int n=0; for(int i=0; inextarc) if(p->adjvex==k) n++; return n; } 試題： 計算有向圖的入度表、出度表； 判斷無向圖G是否可以一筆畫。 2.2.3 擴展思考：頂點的維護問題 例：刪除指定頂點的結構

15、變化 原圖的結構 刪除頂點2之后的圖結構 2.3 逆鄰接表 2.3.1 結構圖 鄰接表（出邊表） 逆鄰接表（入邊表） 思考：根據鄰接表繪制逆鄰接表。 2.3.2 類的定義 同鄰接表類 2.4 十字鏈表 2.4.1 結構圖 將鄰接表、逆鄰接表合二為一。 主要用于表示有向圖。 和稀疏矩陣的十字鏈表結構相比：本質一樣。細節(jié)差別在于：行頭表和列頭表合并為了頂點表。 等價結構： 2.2.2 類的定義 struct ArcNode // 弧結構 { int tailvex; // 弧尾的編號 int

16、headvex; // 弧頭的編號 double weight; ArcNode *tlink; // 指向弧尾相同的弧結點 ArcNode *hlink; // 指向弧頭相同的弧結點 }; template struct VexNode // 頂點結構 { T data; ArcNode *firstin; // 指向入邊表 ArcNode *firstout; // 指向出邊表 }; template class OLGraph { vector > m_D

17、ata; // 頂點向量 ……………… }; 2.5 鄰接多重表 2.4.1 結構圖 無向圖的鄰接表有50%的冗余。精簡方法：每條邊對應一個邊結點。 主要用于表示無向圖。 鄰接多重表結構 2.4.2 類的定義 struct EdgeNode // 邊、弧結構 { int ivex; // 第一鄰接點編號 int jvex; // 第二鄰接點編號 double weight; ArcNode *ilink; // 指向第一鄰接點編號為i的邊結點 ArcNode *jlink; // 指向第二鄰接點編號為j的邊結

18、點 }; template struct VexNode // 頂點結構 { T data; ArcNode *firstedge; // 第一個邊結點 }; template class OLGraph { vector > m_Data; // 頂點向量 ……………… }; 第7章 圖 3 圖的遍歷 圖遍歷：從某頂點出發(fā)，對每個頂點訪問且僅訪問一次。 圖遍歷與樹遍歷的比較： 區(qū)別 可能回到起點。 因為圖不能劃分為若干個互不相交的子圖。 算法擴展 對訪問過的頂點作標記，并

19、加以識別。 3.1 深度優(yōu)先搜索DFS(Depth First Search) 3.1.1 算法 ①設置一個標記數組，設所有頂點都未曾被訪問； ②從起點v出發(fā)，訪問此頂點，同時設置訪問標記； ③依次從v的未被訪問過的鄰接點出發(fā)進行DFS； （效果：所有與v連通的頂點都被訪問過） ④若所有頂點都已訪問，則完成；否則，另擇起點v，轉至②。 圖的邏輯結構 圖的鄰接表存儲結構 以頂點0為起點的DFS：0，1，4，3，2 以頂點3為起點的DFS：3，1，4，2，0 3.1.2 算法實現（遞歸） // 帽子函數 template vect

20、or ALGraph::DFSTraverse() { vector vs,vs1; // 實現步驟① vector visited(m_Data.size(),false); // 實現步驟④ for(int v=0; v

21、),vs1.end()); } return vs; } template void ALGraph::DoDFSTraverse(int v,vector& visited,vector& vs) { // 實現步驟② vs.push_back(m_Data[v].data); visited[v]=true; // 實現步驟③ for(ArcNode *p=m_Data[v].firstarc; p; p=p->nextarc) { int w=p->adjvex; if(visit

22、ed[w]==false) DoDFSTraverse(w,visited,vs); } } 思考1：與樹的遞歸遍歷算法的共性。 思考2：時間復雜度？ 思考3：計算DFS生成樹的各邊。 思考4：若采用鄰接矩陣結構，程序如何調整？ 3.1.3 調試示例 紅色邊：構成DFS生成森林，稱為樹邊。 結點中的左數字：開始訪問該結點的步驟； 結點中的右數字：完成訪問該結點的所有鄰接點的步驟； 3.1.4 調試中的深入思考 搜索過程中，邊的分類： 回邊：子孫結點指向祖先結點。 前向邊：祖先結點指向子孫結點。 交叉邊：子樹/樹之間

23、的邊。 應用：若在DFS過程中，沒有發(fā)現回邊，則該圖無環(huán)。 3.1.5 判斷無向圖中是否是連通，并計算連通分量的個數 int ALGraph::DFSTraverse() { vector vs,vs1; int n=0; vector visited(m_Data.size(),false); for(int v=0; v

24、sited,vs1); n++; vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end()); } return n; } 3.1.5 判斷無向圖中是否有回路 // 不適用于有向圖 template bool ALGraph::HasCircle() { vector visited(m_N,false); for(int v=0; v

25、rcle(v,visited)==true) return true; // 存在環(huán) return false; // 所有連通分量中，不存在環(huán) } template bool ALGraph::DoHasCircle(int v,vector& visited) { visited[v]=true; for(ArcNode *p=m_Data[v].firstarc; p; p=p->nextarc) { int w=p->adjvex; if(visited[w]==true)

26、 return true; // w已被訪問過，即發(fā)現環(huán)路 if(DoHasCircle(w,visited)) return true; // 在以w為起點的DFS中發(fā)現環(huán)路 } return false; // 在以v為起點的DFS中，沒有發(fā)現環(huán)路 } 3.2 廣度優(yōu)先搜索BFS(breadth first search) 3.2.1 算法 ①設所有頂點都未曾被訪問； ②將起點編號加入隊列，同時設置訪問標記； ③取隊首元素，設為v，訪問結點v； ④依次將v的各個未被訪問過的頂點加入隊列，同時設置訪問標記； ⑤若隊

27、列不空，則循環(huán)執(zhí)行③④，否則⑥； ⑥若所有頂點都已訪問，則完成；否則，另擇起點V，轉至②。 已知鄰接表，求遍歷序列。 以頂點0為起點的BFS：0，1，3，4，2 以頂點3為起點的BFS：3，1，0，4，2 3.2.2 算法實現 // 帽子函數 template vector ALGraph::BFSTraverse() { vector vs,vs1; // 實現步驟① vector visited(m_Data.size(),false); // 實現步驟⑥ for(int v=0; v<

28、m_N; v++) if(visited[v]==false) { vs1.clear(); DoBFSTraverse(v,visited,vs1); vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end()); } return vs; } template void ALGraph::DoBFSTraverse(int v,vector& visited,vector& vs) { queue

29、> Q; ArcNode *p; Q.push(v); visited[v]=true; // 步驟② while(!Q.empty()) // 步驟⑤ { v=Q.front(); Q.pop(); vs.push_back(m_Data[v].data); // 步驟③ // 步驟④ for(ArcNode *p=m_Data[v].firstarc; p; p=p->nextarc) { int w=p->adjvex; if(visited[w]==false)

30、 { Q.push(w); visited[w]=true; } } } } 思考1：與樹的層次遍歷算法的共性。 思考2：時間復雜度？ 思考3：計算BFS生成樹的各邊。 思考4：計算起點到其余各頂點的最短路徑。 3.2.3 調試示例 紅色邊：構成BFS生成森林，稱為樹邊。 結點數字：距離起點的路徑長度 3.4 生成樹、生成森林的存儲結構（擴展思考） 在遍歷中，如何將生成樹、生成森林，以孩子兄弟法存儲起來？ 圖的鄰接表結構 圖的生成森林的二叉鏈表結構 3.5 關節(jié)點、

31、重連通分量（擴展思考） 3.5.1 概念 關節(jié)點 若刪除某頂點及其關聯各邊，圖的一個連通分量將分割為多個連通分量，則該頂點是關節(jié)點。 重連通分量 沒有關節(jié)點的連通圖。 圖的連通度 若在連通圖上至少要刪除k個頂點才能破壞圖的連通性，則該圖的圖的連通度為k。 實際意義：連通度等價于系統(tǒng)的可靠度。 算法：在DFS生成樹，根結點至少有2個子結點，則為關節(jié)點。 第7章 圖 專題1 圖的非遞歸深度遍歷算法 1.1 狀態(tài)的定義 struct Status // 遍歷狀態(tài)類 { int v; // 遍歷中的當前頂點編號 ArcNode *p;

32、// 當前頂點已經訪問的弧結點的指針 }; 1.2 與遞歸函數完全相同的帽子函數 template vector ALGraph::DFSTraverse() { vector vs,vs1; vector visited(m_N,false); for(int v=0; v

33、 vs.insert(vs.end(),vs1.begin(),vs1.end()); } return vs; } 1.3 借助狀態(tài)棧的回溯法 // 約定每個頂點被訪問之后，再進棧 與樹先根算法的區(qū)別：訪問標記的處理 template void ALGraph::DoDFSTraverse(int v,vector& visited,vector& vs) { stack S; vs.push_back(m_Data[v].data); visited[v]=true; St

34、atus s1={v,m_Data[v].firstarc}; S.push(s1); while( !S.empty() ) { Status &s=S.top(); // s是棧頂狀態(tài)的引用 // 尋找v的下一個未訪問過的鄰接點 for(; s.p; s.p=s.p->nextarc) if(visited[s.p->adjvex]==false) break; if(s.p) { int w=s.p->adjvex; // 頂點w未訪問過 vs.push_back(m_Data[w].data); v

35、isited[w]=true; Status nexts; nexts.v=w; nexts.p=m_Data[w].firstarc; S.push(nexts); } else S.pop(); // 以v為起點的搜索已經完畢 } } 1.4 調試案例 訪問0 訪問1 訪問4 訪問3 訪問2 第7章 圖 專題2 地圖著色問題 2.1 地圖著色問題及其邏輯結構 設一張地圖有n個區(qū)域，用不多

36、于4種顏色對這些區(qū)域進行著色，相鄰區(qū)域應具有不同的顏色。 區(qū)域圖 邏輯結構圖 2.2 地圖著色判斷問題 試設計算法，以一種著色方案為輸入，算法對該著色方案進行考察，判別是否滿足著色要求。 // colors[0]...colors[m_N-1]存儲了所有區(qū)域的顏色值 template bool ALGraph::Check(vector &colors) { for(int i=0; inextarc)

37、 if(colors[p->adjvex]==colors[i]) return false; return true; } // colors[0]...colors[n-1]存儲了部分區(qū)域的顏色值 template bool ALGraph::Check(vector &colors,int n) { for(int i=0; inextarc) if(p->adjvex

38、->adjvex]==colors[i]) return false; return true; } 2.3 計算所有的地圖著色方案 template vector > ALGraph::GetAllColors() { vector > allColors; // 所有的著色方案 vector Colors(m_N,0); // 當前著色方案 GetAllColors(0,Colors,allColors); return allColors;

39、 } template void ALGraph::GetAllColors(int i, vector Colors, vector > &allColors) { if(i==m_N) { // 當前著色方案已經全部齊備 if(Check(Colors)) allColors.push_back(Colors); return; } for(int color=1; color<=4; color++) { Colors[i]=color; // 第i個區(qū)域設

40、置為color顏色 if(Check(Colors,i+1)) // 剪枝法：檢查局部解的合理性 GetAllColors(i+1,Colors,allColors); } } 2.3 小結 本質上，窮舉所有的著色方案，是遍歷4叉樹所有葉子結點的過程。效率不高，但配合剪枝法的應用，能較好的改善算法性能。 作業(yè)與上機 1 圖的鄰接表類 建立鄰接表類，深度、廣度遍歷之，盡可能的豐富鄰接表類的成員函數； 方向1：計算生成樹/生成森林的弧向量，進而建立生成樹/生成森林的樹的存儲結構。 方向2：判別圖中是否存在回路； 方向3：計算頂點之間的

41、最短的路徑長度； 方向4：計算圖中的關節(jié)點，進而計算圖的連通度； 方向5：參照樹的非遞歸遍歷算法，實現圖的非遞歸深度遍歷算法。 方向6：計算地圖著色的一個/所有著色方案。 2 圖的應用 Prim算法、Kruskal算法 Dijkstra算法、Floyd算法。 拓撲排序算法、關鍵路徑算法。 第7章 圖 4 最小生成樹 4.1 概念 最小生成樹：各邊權值之和最小的生成樹。 原圖 生成樹一 生成樹二 生成樹三 4.2 Prim算法 4.2.1 算法思路 設圖G=(V,E)，從起點v出發(fā)，構造最小生成樹T=(VT,ET)。

42、①初始化VT={v}，ET={}； ②找權值最小的(Vp,Vq), Vp∈VT, Vq∈V-VT； ③將(Vp,Vq)并入ET，同時Vq并入VT； ④重復②③步驟n-1次。 4.2.2 數據結構 ①圖的結構 因需要頻繁地讀取邊的權值，所以采用鄰接矩陣。 調試案例：以頂點4為起點，構造最小生成樹。 M_Data: {{ 0, 2,Inf,Inf,Inf, 7, 3,Inf,Inf}, { 2, 0, 4,Inf,Inf,Inf, 6,Inf,Inf}, {Inf, 4, 0, 2,Inf,Inf,Inf, 2,Inf}, {Inf,I

43、nf, 2, 0, 1,Inf,Inf, 8,Inf}, {Inf,Inf,Inf, 1, 0, 6,Inf,Inf, 2}, { 7,Inf,Inf,Inf, 6, 0,Inf,Inf, 5}, { 3, 6,Inf,Inf,Inf,Inf, 0, 3, 1}, {Inf,Inf, 2, 8,Inf,Inf, 3, 0, 4}, {Inf,Inf,Inf,Inf, 2, 5, 1, 4, 0} }; ②輔助結構 針對：找權值最小的(Vp,Vq), Vp∈VT, Vq∈V-VT； 設計結構：VT外每個頂點到V

44、T的最短距離。 struct ShortDist // 表示某頂點到VT的最短距離及對應頂點 { float Distance; // VT外頂點到VT的最短距離 int VexInTree;// VT對應的頂點編號 }; vector SDs; 表示所有頂點到VT的最短距離及對應頂點。 示例：以V4為起點構造最小生成樹，SDs的初始數據： 下標 0 1 2 3 4 5 6 7 8 VexInTree 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Distance INF INF INF 1 0 6 I

45、NF INF 2 SDs[i].Distance=0的含義：頂點i已在生成樹中 4.2.3 算法及分析 ① 初始化SDs； ② 在SDs中,找出Distance最小非0值的下標k； ③ (SDs[k].VexInTree,k)為生成樹的邊； k是樹外某點，SDs[k].VexInTree是樹內某點； ④ SDs[k].Distance=0，即頂點k并入生成樹； ⑤ 若cost[k][i]

46、ee 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Distance M M M 1 0 6 M M 2 第一次循環(huán)后 VexInTree 4 4 3 4 4 4 4 3 4 Distance M M 2 0 0 6 M 8 2 第二次循環(huán)后 VexInTree 4 2 3 4 4 4 4 2 4 Distance M 4 0 0 0 6 M 2 2 設圖頂點數為n，時間復雜度是O(n2)，空間復雜度是O(n)。 4.2.4 算法實現一：求MST的所有邊 vector

47、ge> MGraph::Prim1(int startv) { int n=m_Es->size(); vector tree(n-1); vector SDs(n); for(int i=0; i

48、小非0值的下標k if(SDs[j].Distance!=0 && SDs[j].Distance

49、tance) { SDs[j].Distance=(*m_Es)[k][j]; SDs[j].VexInTree=k; } } return tree; } 4.2.5 算法實現二：求MST的樹結構 // 生成一棵雙親表示法的樹，存于tree中 vector MGraph::Prim1(int startv) { int n=m_Es->size(); vector tree(n-1); vector SDs(n); for(int i=0; i

50、xInTree=startv; SDs[i].Distance=(*m_Es)[startv][i]; } for(i=0; i

51、 tree[i].weight=SDs[k].Distance; SDs[k].Distance=0; // 將頂點k納入生成樹中 for(j=0; j

52、4 -1 8 8 2 4 結構解釋 4.3 Kruskal算法 4.3.1 算法思路 ①盡可能選擇n-1條權值最小的邊； ②但不能構成回路。 4.3.2 算法步驟 ①初始化VT=V，ET={}，即n個頂點是n個連通分量； ②選擇權值最小的邊(Vp,Vq)； ③若Vp、Vq不屬于同一連通分量，將(Vp,Vq)并入ET；否則，舍棄。 ④重復②③，直至選取了n-1條邊。 4.3.3 連通分量表示與合并 連通分量：采用子集樹的存儲結構。 vector parents(m_N,-1); 連通分量的合

53、并：子集樹的合并。 4.3.4 數據結構 struct Edge { int v1,v2; double weight; bool operator<(Edge &e) { return weight m_Es; // 有序邊集 public: Graph(int n,vector & es) { m_N=n; m_Es=es; sort(m_Es.begin(), m_Es.en

54、d()); } vector Kruskal(); ………… } 4.3.5 算法實現 vector Graph::Kruskal() { vector tree(m_N-1); vector parents(m_N,-1); for(int k=0,i=0; i

55、ends) { parents[begins]=ends; // 合并子集樹 tree[k] =m_Es[i]; k++; if(k==m_N) return tree; // 找到了全部的樹邊 } } return tree; } // 計算頂點v所屬的連通分量的編號 int Graph::Find(vector sets, int v) { while(sets[v]>=0) v=sets[v]; return v; } 4.3.6 調試案例 3,4:1 6

56、,8:1 4,8:2 0,1:2 2,7:2 2,3:2 0,6:3 6,7:3 1,2:4 7,8:4 5,8:5 4,5:6 1,6:6 0,5:7 3,7:8 三元組 begins ends 0 1 2 3 4 5 6 7 8 初始化 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 3,4:1 3 4 -1 -1 -1 4 -1 -1 -1 -1 -1 6,8:1 6 8 -1 -1 -1 4 -1 -1 8 -1 -1 4,8:2 4 8 -1

57、-1 -1 4 8 -1 8 -1 -1 0,1:2 0 1 1 -1 -1 4 8 -1 8 -1 -1 2,7:2 2 7 1 -1 7 4 8 -1 8 -1 -1 2,3:2 7 8 1 -1 7 4 8 -1 8 8 -1 0,6:3 1 8 1 8 7 4 8 -1 8 8 -1 6,7:3 8 8 1,2:4 8 8 7,8:4 8 8 5,8:

58、5 5 8 1 8 7 4 8 8 8 8 -1 4.3.7 性能分析 設圖的頂點個數為n，邊數為e。邊數組已經按權值有序。 空間復雜度： O(n) “選邊”的時間復雜度： 最好O(n)； 最差O(e) “求子集”的時間復雜度：最好O(log2n)；最差O(n) 4.4 暢想 Prim算法 適合稠密圖 Kruskal算法 適合稀疏圖 感受“貪心法”：用局部最優(yōu)解，組合全局最優(yōu)解。 第7章 圖 5 最短路徑 約定：路徑長度等于路徑中邊/弧權值之和；所有邊/弧權大于0。 5.1 單源點的最短路徑問題

59、 性質： 最短路徑由最短子路徑組成。 策略： 由近及遠計算到各頂點的最短路徑。 Edsger Dijkstra （1930-2002） 經典之作：“GoTo Statement Considered Harmful”。 1972年因發(fā)明ALGOL語言而獲得圖靈獎，獲獎演說是“The Humble Programmer”。 在操作系統(tǒng)中，提出了PV操作；…… 5.1.1 問題與對策 ①如何存儲源點v到其余頂點的最短路徑長度？ vector sds; 初值：sds = (*m_Es)[v]; ②如何區(qū)

60、分已求解結點和未求解結點？ vector set(m_N,false); set[i]==true 表示頂點i未求解 set[i]==false 表示頂點i已求解 ③如何表示已求解結點w對未求解結點i的影響？ 若sds[w]+(*m_Es)[w][i]

61、選取與頂點v最近的結點w，成為已求解結點； ③借助結點w，修改從v出發(fā)到其余未求解結點的最短路徑長度； ④重復②③步驟N-1次。 案例演示 0,Inf,10,Inf,30,100; Inf,0,5,Inf,Inf,Inf; Inf,Inf,0,50,Inf,Inf; Inf,Inf,Inf,0,Inf,10; Inf,Inf,Inf,20,0,60; Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,0 0 1 2 3 4 5 初始化 dist 0 Inf 10 Inf 30 100 set True false false

62、false false false path 第一次循環(huán)后 dist 0 Inf 10 60 30 100 set True false True false false false path 2 第二次循環(huán)后 dist 0 Inf 10 50 30 90 set True false True false True S path 4 4 第三次循環(huán)后 dist 0 Inf 10 50 30 60 set True false True

63、 True True false path 4 4,3 5.1.3 算法實現一：求最短路徑長度向量 vector MGraph::Dijkstra(int v) { vector sds=(*m_Es)[v]; vector set(m_N,false); set[v] =true; for(int i=1; i

64、set[j]==false && sds[w]+(*m_Es)[w][j] sds,vector set) { double min=Inf; int w; for(int i=0; i

65、 } 空間復雜度： O(n) 時間復雜度： O(n*n) 5.1.4 算法實現二：求最短路徑向量 vector > MGraph::DijkstraPath(int v) { vector sds=(*m_Es)[v]; vector > paths(m_N); vector set(m_N,false); set[v] =true; for(int i=1; i

66、 for(int j=0; jj最短路徑 A1[i][j]=min(A0[i][0]+A0[0][j],A0[i][j]) 以頂點0、頂點1為中間頂點的i->j最短路徑 A2[i][j]=min(A1[i][1]+A1[1][