高等數(shù)學(xué)：第二節(jié) 數(shù)列的極限

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1、1/31第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、引例二、數(shù)列的概念三、數(shù)列極限的概念四、收斂數(shù)列的性質(zhì)五、小結(jié)、作業(yè)、思考題2/31一、引例一、引例 極限概念是從常量到變量極限概念是從常量到變量,從有限到無(wú)限從有限到無(wú)限, 即從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵即從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵. 極限的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)極限的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng).莊子莊子(約公元前約公元前355275年年)在在天下篇天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”. 中寫(xiě)道中寫(xiě)道:劉徽劉徽(三世紀(jì)三世紀(jì))的的“割圓術(shù)割圓術(shù)”中說(shuō)中說(shuō): “割之彌細(xì)割之彌細(xì),所失彌少所失彌少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,則

2、與圓周合體則與圓周合體,而無(wú)所失矣而無(wú)所失矣.”3/31正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASR4/31定義定義 數(shù)列乃按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)數(shù)列乃按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)12,nu uu簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為nnuu其其中中稱稱為為數(shù)數(shù)列列的的通項(xiàng)通項(xiàng)(generalterm),或者或者一般項(xiàng)一般項(xiàng).,nu二、數(shù)列二、數(shù)列 (sequence of number) 的概念的概念;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 如如;,2 , 8 , 4

3、, 2n;,21,81,41,21n2n21n5/31onxn 1 2 3 4可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取12,.nu uu1u2u3u4unu數(shù)列的幾何表示法數(shù)列的幾何表示法:(2)數(shù)列也可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列也可看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù)的函數(shù): )(nfxn 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù)或或下標(biāo)函數(shù)下標(biāo)函數(shù)(1)數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.6/31三、數(shù)列極限三、數(shù)列極限的概念的概念.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)研究數(shù)列研究數(shù)列 nnn即即,511,411,311,211, 11 56,43,34,21, 2問(wèn)題問(wèn)題當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大無(wú)限增大時(shí)

4、時(shí), 是否是否無(wú)限接近無(wú)限接近于某一于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?unn如果是如果是,當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大無(wú)限增大時(shí)時(shí), nu無(wú)限接近無(wú)限接近于于1.該值為多少該值為多少?7/31如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它?1nu 1)1)1(1(1 nn1nu 可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,則要看則要看1nu “無(wú)限接近無(wú)限接近” 意味著什么意味著什么?|.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)研究數(shù)列研究數(shù)列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么程度小到什么程度.當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大無(wú)限增大時(shí)時(shí), 無(wú)限接近無(wú)限接近于于1.nu8/31,1001給定給定11100,n 要要使使,100時(shí)

5、時(shí)只要只要 n11,100nu 有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n11,10000nu 有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n11,1000nu 有有0, 任任給給,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn1.nu 有有成成立立1|1|nun衡量尺度衡量尺度9/31,nuaNnN 設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)列列及及定定值值 . .如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在正正數(shù)數(shù), ,使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,不不等等式式nua nnua 恒恒成成立立, ,則則稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,數(shù)數(shù)列列的的極極限限為為 , ,lim.nnnuanua 或或 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，定義定義nua或或稱稱數(shù)數(shù)列列

6、收收斂斂于于 , ,記記作作,.nu如如果果數(shù)數(shù)列列沒(méi)沒(méi)有有極極限限 稱稱之之為為發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)列列10/31,有有關(guān)關(guān)與與給給定定的的 N注注一般地說(shuō)一般地說(shuō),(1)(2)0:,;nnuaxa 任任意意給給定定之之重重要要性性 唯唯有有此此不不等等式式方方能能表表達(dá)達(dá)與與 的的無(wú)無(wú)限限接接近近,;N 越越小小將將越越大大.nua 有有,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn , 0 , 0 NN 定義定義邏輯符號(hào)邏輯符號(hào)limnnua 簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)寫(xiě)的的定定義義(3),|.nNnNua 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)總總存存在在正正數(shù)數(shù), ,使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,不不等等式式| |成成立立11/31x1u2u2

7、uN 1uN 3u數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的幾何意義 2 a aa,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn .)(落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)Nauan )(Nn ( ,)uU an uan 即即)(Nn (,),nuaa所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)都都落落在在內(nèi)內(nèi)因此因此,一個(gè)數(shù)列是否有極限一個(gè)數(shù)列是否有極限,“前面前面” 的有限項(xiàng)的有限項(xiàng)不起作用，關(guān)鍵是看不起作用，關(guān)鍵是看“后面后面”無(wú)窮多項(xiàng)的變化無(wú)窮多項(xiàng)的變化趨勢(shì)！趨勢(shì)?。▌?dòng)態(tài)觀點(diǎn)）（動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)）12/31數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證證1 nu1)1(1 nnnn1

8、, 0 任任給給,1 nu要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 就就有有1( 1)1nnn 1( 1)lim1.nnnn 注意：注意：(1)(2)(3)(4)給出度量給出度量考察接近程度考察接近程度套用定義格式套用定義格式下結(jié)論下結(jié)論 雖然是可以任意小的正數(shù)雖然是可以任意小的正數(shù),但使用定義證題但使用定義證題時(shí)時(shí),對(duì)于給定的對(duì)于給定的 總暫時(shí)認(rèn)為它是固定的總暫時(shí)認(rèn)為它是固定的,按照這按照這個(gè)個(gè) 找出使不等式成立的找出使不等式成立的N. , 找找N13/312( 1)lim0.(1)nnn 例例. . 證證明明220,( 1)11|0(1)(1)1nnuannn

9、 證證明明: :對(duì)對(duì)111,1nn 只只要要或或|.nua 不不等等式式必必然然成成立立11 ,N 所所以以取取2( 1)0.(1)nn 1( 1)lim0.nnnn ,nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 就就有有1, 設(shè)設(shè)14/31例例. 10, 0lim qqnn其中其中證明證明證證0 0,nnuq ,lnln qn,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 為了使為了使只需使只需使),10( 不妨設(shè)不妨設(shè)15/31簡(jiǎn)化證明簡(jiǎn)化證明, 0 任給任給0,nnuq 令令,lnlnqN 取取,nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 就就有有0.nq lim0.nnq lnln ,nq

10、則則ln.lnnq 甚至更簡(jiǎn)化為甚至更簡(jiǎn)化為, 0 任給任給ln,lnNq 令令,nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 就就有有0.nq lim0.nnq 16/312221lim.3243nnnnn 例例. . 證證明明22221105|,32433(324)nnnnuannnn證證明明: :10,max2,N 所所以以, ,對(duì)對(duì)取取2221.3243nnnn 2221lim.3243nnnnn,nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 就就有有25100,nn當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，于于是是2221055101,3(324)3(3249)5nnnnnnnnn 17/31注：注： 為了簡(jiǎn)化解不等式的運(yùn)算為了簡(jiǎn)化解不等式的運(yùn)算,常常把常常把nua

11、 作適當(dāng)放大作適當(dāng)放大.22:lim1.nnan 練練習(xí)習(xí) 證證明明224lim4.(122.3nnnn 習(xí)習(xí)題題（ ）) )236lim0.2nnnn 18/31例例(),lim.nnnuC CuC設(shè)設(shè)為為常常數(shù)數(shù)證證明明證證nuC CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).19/311. 有界性有界性如如,1nnun 數(shù)數(shù)列列2nnu 數(shù)數(shù)列列有界有界;無(wú)界無(wú)界.定義定義,nu對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)列列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M,|,nuM 成成立立數(shù)數(shù)n,恒有恒有稱為無(wú)界稱為無(wú)界.則稱數(shù)列則稱

12、數(shù)列 有界有界;nu 數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn) 都落在都落在nu,MM 閉區(qū)間閉區(qū)間 上上.否則否則,使得一切自然使得一切自然四、四、收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)20/31定理定理1 1證證lim,nnua 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取,1,nNnNua則則使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有11.naua即即有有,max,n則則對(duì)對(duì)一一切切自自然然數(shù)數(shù) .nu故故有有界界有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件, 推論推論注注收斂收斂的數(shù)列必定有界的數(shù)列必定有界. .無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .不是充分條件不是充分條件.,1 a1 a M記記,1|,u2|,

13、u|,Nu,nuM 皆皆有有21/312. 唯一性唯一性定理定理2 2證證lim,nnua 設(shè)設(shè)由定義由定義,1nnNua 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有 ,max21NNN 取取nN 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),(1),(2),(1),(2)式式同同時(shí)時(shí)成成立立, ,故故a=b, 收斂數(shù)列極限唯一收斂數(shù)列極限唯一.每個(gè)每個(gè)收斂收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限的數(shù)列只有一個(gè)極限. .lim,nnub 又又120,2baNN 對(duì)對(duì)使得使得,ab 不不妨妨設(shè)設(shè)(1)2nabu (2)2nabu 2nnNub 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有矛盾，矛盾，22/31例例11().nnu 證證明明 數(shù)數(shù)列列是是發(fā)發(fā)散散的的證證,21 取取, 0 N則則,時(shí)

14、時(shí)即當(dāng)即當(dāng)Nn 區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.11,nu 而而無(wú)無(wú)休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi).,nu 是是有有界界的的21 a21 aa,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 12,nua有有成成立立 反證法反證法假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列nu收斂收斂， 則有唯一極限則有唯一極限a 存在存在. .1122(,),nuaa但卻發(fā)散但卻發(fā)散. .23/313. 保號(hào)性保號(hào)性定理定理3 3 如果如果lim,nnua 且且0 a, 0 N則則,Nn 當(dāng)當(dāng)0nu 有有),0( a0().nu 證證0 a由定義由定義, 02 a ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 對(duì)對(duì), 0 N2,naua有有

15、從而從而nu 2aa 2a . 0 推論推論 如果數(shù)列如果數(shù)列 nu從某項(xiàng)起有從某項(xiàng)起有0nu 0(),nu 且且lim,nnua 那么那么0 a).0( a用反證法用反證法24/31在數(shù)列在數(shù)列 中依次任意抽出中依次任意抽出無(wú)窮無(wú)窮多項(xiàng)多項(xiàng): nu12,knnnuuu所構(gòu)成的新數(shù)列所構(gòu)成的新數(shù)列)(21 knnn其下標(biāo)其下標(biāo)knu這里這里 是原數(shù)列中的第是原數(shù)列中的第 項(xiàng)項(xiàng),kn在子數(shù)列中是在子數(shù)列中是第第k項(xiàng)項(xiàng),k4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系間的關(guān)系1 2 3 (, , ,)knuk nu 的的子數(shù)列子數(shù)列.叫做數(shù)列叫做數(shù)列kn 25/31,

16、knua 證證knu是數(shù)列是數(shù)列nu的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列. .若若lim,nnua 則則, 0 ,N ,nN 當(dāng)當(dāng)有有nua 現(xiàn)取正整數(shù)現(xiàn)取正整數(shù) K=N,由此證明由此證明 lim.knkua 定理定理4 4設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列, 0 正整數(shù)正整數(shù) K,knua 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂于同一極限. .,kKN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),knkN必必有有從從而而kK 當(dāng)當(dāng)26/31 由此定理可知由此定理可知,但若已知一個(gè)子數(shù)列發(fā)散但若已知一個(gè)子數(shù)列發(fā)散, 或有兩個(gè)子數(shù)列或有兩個(gè)子數(shù)列斂于斂于a .nu21ku 2ku收斂于不同的極限值收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的可斷定原

17、數(shù)列是發(fā)散的.一般不能斷定原數(shù)列的收斂性一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;還可以證明還可以證明:數(shù)列數(shù)列的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)均收斂于同一常數(shù)a 時(shí)時(shí),則數(shù)列則數(shù)列nu也收也收僅從某一個(gè)子數(shù)列的收斂?jī)H從某一個(gè)子數(shù)列的收斂(習(xí)題習(xí)題1-2 第第8題題)27/31例例 試證數(shù)列試證數(shù)列 不收斂不收斂. ncos證證 因?yàn)橐驗(yàn)?的奇子數(shù)列的奇子數(shù)列 ncos不收斂不收斂.收斂于收斂于而偶子數(shù)列而偶子數(shù)列 , 1, 1, 1 ncos所以數(shù)列所以數(shù)列 收斂于收斂于, 1 , 11,1,1,28/31數(shù)列數(shù)列數(shù)列極限數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)

18、系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.五、小結(jié)五、小結(jié)研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;極限思想極限思想, 精確定義精確定義, 幾何意義幾何意義;有界性有界性, 唯一性唯一性,保號(hào)性保號(hào)性,29/31作業(yè)作業(yè)B. B. 課后練習(xí)：課后練習(xí)：課本習(xí)題課本習(xí)題1-2 (21-221-2 (21-22頁(yè)頁(yè)) ) 1.（3，4） 2.(1，4) 4. 6. 7. C. 思考題：思考題：8A. 第第2次作業(yè)次作業(yè)30/31思考題思考題13nua , 0 , 0 N“”恒有恒有是數(shù)列是數(shù)列nu收斂于收斂于a的的( ). A. 充分但非必要條件充分但非必要條件B. 必要但非充分條件必要但非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分也非必要條件既非充分也非必要條件(1)(2).(lim,lim2 nnnnaKa則則若若KA.KB 2.2.KCD. 不確定不確定,nN 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)