新版高考數學復習 專題06 解析幾何理高考題和高考模擬題數學理分項版匯編 Word版含解析

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2、 1 6．解析幾何 1．【浙江卷】雙曲線的焦點坐標是 A. (?，0)，(，0) B. (?2，0)，(2，0) C. (0，?)，(0，) D. (0，?2)，(0，2) 【答案】B 點睛：由雙曲線方程可得焦點坐標為，頂點坐標為，漸近線方程為. 2．【理數天津卷】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點. 設A，B到雙曲線同

3、一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先求得A,B的坐標，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后求解a的值即可確定雙曲線方程. 詳解：設雙曲線的右焦點坐標為（c>0），則，由可得：，不妨設：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇C選項. 點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線

4、方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 3．【理北京卷】在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線的距離，當θ，m變化時，d的最大值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 點睛：與圓有關的最值問題主要表現在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化． 4．【理新課標I卷】已知雙曲線C：，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|= A.

5、 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】分析：首先根據雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標，從而得到，根據直角三角形的條件，可以確定直線的傾斜角為或，根據相關圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結果是相等的，從而設其傾斜角為，利用點斜式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯立，求得，利用兩點間距離同時求得的值. 詳解：根據題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據雙曲線的對稱性，設其傾斜角為，可以得出直線的方程為， 分別與兩條漸近線和聯立，求得，所以，故選B. 點睛：該題考查的是有關線段長度的問題，在解題的過

6、程中，需要先確定哪兩個點之間的距離，再分析點是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線的斜率，結合過右焦點的條件，利用點斜式方程寫出直線的方程，之后聯立求得對應點的坐標，之后應用兩點間距離公式求得結果. 5．【理新課標I卷】設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 詳解：根據題意，過點（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.

7、 點睛：該題考查的是有關直線與拋物線相交求有關交點坐標所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據題意確定直線的方程，之后需要聯立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應用向量坐標公式求得向量的坐標，之后應用向量數量積坐標公式求得結果，也可以不求點M、N的坐標，應用韋達定理得到結果. 6．【全國卷Ⅲ理】設是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 A. B. 2 C. D. 【答案】C 點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題。 7．【

8、全國卷Ⅲ理】直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可 詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點，,則，點P在圓上，圓心為（2，0），則圓心到直線距離，故點P到直線的距離的范圍為，則，故答案選A. 點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。 8．【理數全國卷II】已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 A. B

9、. C. D. 【答案】D 點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等. 9．【理數全國卷II】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果. 詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A. 點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：. 10．【浙江卷】已知點P(0，1)

10、，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當m=___________時，點B橫坐標的絕對值最大． 【答案】5 點睛：解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經常出現，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數，然后借助于函數最值的探求來使問題得以解決. 11．【理數天津卷】已知圓的圓心為C，直線(為參數)與該圓相交于A，B兩點，則的面積為___________. 【答案】 【解析】分析：由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可. 詳解：由題意可得圓的標準

11、方程為：，直線的直角坐標方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：， 則. 點睛：處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法． 12．【理北京卷】已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為__________；雙曲線N的離心率為__________． 【答案】 2 詳解：由正六邊形性質得橢圓上一點到兩焦點距離之和為，再根據橢圓定義得，所以橢圓M的離心率為雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸

12、近線的傾斜角為， 點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等. 13．【江蘇卷】在平面直角坐標系中，A為直線上在第一象限內的點，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標為________． 【答案】3 【解析】分析：先根據條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標，最后根據平面向量的數量積求結果. 詳解：設，則由圓心為中點得易得，與聯立解得點D的橫坐標所以.所以， 由得或， 因為，所以 點睛：以向量為載體求相關變

13、量的取值或范圍，是向量與函數、不等式、三角函數、曲線方程等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程或解不等式或求函數值域，是解決這類問題的一般方法. 14．【江蘇卷】在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________． 【答案】2 點睛：雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，焦點在漸近線上的射影到坐標原點的距離為a. 15．【浙江卷】如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． （Ⅰ）設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； （Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x

14、<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 詳解：（Ⅰ）設，，．因為，的中點在拋物線上，所以，為方程，即的兩個不同的實數根．所以．因此，垂直于軸． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，． 因此，的面積．因為，所以．因此，面積的取值范圍是． 點睛：求范圍問題，一般利用條件轉化為對應一元函數問題，即通過題意將多元問題轉化為一元問題，再根據函數形式，選用方法求值域，如二次型利用對稱軸與定義區(qū)間位置關系，分式型可以利用基本不等式，復雜性或復合型可以利用導數先研究單調性，再根據單調性確定值域. 16．【理數天津卷】設橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離

15、心率為，點A的坐標為，且. （I）求橢圓的方程； （II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 詳解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）

16、=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或 點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題． 17．【理北京卷】已知拋物線C：=2px經過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值． 【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)證明過程見解析

17、 詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x． 由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0

18、是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現. 18．【江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為． （1）求橢圓C及圓O的方程； （2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P． ①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標； ②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程． 【答案】（1）橢圓C的方程為；圓O的方程為 （2）①點P的坐標為；②直線l的方程為 詳解：解：

19、（1）因為橢圓C的焦點為，可設橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為． 因為圓O的直徑為，所以其方程為． （2）①設直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即．由，消去y，得 ．（*）因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點， 所以．因為，所以．因此，點P的坐標為．②因為三角形OAB的面積為，所以，從而．設，由（*）得，所以．因為，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標為．綜上，直線l的方程為． 點睛：直線與橢圓的交點問題的處理一般有兩種處理方法：一是設出點的坐標，運用“設而不求”思想求解；二是設出直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理求出交點坐標，適用于

20、已知直線與橢圓的一個交點的情況. 19．【理新課標I卷】設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為. （1）當與軸垂直時，求直線的方程； （2）設為坐標原點，證明：. 【答案】(1) AM的方程為或.(2)證明見解析. (2)分直線l與x軸重合、l與x軸垂直、l與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關系來體現，從而證得結果. 詳解：（1）由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點A的坐標為或. 所以AM的方程為或. （2）當l與x軸重合時，.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當l與x軸不重合也不

21、垂直時，設l的方程為，，則，直線MA，MB的斜率之和為.由得 .將代入得. 所以，.則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.綜上，. 點睛：該題考查的是有關直線與橢圓的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線與橢圓相交的綜合問題、關于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應該是兩個，關于第二問，在做題的時候需要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯立方程組，之后韋達定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關系來得到角是相等的結論. 20．【全國卷Ⅲ理】已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．

22、 （1）證明：； （2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數列，并求該數列的公差． 【答案】（1）（2）或 詳解：（1）設，則.兩式相減，并由得 .由題設知，于是.①；由題設得，故. （2）由題意得，設，則. 由（1）及題設得.又點P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數列. 設該數列的公差為d，則.② 將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得.所以該數列的公差為或. 點睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關系，等差數列的性質，第一問利用點差法，設而不求可減小計算量，第二問由已知得到,求出m得到直線方程很關鍵，考查了函數與

23、方程的思想，考察學生的計算能力，難度較大。 21．【理數全國卷II】設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程． 【答案】(1) y=x–1,(2)或． 詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．設A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以．由題設知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即． 設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則解得或 因此所求圓的方

24、程為或． 點睛：確定圓的方程方法 (1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． (2)待定系數法：①若已知條件與圓心和半徑有關，則設圓的標準方程依據已知條件列出關于的方程組，從而求出的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值． 優(yōu)質模擬試題 22．【江西省南昌市三?！俊霸趦蓷l相交直線的一對對頂角內，到這兩條直線的距離的積為正常數的點的軌跡是雙曲線，其中這兩條直線稱之為雙曲線的漸近線”．已知對勾函數是雙曲線，它到兩漸近線距離的積是,根據此判定定理，可推斷此雙曲線的漸近線方程是（

25、 ） A. 與 B. 與 C. 與 D. 與 【答案】A 顯然 當時，當時，綜上，，符合定義.同理可知B,C，D不符合定義.故選A. 點睛：本題考查雙曲線的定義，利用定義驗證選項是否符合，是基礎題. 23．【江西省重點中學協作體二?！吭O分別是雙曲線的左、右焦點，是的右支上的點，射線平分,過原點作的平行線交于點,若,則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：用特殊值法，讓點M無限接近右頂點，則T點無限接近于原點O，由此可得出的關系. 詳解：當M接近右頂點時，射線MN接近與軸垂直，OT接近于軸

26、，即T接近于點O，于是，∴由得，∴，故選B. 點睛：本題考查利用雙曲線的性質求雙曲線的離心率，求解時要結合圖形進行分析，即使畫不出圖形（畫不出準確的圖形），思考時也要聯想到圖形，當涉及雙曲線的頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們的關系，挖掘韹內存聯系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而解出. 24．【山東省濟南市二模】已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標原點若,則直線與的斜率之積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 詳解:設A,B,,因

27、為所以切線PA的方程為所以切線PB的方程為聯立切線PA,PB的方程解之得x=a+b,y=ab,所以P（a+b,ab）. 所以故答案為：A 點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是解題的思路，由于與切線有關，所以一般先設切點，先設A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標，再根據得到最后求直線與的斜率之積.如果先設點P的坐標，計算量就大一些. 25．【山東省濟南市二模】設橢圓的左、右焦點分別為,點.已知動點在橢圓上,且點不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（ ） A

28、. B. C. D. 【答案】A 詳解：的周長為 ，∴ 故選：A 點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 26．【南省鄭州市三?！恳阎獮闄E圓上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別是，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】

29、C 詳解：如圖，由題意設，則，∴，設，則，當且僅當，即時等號成立，此時．又當點P在橢圓的右頂點時，，∴，此時最大，且最大值．∴的取值范圍是故選C． 點睛：圓錐曲線中的最值或范圍問題將幾何問題和函數、不等式的問題綜合在一起，考查學生的綜合應用能力，此類題目具有一定的難度．解題時首先要根據題意設出相關的參數，把所求的最值表示為該參數的函數，然后根據目標函數的特征選用函數或不等式的知識求解最值即可． 27．【河北省唐山市三?！恳阎菕佄锞€上任意一點，是圓上任意一點，則的最小值為（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 詳解：設點的坐標為，由圓的方程可

30、得圓心坐標， ，，是圓上任意一點，的最小值為，故選D. 點睛：解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法求解. 28．【福建省廈門市三模】若雙曲線的漸近線與圓無交點，則的離心率的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】分析：根據圓心到直線的距離大于半徑，列不等式，結合可得離心率的取值范圍. 詳解：曲線的漸近線與圓無交點，圓心到直線的距離大于半徑，即，，，， 即的離心率的取值

31、范圍為，故答案為. 點睛：本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.求離心率問題應先將 用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用點到直線的距離大于圓半徑構造出關于的不等式，最后解出的范圍. 29．【河南省洛陽市三?！恳阎獟佄锞€，點，在拋物線上，且橫坐標分別為，，拋物線上的點在，之間（不包括點，點），過點作直線的垂線，垂足為. （1）

32、求直線斜率的取值范圍； （2）求的最大值. 【答案】(1);(2). 詳解：（1）由題可知，，設，，所以 ，故直線斜率的取值范圍是. （2）直線，直線，聯立直線，方程可知點的橫坐標為， ，所以，令，，則 ，當時，當時，故在上單調遞增，在上單調遞減.故，即的最大值為. 點睛：本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查弦長公式與距離公式的應用，屬于中檔題． 30．【湖南省益陽市5月統考】已知直線經過拋物線的焦點且與此拋物線交于，兩點，，直線與拋物線交于，兩點在軸的兩側. （1）證明：為定值； （2）求直線的斜率的取值范圍； （3）已知函數在（）處取得最小值，求線段的中點到點的距離的最小值（用表示）. 【答案】（1）見解析（2）.（3）（或）. 詳解：（1）證明：由題意可得，直線的斜率存在，故可設的方程為（）， 聯立得，則，則為定值. （2）解：由（1）知，，，則，即.聯立得，∵，兩點在軸的兩側，∴，，即.由及可得或， 故直線的斜率的取值范圍為. （3）解：設，，，則，， ∵，∴.又，∴， 故點的軌跡方程為（或）. 點睛：本題主要考查拋物線的性質，中點坐標公式，拋物線與直線的位置關系和點的軌跡方程的知識，難度較大。