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1、新編高考數(shù)學復習資料
第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)
第1講 函數(shù)及其表示
一、填空題
1．設f(2x－1)＝2x－1，則f(x)的定義域是________．
解析 ∵x∈R，∴2x>0，∴2x－1>－1，∴f(x)的定義域是(－1，＋∞)．
答案 (－1，＋∞)
2．設集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B為函數(shù)y＝lg(x－1)的定義域，
則A∩B＝________.
解析 利用集合的運算求解．
由題意知：B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，
又∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1
2、)＝若f(a)＝4，則實數(shù)a＝________.
解析 當a＞0時，有a2＝4，∴a＝2；當a≤0時，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或2.
答案 －4或2
4．設f(x)＝則f等于________．
解析 因為f＝－2＝－，所以f＝
f＝＝.
答案
5．設函數(shù)f(x)＝，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則A∩B＝________.
解析 由－x2－2x＋15≥0，得x2＋2x－15≤0，解得－5≤x≤3，所以A＝[－5,3]．又由y＝－x2－2x＋15＝－(x＋1)2＋16≤16，得0≤f(x)≤4，所以B＝[0,4]，所以A∩B＝[0,3
3、]．
答案 [0,3]
6．設函數(shù)f(x)＝則f(f(－4))＝________.
解析 “分段”求值．f(f(－4))＝f＝f(16)＝4.
答案 4
7．函數(shù)y＝的定義域為________．
解析 由題意可知1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤1，∴解得－2
4、－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是________．
解析
當(x2－2)－(x－1)≤1時，－1≤x≤2，所以f(x)＝f(x)的圖象如圖所示．
y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，即方程f(x)＝c恰有兩個解，由圖象可知當c∈(－2，－1]∪(1,2]時滿足條件．
答案 (－2，－1]∪(1,2]
10．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝2x2＋1，值域為{3,19}的“孿生函數(shù)”共有________個．
解析 若y＝3，則由2x2＋1＝3
5、，得x＝±1；
若y＝19，則由2x2＋1＝19，得x＝±3.
所以函數(shù)f(x)定義域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9個孿生函數(shù)．
答案 9
二、解答題
11．設函數(shù)f(x)＝，若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求關于x的方程f(x)＝x的解．
解 當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c，因為f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴，
解得，
∴f(x)＝
當x≤0時，由f(x)＝x得，x2＋2x－2＝x，得x＝－2或x＝1.由
6、x＝1>0，所以舍去．
當x>0時，由f(x)＝x得x＝2，
所以方程f(x)＝x的解為－2、2.
12．已知f(x)＝解不等式f(x)>－1.
解 當x>0時，ln>－1，即ln x<1，故0－1，即x<－1，故不等式的解集是
(－∞，－1)∪(0，e)．
13．據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．
(1)當t＝4時，求s的值；
(2)將s隨
7、t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
解 (1)由圖象可知；當t＝4時，v＝3×4＝12，
所以s＝×4×12＝24.
(2)當0≤t≤10時，s＝·t·3t＝t2；
當10＜t≤20時，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
當20＜t≤35時，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
綜上可知s＝
(3)當t∈[0,10]時，smax＝×102
8、＝150＜650.
當t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450＜650.
當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40,20＜t≤35，故t＝30，
所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城.
8．已知函數(shù)f(x)＝－，常數(shù)a＞0.
(1)設m·n＞0，證明：函數(shù)f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增；
(2)設0＜m＜n且f(x)的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍．
(1)證明 任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，則
f(x1)－f(x2)＝·.
因為x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增．
(2)解 因為f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增，
f(x)的定義域、值域都是[m，n]?f(m)＝m，f(n)＝n，
即m，n是方程－＝x的兩個不等的正根
?a2x2－(2a2＋a)x＋1＝0有兩個不等的正根．
所以Δ＝(2a2＋a)2－4a2＞0，＞0?a＞.
即常數(shù)a的取值范圍是.
新編高考數(shù)學理一輪資源庫第二章 第1講 函數(shù)及其表示
