第二講 基本不等式 （學(xué)生用書）

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1、 第二講 基本不等式 （學(xué)生用書） 一、選擇題 1．已知，2x＋y＝2.，則9x＋3y的最小值為 ( ) A．2 B．4 C．12 D．6 2．(2011·重慶高考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是 ( ) A. B．4 C. D．5 3．函數(shù)y＝log2x＋logx(2x)的值域是 ( ) A．(－∞，－1] B．[3，＋∞) C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞

2、) 4．(2012·溫州模擬)已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，則的 ( ) A．最小值為8 B．最大值為8 C．最小值為 D．最大值為 5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( ) A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－20，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，則實數(shù)k的最小值等于 ( ) A．0 B．4 C．－4 D．－2 二、填空題 7．(2011·

3、湖南高考)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋)(＋4y2)·的最小值為________． 8．(2011·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)?(x)＝的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是____． 9．(2012·徐州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域為[0，＋∞)， 則＋的最小值為________． 三、解答題 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 11．已知a，b>0，求證：＋≥. 12．某國際

4、化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間實行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完． (1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)． (2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時， 企業(yè)的年利潤最大？ (注：利潤＝銷售收入－生產(chǎn)

5、成本－促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用＋生產(chǎn)費用) 第二講 基本不等式（教師用書） 一、選擇題 1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為 ( ) A．2 B．4 C．12 D．6 解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0. ∴2x＋y＝2. 則9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6. 當(dāng)且僅當(dāng)32x＝3y即x＝，y＝1時取得等號．答案：D 2．(2011·重慶高考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是 ( ) A.

6、 B．4 C. D．5 解析：依題意得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝，b＝時取等號，即＋的最小值是. 答案：C 3．函數(shù)y＝log2x＋logx(2x)的值域是 (　　) A．(－∞，－1] B．[3，＋∞) C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)． 如果x>1，則log2x＋logx2≥2， 如果0

7、為(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D 4．(2012·溫州模擬)已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，則的 (　　) A．最小值為8 B．最大值為8 C．最小值為 D．最大值為 解析：＝＝＝≤. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，x＝2z時取等號． 答案：D 5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－20，y>0，且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)

8、且僅當(dāng)＝，即4y2＝x2， x＝2y時取等號，又＋＝1，此時x＝4，y＝2， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－40，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，則實數(shù)k的最小值等于 (　　) A．0 B．4 C．－4 D．－2 解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b時取等號)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實數(shù)k的最小值等于－4. 答案：C 二、填空題 7．(2011·湖南高考)設(shè)x，y∈R，且xy

9、≠0，則(x2＋)(＋4y2)·的最小值為________． 解析：(x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2＝時等號成立，則|xy|＝時等號成立．答案：9 8．(2011·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)?(x)＝的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是____． 解析：由題意知：P、Q兩點關(guān)于原點O對稱，不妨設(shè)P(m，n)為第一象限中的點，則m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋)≥16(當(dāng)且僅當(dāng)m2＝，即m＝時，取等號)，故線段PQ長的最小值是4.答案：4 9．(20

10、12·徐州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域為[0，＋∞)， 則＋的最小值為________． 解析：由值域可知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且函數(shù)的最小值為0， 因此有＝0，從而c＝>0，∴＋＝(＋8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10， 當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝時取等號．故所求的最小值為10. 答案：10 三、解答題 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0， ∴xy＝2x＋8y≥2 即xy≥8，∴≥8， 即xy≥64. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y 即x＝16，y＝4時，“＝

11、”成立． ∴xy的最小值為64. (2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， ∴2x＋8y＝xy，即＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝12時“＝”成立． ∴x＋y的最小值為18. 11．已知a，b>0，求證：＋≥. 證明：∵＋≥2 ＝2>0，a＋b≥2>0， ∴(＋)(a＋b)≥2·2＝4. ∴＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng)，取等號． 即a＝b時，不等式等號成立． 12．某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬

12、元之間滿足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完． (1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)． (2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時， 企業(yè)的年利潤最大？ (注：利潤＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用＋生產(chǎn)費用) 解：(1)由題意可設(shè)3－x＝，將t＝0，x＝1代入，得k＝2. ∴x＝3－. 當(dāng)年生產(chǎn)x萬件時， ∵年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費用＋固定費用， ∴年生產(chǎn)成本為32x＋3＝32(3－)＋3. 當(dāng)銷售x(萬件)時，年銷售收入為 150%[32(3－)＋3]＋t. 由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完，由年利潤＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費，得年利潤y＝(t≥0)． (2)y＝＝50－(＋)≤50－ 2＝50－2＝42(萬元)， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝7時，ymax＝42， ∴當(dāng)促銷費定在7萬元時，年利潤最大