新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第3部分 專題一 第1講 送分題準(zhǔn)確解一分不丟

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1、 高考試卷雖然是選拔性的試卷，但是試卷中仍然有相當(dāng)部分的送分題．所謂送分題是指知識點基礎(chǔ)，數(shù)據(jù)計算量小，解題方法基本的試題．這部分試題往往因為簡單，導(dǎo)致許多考生思想重視不夠，從而失分，特別是一些數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的考生更是如此．筆者以多年送考的經(jīng)驗告訴大家，只要處理好以下幾個方面的問題，即可達(dá)到“送分題，一分不丟”的效果，使考生能在高考考場上取得開門紅，增強考試的信心． 問題一 使用概念要明確 [例1]　(20xx·大連模擬)若復(fù)數(shù)z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i為純虛數(shù)，則a的值是(　　) A．－3　　　　　　　　

2、 　B．－3或1 C．3或－1 D．1 [嘗試解答] [錯因]　本題易混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，忽視虛部不為零的限制條件

3、． [正解]　因為復(fù)數(shù)z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i為純虛數(shù)，所以解得a＝1. [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題時，一定要過好審題關(guān)，仔細(xì)辨析試題中的待求問題；在準(zhǔn)確用好概念的前提下對試題進(jìn)行解答，這樣才能避免應(yīng)用概念出錯．如本題，若能搞清復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概念，只需令復(fù)數(shù)z的實部為零，虛部不為零，從而把求參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題，即可避開概念的陷阱． [例2]　已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)·(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________． [嘗試解答]

4、 [錯因]　本題的易錯點是對充要條件的概念把握不清，判斷錯誤，并且不會將充要條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化． [正解]　∵p：－2≤x－3≤2,1≤x≤5. ∴綈p：x<1或x>5. 易

5、得q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：xm＋1. 又∵綈p是綈q的充分不必要條件， ∴∴2≤m≤4. [答案]　[2,4] [反思領(lǐng)悟]　對充要條件的判定需注意：(1)要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明． (2)要注意轉(zhuǎn)化：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的必要不充分條件．同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件；如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件. 問題二 作圖用圖要準(zhǔn)確 [例3]　函數(shù)f(x)＝的圖像和函數(shù)g(x)＝log2 x的圖像的交點個數(shù)是(　　)

6、 A．4 B．3 C．2 D．1 [嘗試解答]

7、 [錯因]　不能準(zhǔn)確作出兩函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的圖像以及兩函數(shù)圖像的相對位置關(guān)系，只是想當(dāng)然、沒有依據(jù)地亂作圖像，很容易導(dǎo)致錯誤． [正解]　分別在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的圖像．如圖所示，觀察易知兩函數(shù)圖像有且僅有3個交點． [答案]　B [反思領(lǐng)悟]　在判斷函數(shù)圖像交點的個數(shù)或利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù)時，一定要注意函數(shù)圖像的相對位置關(guān)系，可以取特殊值驗證一下，如取x＝時，4x－4

8、定兩函數(shù)圖像的相對位置關(guān)系． [例4]　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有兩個零點，其中一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－2,1] D．(－2,1) [嘗試解答]

9、

10、 [錯因]　不能根據(jù)函數(shù)解析式的特點以及零點所在區(qū)間確定a，b所滿足的條件，導(dǎo)致找不到解決問題的突破口，或者忽視a>0的限制條件，導(dǎo)致錯解． [正解]　因為a>0，所以二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，又因為f(0)＝－1，所以要使函數(shù)f(x)的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有即如圖所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子表示平面區(qū)域內(nèi)的點P(a，b)與點Q(－1,0)連線的斜率．而直線QA的斜率k＝＝1，直線4a＋2b－1＝0的斜率為－2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為(－2,1)． [答案]　D

11、 [反思領(lǐng)悟]　本題是一個函數(shù)的零點取值范圍與線性規(guī)劃的綜合問題，先結(jié)合函數(shù)圖像確定函數(shù)在指定區(qū)間存在零點的條件，再確定不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點與定點連線的斜率，根據(jù)圖形判斷其取值范圍．在作圖時要注意不等式組中各個不等式是否帶有等號，否則很容易忽視邊界值而導(dǎo)致錯解. 問題三 思考問題要嚴(yán)謹(jǐn) [例5]　(20xx·福州模擬)已知數(shù)列{an}中an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] [嘗試解答]

12、

13、 [錯因]　認(rèn)為an是關(guān)于n的二次函數(shù)，定義域為整數(shù)集，又{an}遞增，則必有≤1，即k≤2，思

14、維不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致解題錯誤． [正解]　an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{an}單調(diào)遞增，故應(yīng)有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分離變量得k<2n＋1，故只需k<3即可． [答案]　B [反思領(lǐng)悟]　函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別，即數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)若單調(diào)則數(shù)列一定單調(diào)，反之若數(shù)列單調(diào)，其所在函數(shù)不一定單調(diào)，關(guān)鍵原因在于數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)．故對于數(shù)列的單調(diào)性的判斷一般要通過比較an＋1與an的大小來判斷：若an＋1>an，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若an＋1

15、減數(shù)列． [例6]　如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，則x＝________，y＝________. [嘗試解答]

16、

17、 [錯因]　本題想利用向量的基本運算，但由于計算費時，時間緊迫，所以思路出現(xiàn)阻礙，致使問題無法求解或求解失誤． [正解]　以A為原點，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，且取單位長度為AB，則問題轉(zhuǎn)化為求D點坐標(biāo)(x，y)．易知BC＝，所以DE＝，所以BD＝DEsin 60°＝.易知直線BD的傾斜角是45°，所以D點縱坐標(biāo)y＝BD·sin 45°＝，D點的橫坐標(biāo)x＝1＋BDcos 45°＝1＋，所以D點坐標(biāo)為. [答案]　1＋　 [反思領(lǐng)悟]　在試題中不含有向量的坐標(biāo)時，要善于根據(jù)問題的實際情況，在不改變

18、問題本質(zhì)的情況下建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把向量問題代數(shù)化，可以降低問題的難度. 問題四 特殊情況要謹(jǐn)記 [例7]　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，且l1∥l2，則a的值為(　　) A．0 B．－ C．6 D．0或－ [嘗試解答]

19、

20、 [錯因]　本題易出現(xiàn)忽略直線斜率不存在的特殊情況致誤． [正解]　法一：當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當(dāng)直線斜率存在時， l1∥l2?－＝且≠－?a＝－. 故使l1∥l2的a的值為－或0. 法二：l1∥l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0， 得a＝0或a＝－. 故使l1∥l2的a的值為0或－

21、. [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　在給定直線的一般方程，利用直線的位置關(guān)系，求參數(shù)的值時，一定要注意直線斜率存在性的討論，不能想當(dāng)然地以斜率存在進(jìn)行求解，致使答案錯誤．為避免討論，此類題可采用法二解決． [例8]　(20xx·鄭州模擬)過點(0,3)作直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點，則直線l的條數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [嘗試解答]

22、

23、 [錯因]　本題易只考慮斜率k存在的情況，而忽視斜率k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸時的兩種情形． [正解]　當(dāng)斜率k存在且k≠0時，由題中條件知，直線l的方程為y＝x＋3； 當(dāng)k＝0時，直線l的方程為y＝3，此時l平行于對稱軸，且與拋物線只有一個交點； 當(dāng)k不存在時，直

24、線l與拋物線也只有一個公共點，此時l的方程為x＝0. 綜上，過點(0,3)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點的直線l的方程為y＝x＋3，y＝3，x＝0，共3條． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　解答直線與拋物線位置關(guān)系的相關(guān)問題時，注意直線與拋物線的兩種特殊的位置關(guān)系：直線和拋物線的對稱軸垂直與直線和拋物線的對稱軸平行． [例9]　數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前2n項的和S2n＝________. [嘗試解答]

25、

26、 [錯因]　對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q＝1的特殊情況，造成概念性錯誤．再者沒有從定義出發(fā)研究條件中的數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，得不到數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列，從而找不到解題的突破口，使思維受阻． [正解]　由數(shù)列{an·an＋1}是公比為q的等比數(shù)列，得＝q?＝q，這表明

27、數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1＝1，a2＝2， 所以，當(dāng)q≠1時，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝＋＝； 當(dāng)q＝1時，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2) ＝3n. [答案]　 [反思領(lǐng)悟]　(1)本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中＝q是解題的關(guān)鍵； (2)不要認(rèn)為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，

28、且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進(jìn)行觀察、比較就能得出正確結(jié)論； (3)對等比數(shù)列的求和一定要注意公比為1這種特殊情況，高考往往就是在此設(shè)計陷阱，使考生考慮的問題不全面而導(dǎo)致解題錯誤. 問題五 問題分類要全面 [例10]　已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項和S3的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [嘗試解答]

29、

30、 [錯因]　本題易忽視對公比大于0和小于0的討論． [正解]　因為等比數(shù)列{an}中a2＝1， 所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋. 所以當(dāng)公比q>0時， S3＝1＋q＋≥1＋2＝3(當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時，等號成立)； 當(dāng)公比q<0時， S3＝1－≤1－2＝－1(當(dāng)且僅當(dāng)q＝－1時，等號成立)． 所以S3∈(－∞，－1]∪[

31、3，＋∞)． [答案]　D [反思領(lǐng)悟]　在利用基本不等式解決函數(shù)的值域問題時，要注意其使用條件和等號成立的條件，即所謂“一正、二定、三相等”．例如，求函數(shù)y＝x＋的值域和＋的取值范圍問題時，要注意分類討論． [例11]　(20xx·濱州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝3時，求f(x)的極值； (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． [嘗試解答]

32、

33、 [錯因]　本題的易錯點是在討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性時，因缺乏分類討論意識，導(dǎo)致解題錯誤；或者有分類討論意識，但分類標(biāo)準(zhǔn)模糊導(dǎo)致分類不全致誤． [正解]　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)． 當(dāng)a＝3時，f′(x)＝1＋－＝＝，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2. f′(x)與f(x)隨x的變化如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

34、f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝－1； 在x＝2處取得極小值，f(2)＝1－3ln 2. (2)f′(x)＝1＋－＝. 令g(x)＝x2－ax＋2，其判別式Δ＝a2－8， ①當(dāng)|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a<－2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ③當(dāng)a>2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝，且都大于0， f′(x)與f(x)隨x的變化如下表： x (0，x1) x1

35、 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 故f(x)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 綜上，當(dāng)a≤2時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時，f(x)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． [反思領(lǐng)悟]　判斷含參數(shù)的單調(diào)性問題應(yīng)注意：先樹立分類討論的思想意識，做題時應(yīng)先對問題作深入的研究，明確其分類的標(biāo)準(zhǔn)，如本題中要討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，應(yīng)討論f′(x)的符號，即討論x2－ax＋2的符號，從而應(yīng)分Δ≤0與Δ>0兩種情況討論；由于考慮到函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，應(yīng)討論f′(x)＝

36、0的兩根與定義域的關(guān)系，故再次分a<－2和a>2兩種情況．一般地，與y＝ax2＋bx＋c有關(guān)的討論有三種依據(jù)：a取值，Δ取值，根的大小. 問題六 等價轉(zhuǎn)化要嚴(yán)謹(jǐn) [例12]　曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點，則實數(shù)b的取值范圍為________． [嘗試解答]

37、 [錯因]　本題易直接聯(lián)立y＝與y＝x＋b，整理為2x2＋2bx＋b2－1＝0，然后錯誤地認(rèn)為曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點等價于方程2x2＋2bx＋b2－1＝0無解，從而導(dǎo)致解題錯誤． [正解]　如圖，根據(jù)圖像可知：當(dāng)b>或b<－1時，方程組無解，即曲線y＝與直線

38、y＝x＋b沒有交點．故b的取值范圍為(－∞，－1)∪(，＋∞)． [答案]　(－∞，－1)∪(，＋∞) [反思領(lǐng)悟]　在研究直線與圓或直線與圓錐曲線的公共點的個數(shù)時，通常聯(lián)立與曲線的方程，通過方程組解的個數(shù)來判斷．但是在解決此類問題時，一定要注意圓或圓錐曲線是否為完整的圓或圓錐曲線，否則應(yīng)畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合法解決，如本例中曲線y＝表示的圖形為半圓而不是整個圓，故應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合的方法求解． [例13]　若sin x＋sin y＝，則sin y－cos2x的最大值為________． [嘗試解答]

39、

40、 [錯因]　本題易將sin y－cos2x轉(zhuǎn)化為－cos2x＝sin2x－sin x－，誤認(rèn)為sin x∈[－1，1]，致使問題轉(zhuǎn)化不等價而導(dǎo)致解題錯誤． [正解]　由已知條件有sin y＝－sin x， 且sin y＝∈[－1,1]，結(jié)合sin x∈[－1,1]，得－≤sin x≤1， 而sin y－c

41、os2x＝－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－， 令t＝sin x， 則原式＝t2－t－＝2－， 因為對稱軸為t＝， 故當(dāng)t＝－，即sin x＝－時，原式取得最大值. [答案]　 [反思領(lǐng)悟]　在利用換元法解決問題時，要注意換元后自變量取值范圍的變化，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)多個變元時，要注意變元之間的相互約束條件，如本例中易忽視等式sin x＋sin y＝中兩個變量的相互制約，即由于－1≤sin y≤1，所以sin x必需滿足－1≤－sin x≤1這個隱含的約束條件. 問題七 推理論證要嚴(yán)謹(jǐn) [例14]　(20xx·南京師大附中模擬)如圖，正方形ABCD和三角

42、形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF. (1)求證：BF∥平面ACE； (2)求證：BF⊥BD. [嘗試解答]

43、 [錯因]　本題易失分的原因有以下兩點： (1)推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)，在使用線面位置關(guān)系的判定定

44、理、性質(zhì)定理時忽視定理的使用條件，如證明BF∥平面ACE時，易忽視指明BF?平面ACE； (2)線面位置關(guān)系的證明思路出錯，缺乏轉(zhuǎn)化意識，不知道要證明線線垂直可以通過線面垂直達(dá)到目的． [正解]　(1)設(shè)AC與BD交于O點，連接EO. 在正方形ABCD中，BO＝AB，又因為AB＝EF， ∴BO＝EF. 又∵EF∥BD， ∴四邊形EFBO是平行四邊形，∴BF∥EO， 又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE， ∴BF∥平面ACE. (2)在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，

45、 ∴BD⊥平面ACE. ∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO. ∵EO∥BF，∴BF⊥BD. [反思領(lǐng)悟]　證明空間線面位置關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，如本題第(2)問是證明線線垂直，但分析問題時不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個平面上(或是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個平面上)，通過證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的．解決這類問題時要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時要找足條件，書寫規(guī)范等． [例15]　已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函數(shù)y＝ax(a>

46、1)的圖像上任意不同兩點，依據(jù)圖像，可知線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論>a成立．運用類比思想，可知若點C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖像上的不同兩點，則類似地有____________成立． [嘗試解答]

47、 [錯因]　本題通過類比推理，易得“>sin”的錯誤結(jié)論，其錯誤的原因是類比推理不嚴(yán)謹(jǐn)，未真正讀懂題意，未能把握兩曲線之間相似的性質(zhì)，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論． [正解]　運用類比推理與數(shù)形結(jié)合，可知y＝sin x(x∈(0，π))的圖像是上凸，因此線段CD的中點

48、的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))圖像上的點的縱坐標(biāo)，即

49、

50、 [錯因]　在用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)了丟解的錯誤． [

51、正解]　(1)由正弦定理＝，得sin A＝＝，又a0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________． [嘗試解答]

52、

53、 [錯因]　本題容易因忽視特殊情況而出錯．因為當(dāng)點P在右頂點處，∠F1PF2＝π，所以0<∠F1PF2≤π.如果忽視特殊情況，就會出現(xiàn)0<∠F1PF2<π的錯誤． [正解]　如圖所示，設(shè)|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，當(dāng)點P在右頂點處時，θ＝π. 由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝ ＝ ＝. 又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]． [答案]　(1,3] [反思領(lǐng)悟]　本題在求解中稍不注意，就會出現(xiàn)漏掉特殊情況的錯誤．在平時的訓(xùn)練中應(yīng)該加強對解題的監(jiān)控，注意多研究問題的各種情況，以形成全面思考，周密答題的良好習(xí)慣．這對考生來說，是非常重要的．