15、減數(shù)列．
[例6] 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，則x＝________，y＝________.
[嘗試解答]
16、
17、
[錯(cuò)因] 本題想利用向量的基本運(yùn)算，但由于計(jì)算費(fèi)時(shí)，時(shí)間緊迫，所以思路出現(xiàn)阻礙，致使問題無法求解或求解失誤．
[正解] 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，且取單位長度為AB，則問題轉(zhuǎn)化為求D點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)．易知BC＝，所以DE＝，所以BD＝DEsin 60°＝.易知直線BD的傾斜角是45°，所以D點(diǎn)縱坐標(biāo)y＝BD·sin 45°＝，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝1＋BDcos 45°＝1＋，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.
[答案] 1＋
[反思領(lǐng)悟] 在試題中不含有向量的坐標(biāo)時(shí)，要善于根據(jù)問題的實(shí)際情況，在不改變
18、問題本質(zhì)的情況下建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把向量問題代數(shù)化，可以降低問題的難度.
問題四
特殊情況要謹(jǐn)記
[例7] 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，且l1∥l2，則a的值為( )
A．0 B．－
C．6 D．0或－
[嘗試解答]
19、
20、
[錯(cuò)因] 本題易出現(xiàn)忽略直線斜率不存在的特殊情況致誤．
[正解] 法一：當(dāng)直線斜率不存在，即a＝0時(shí)，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，
l1∥l2?－＝且≠－?a＝－.
故使l1∥l2的a的值為－或0.
法二：l1∥l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，
得a＝0或a＝－.
故使l1∥l2的a的值為0或－
21、.
[答案] D
[反思領(lǐng)悟] 在給定直線的一般方程，利用直線的位置關(guān)系，求參數(shù)的值時(shí)，一定要注意直線斜率存在性的討論，不能想當(dāng)然地以斜率存在進(jìn)行求解，致使答案錯(cuò)誤．為避免討論，此類題可采用法二解決．
[例8] (20xx·鄭州模擬)過點(diǎn)(0,3)作直線l與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的條數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[嘗試解答]
22、
23、
[錯(cuò)因] 本題易只考慮斜率k存在的情況，而忽視斜率k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸時(shí)的兩種情形．
[正解] 當(dāng)斜率k存在且k≠0時(shí)，由題中條件知，直線l的方程為y＝x＋3；
當(dāng)k＝0時(shí)，直線l的方程為y＝3，此時(shí)l平行于對稱軸，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k不存在時(shí)，直
24、線l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)l的方程為x＝0.
綜上，過點(diǎn)(0,3)且與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為y＝x＋3，y＝3，x＝0，共3條．
[答案] D
[反思領(lǐng)悟] 解答直線與拋物線位置關(guān)系的相關(guān)問題時(shí)，注意直線與拋物線的兩種特殊的位置關(guān)系：直線和拋物線的對稱軸垂直與直線和拋物線的對稱軸平行．
[例9] 數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)的和S2n＝________.
[嘗試解答]
25、
26、
[錯(cuò)因] 對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q＝1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤．再者沒有從定義出發(fā)研究條件中的數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，得不到數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，從而找不到解題的突破口，使思維受阻．
[正解] 由數(shù)列{an·an＋1}是公比為q的等比數(shù)列，得＝q?＝q，這表明
27、數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q，又a1＝1，a2＝2，
所以，當(dāng)q≠1時(shí)，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝＋＝；
當(dāng)q＝1時(shí)，S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)
＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2)
＝3n.
[答案]
[反思領(lǐng)悟] (1)本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中＝q是解題的關(guān)鍵；
(2)不要認(rèn)為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，
28、且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察、比較就能得出正確結(jié)論；
(3)對等比數(shù)列的求和一定要注意公比為1這種特殊情況，高考往往就是在此設(shè)計(jì)陷阱，使考生考慮的問題不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
問題五
問題分類要全面
[例10] 已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項(xiàng)和S3的取值范圍是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
[嘗試解答]
29、
30、
[錯(cuò)因] 本題易忽視對公比大于0和小于0的討論．
[正解] 因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中a2＝1，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.
所以當(dāng)公比q>0時(shí)，
S3＝1＋q＋≥1＋2＝3(當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時(shí)，等號成立)；
當(dāng)公比q<0時(shí)，
S3＝1－≤1－2＝－1(當(dāng)且僅當(dāng)q＝－1時(shí)，等號成立)．
所以S3∈(－∞，－1]∪[
31、3，＋∞)．
[答案] D
[反思領(lǐng)悟] 在利用基本不等式解決函數(shù)的值域問題時(shí)，要注意其使用條件和等號成立的條件，即所謂“一正、二定、三相等”．例如，求函數(shù)y＝x＋的值域和＋的取值范圍問題時(shí)，要注意分類討論．
[例11] (20xx·濱州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求f(x)的極值；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
[嘗試解答]
32、
33、
[錯(cuò)因] 本題的易錯(cuò)點(diǎn)是在討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性時(shí)，因缺乏分類討論意識，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；或者有分類討論意識，但分類標(biāo)準(zhǔn)模糊導(dǎo)致分類不全致誤．
[正解] (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝1＋－＝＝，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2.
f′(x)與f(x)隨x的變化如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
34、f(x)
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
所以f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝－1；
在x＝2處取得極小值，f(2)＝1－3ln 2.
(2)f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋2，其判別式Δ＝a2－8，
①當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a<－2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a>2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝，且都大于0，
f′(x)與f(x)隨x的變化如下表：
x
(0，x1)
x1
35、
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
故f(x)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
[反思領(lǐng)悟] 判斷含參數(shù)的單調(diào)性問題應(yīng)注意：先樹立分類討論的思想意識，做題時(shí)應(yīng)先對問題作深入的研究，明確其分類的標(biāo)準(zhǔn)，如本題中要討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，應(yīng)討論f′(x)的符號，即討論x2－ax＋2的符號，從而應(yīng)分Δ≤0與Δ>0兩種情況討論；由于考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，應(yīng)討論f′(x)＝
36、0的兩根與定義域的關(guān)系，故再次分a<－2和a>2兩種情況．一般地，與y＝ax2＋bx＋c有關(guān)的討論有三種依據(jù)：a取值，Δ取值，根的大小.
問題六
等價(jià)轉(zhuǎn)化要嚴(yán)謹(jǐn)
[例12] 曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為________．
[嘗試解答]
37、
[錯(cuò)因] 本題易直接聯(lián)立y＝與y＝x＋b，整理為2x2＋2bx＋b2－1＝0，然后錯(cuò)誤地認(rèn)為曲線y＝與直線y＝x＋b沒有公共點(diǎn)等價(jià)于方程2x2＋2bx＋b2－1＝0無解，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．
[正解] 如圖，根據(jù)圖像可知：當(dāng)b>或b<－1時(shí)，方程組無解，即曲線y＝與直線
38、y＝x＋b沒有交點(diǎn)．故b的取值范圍為(－∞，－1)∪(，＋∞)．
[答案] (－∞，－1)∪(，＋∞)
[反思領(lǐng)悟] 在研究直線與圓或直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，通常聯(lián)立與曲線的方程，通過方程組解的個(gè)數(shù)來判斷．但是在解決此類問題時(shí)，一定要注意圓或圓錐曲線是否為完整的圓或圓錐曲線，否則應(yīng)畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合法解決，如本例中曲線y＝表示的圖形為半圓而不是整個(gè)圓，故應(yīng)采用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
[例13] 若sin x＋sin y＝，則sin y－cos2x的最大值為________．
[嘗試解答]
39、
40、
[錯(cuò)因] 本題易將sin y－cos2x轉(zhuǎn)化為－cos2x＝sin2x－sin x－，誤認(rèn)為sin x∈[－1，1]，致使問題轉(zhuǎn)化不等價(jià)而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．
[正解] 由已知條件有sin y＝－sin x，
且sin y＝∈[－1,1]，結(jié)合sin x∈[－1,1]，得－≤sin x≤1，
而sin y－c
41、os2x＝－sin x－cos2x＝sin2x－sin x－，
令t＝sin x，
則原式＝t2－t－＝2－，
因?yàn)閷ΨQ軸為t＝，
故當(dāng)t＝－，即sin x＝－時(shí)，原式取得最大值.
[答案]
[反思領(lǐng)悟] 在利用換元法解決問題時(shí)，要注意換元后自變量取值范圍的變化，當(dāng)題目條件中出現(xiàn)多個(gè)變元時(shí)，要注意變元之間的相互約束條件，如本例中易忽視等式sin x＋sin y＝中兩個(gè)變量的相互制約，即由于－1≤sin y≤1，所以sin x必需滿足－1≤－sin x≤1這個(gè)隱含的約束條件.
問題七
推理論證要嚴(yán)謹(jǐn)
[例14] (20xx·南京師大附中模擬)如圖，正方形ABCD和三角
42、形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.
(1)求證：BF∥平面ACE；
(2)求證：BF⊥BD.
[嘗試解答]
43、
[錯(cuò)因] 本題易失分的原因有以下兩點(diǎn)：
(1)推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)，在使用線面位置關(guān)系的判定定
44、理、性質(zhì)定理時(shí)忽視定理的使用條件，如證明BF∥平面ACE時(shí)，易忽視指明BF?平面ACE；
(2)線面位置關(guān)系的證明思路出錯(cuò)，缺乏轉(zhuǎn)化意識，不知道要證明線線垂直可以通過線面垂直達(dá)到目的．
[正解] (1)設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接EO.
在正方形ABCD中，BO＝AB，又因?yàn)锳B＝EF，
∴BO＝EF.
又∵EF∥BD，
∴四邊形EFBO是平行四邊形，∴BF∥EO，
又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE.
(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
45、
∴BD⊥平面ACE.
∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO.
∵EO∥BF，∴BF⊥BD.
[反思領(lǐng)悟] 證明空間線面位置關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，如本題第(2)問是證明線線垂直，但分析問題時(shí)不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上(或是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上)，通過證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的．解決這類問題時(shí)要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要找足條件，書寫規(guī)范等．
[例15] 已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函數(shù)y＝ax(a>
46、1)的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像，可知線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論>a成立．運(yùn)用類比思想，可知若點(diǎn)C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖像上的不同兩點(diǎn)，則類似地有____________成立．
[嘗試解答]
47、
[錯(cuò)因] 本題通過類比推理，易得“>sin”的錯(cuò)誤結(jié)論，其錯(cuò)誤的原因是類比推理不嚴(yán)謹(jǐn)，未真正讀懂題意，未能把握兩曲線之間相似的性質(zhì)，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．
[正解] 運(yùn)用類比推理與數(shù)形結(jié)合，可知y＝sin x(x∈(0，π))的圖像是上凸，因此線段CD的中點(diǎn)
48、的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即
49、
50、
[錯(cuò)因] 在用正弦定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)丟解或多解的錯(cuò)誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中又因?yàn)闆]有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)了丟解的錯(cuò)誤．
[
51、正解] (1)由正弦定理＝，得sin A＝＝，又a0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________．
[嘗試解答]
52、
53、
[錯(cuò)因] 本題容易因忽視特殊情況而出錯(cuò)．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處，∠F1PF2＝π，所以0<∠F1PF2≤π.如果忽視特殊情況，就會出現(xiàn)0<∠F1PF2<π的錯(cuò)誤．
[正解] 如圖所示，設(shè)|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時(shí)，θ＝π.
由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ，且||PF1|－|PF2||＝m＝2a.
所以e＝
＝
＝.
又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]．
[答案] (1,3]
[反思領(lǐng)悟] 本題在求解中稍不注意，就會出現(xiàn)漏掉特殊情況的錯(cuò)誤．在平時(shí)的訓(xùn)練中應(yīng)該加強(qiáng)對解題的監(jiān)控，注意多研究問題的各種情況，以形成全面思考，周密答題的良好習(xí)慣．這對考生來說，是非常重要的．
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