電磁場(chǎng)與電磁波(第4版)教學(xué)指導(dǎo)書 第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解

《電磁場(chǎng)與電磁波(第4版)教學(xué)指導(dǎo)書 第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《電磁場(chǎng)與電磁波(第4版)教學(xué)指導(dǎo)書 第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解（35頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 3.1 基本內(nèi)容概述 靜態(tài)電磁場(chǎng)包括靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)。本章分別討論了它們的基本方程和邊界條件，位函數(shù)，能量和力，電容、電阻和電感，最后介紹靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的幾種解法（鏡像法、分離變量法和有限差分法）。 3.1.1靜電場(chǎng) 1.基本方程和邊界條件 基本方程的微分形式 基本方程的積分形式 邊界條件 或 （3.5） 或 （3.6） 2.電位函數(shù) （1）電位函數(shù)及其微分方程 根據(jù)電場(chǎng)的無旋性（），引入電位函數(shù)，使

2、 （3.7） 電位函數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度E的積分關(guān)系是 （3.8） 在均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中，已知電荷分布求解位函數(shù) 點(diǎn)電荷 （3.9） 體密度分布電荷 （3.10） 面密度分布電荷 （3.11） 線密度分布電荷 （3.12） 在均勻、線性和各向同性電介質(zhì)中，電位函數(shù)滿足泊松方程

3、 （3.13） 或拉普拉斯方程（時(shí)） （3.14） （2）電位的邊界條件 （3.15a） （3.15b） 3. 電場(chǎng)能量和電場(chǎng)力 （1）能量及能量密度 分布電荷的電場(chǎng)能量 （3.16） 多導(dǎo)體系統(tǒng)電場(chǎng)能量 （3.17） 能量密度為

4、 （3.18） （2）電場(chǎng)力 用虛位移法求電場(chǎng)力 （3.19a） （3.19b） 4.電容及部分電容 在線性和各向同性電介質(zhì)中，兩導(dǎo)體間的電容為 多導(dǎo)體系統(tǒng)，每個(gè)導(dǎo)體的電位不僅與本身所帶的帶有關(guān)，還與其它導(dǎo)體所帶電荷有關(guān)。為表征這種關(guān)聯(lián)性，引入部分電容的概念，分為自有部分電容和互有部分電容。 3.1.2 恒定電場(chǎng) 1.基本方程和邊界條件 基本方程的微分形式 基本方程的積分形式 邊界條件： 或

5、 （3.22a） 或 （3.22b） 用電位表示為 （3.23a） （3.23b） 2.靜電比擬法 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場(chǎng)（電源外部區(qū)域）與均勻電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)（的區(qū)域）可以相互比擬。根據(jù)這種可比擬性，可以利用已經(jīng)得到的靜電場(chǎng)的解來比擬地得到對(duì)應(yīng)的恒定電場(chǎng)的解。 3.電導(dǎo) 導(dǎo)電媒質(zhì)中兩電極間的電導(dǎo)為 3.1.3 恒定磁場(chǎng) 1.基本方程和邊界條件 基本方程 微分

6、形式 積分形式 邊界條件 或 （3.26a） 或 （3.26b） 2.矢量磁位 （1）矢量磁位及其微分方程 根據(jù)恒定磁場(chǎng)的無源性（），引入矢量磁位A，使得 （3.27） 在均勻、線性和各向同性磁介質(zhì)中，已知電流求解矢量磁位 體分布電流 （3.28） 面分布電流 （3.29） 線電流

7、 （3.30） 在均勻、線性和各向同性磁介質(zhì)中，矢量磁位滿足泊松方程 （3.31） 或拉普拉斯方程（時(shí)） （3.32） （2）矢量磁位的邊界條件 （3.33a） （3.33b） 3.標(biāo)量磁位 在沒有傳導(dǎo)電流的區(qū)域（）由于，可引入標(biāo)量磁位，使得 （3.3

8、4） 在均勻、線性和各向同性磁介質(zhì)中，標(biāo)量磁位滿足拉普拉斯方程 （3.35） 在兩種磁介質(zhì)的分界面上，標(biāo)量磁位的邊界條件是 （3.36a） （3.36b） 4.磁場(chǎng)能量和磁場(chǎng)力 （1）能量和能量密度 多個(gè)電流回路的能量 （3.37） 分布電流的能量 （3.38） 能量密度

9、 （3.39） （2）磁場(chǎng)力 用虛位移法求磁場(chǎng)力 （3.40a） （3.40b） 5.電感 回路的自感 （3.41） 回路的互感 ， （3.42） 紐曼公式 （3.43） 3.1.4 邊值問題及其解的惟一性 1.邊

10、值問題的類型 第一類邊值問題：已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界上的值。 第二類邊值問題：已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界上的法向?qū)?shù)。 第三類邊值問題：已知在部分場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)值和另一部分場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)法向?qū)?shù)。 2 .惟一性定理 在場(chǎng)域V的邊界面S上給定位函數(shù)或的值，則位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯 方程在場(chǎng)域V內(nèi)有惟一解。 3.1.5 鏡像法 1.點(diǎn)電荷（或線電荷）對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像法 ， （3.44） 2.點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像法 （1）導(dǎo)體球接地 （3.45） （

11、2）導(dǎo)體球不接地 （3.46） 3.線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像法 （3.47） 4.介質(zhì)分界平面的鏡像法 （1）點(diǎn)電荷對(duì)電介質(zhì)分界平面的鏡像 （場(chǎng)點(diǎn)在介質(zhì)1內(nèi)） （3.48a） （場(chǎng)點(diǎn)在介質(zhì)2內(nèi)） （3.48b） （2）線電流對(duì)磁介質(zhì)分界平面的鏡像 （3.49a） （3.49b） 3.1.6 分離變量法 1.直角坐標(biāo)系中

12、的分離變量法 位函數(shù)滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3.50a） 或 （3.50b） 2.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 位函數(shù)滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3.51） 3.球面坐標(biāo)系中的分離變量法 位函數(shù)滿足拉普拉斯方程 方程的通解 （3.52） 3.1.7 有限差分法 有限差分法的基本思想是將場(chǎng)域劃分成網(wǎng)格，把求解場(chǎng)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布，用求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上離散的數(shù)值解來代替，即用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的差分方程近似替代場(chǎng)域內(nèi)的偏微分方程來求解。 采用正方形網(wǎng)格劃分時(shí)，二維拉普拉斯方程的差分格式為

13、 （3.53） 3.2 教學(xué)基本要求及重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 3.2.1 教學(xué)基本要求 掌握靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件，掌握靜電場(chǎng)中的電位函數(shù)及其微分方程，掌握電位的邊界條件；理解電場(chǎng)能量和能量密度的概念，會(huì)計(jì)算一些典型場(chǎng)的能量，會(huì)計(jì)算典型雙導(dǎo)體的電容。 掌握恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件，了解靜電比擬法，會(huì)計(jì)算典型導(dǎo)體的電阻。 掌握恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件，理解矢量磁位及其微分方程，了解標(biāo)量磁位的概念。理解磁場(chǎng)能量和能量密度，會(huì)計(jì)算一些典型場(chǎng)的磁場(chǎng)能量，會(huì)計(jì)算典型回路的電感。 理解靜電場(chǎng)的惟一性定理及其重要意義。 掌握鏡像法的基本原理，會(huì)用鏡像法求解一些典型問題。

14、 了解分離變量法的基本思想和解題步驟，能夠用分離變量法求解直角坐標(biāo)系中的一些簡(jiǎn)單的二維問題。 3.2.2 重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 1.靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)的基本方程揭示了靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)，是分析計(jì)算靜電場(chǎng)問題的基礎(chǔ)。 （1）靜電場(chǎng)的基本方程有積分形式和微分形式兩種表示。積分形式的基本方程描述某個(gè)區(qū)域內(nèi)靜電場(chǎng)的整體性質(zhì)，例如表示穿過任一閉合面S的電位移矢量D的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的總量，與束縛電荷無關(guān)。微分形式的基本方程描述場(chǎng)中每一點(diǎn)的性質(zhì)例如表明場(chǎng)中某點(diǎn)D的散度等于該點(diǎn)的自由體電荷密度。 （2）高斯定律及其微分形式表明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)（有通量源），電荷是產(chǎn)生靜電場(chǎng)的源；電力線從

15、正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷。環(huán)路定理及其微分形式表明靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)（無旋渦源），是保守場(chǎng)。 （3）在不同媒質(zhì)的邊界面上，場(chǎng)矢量E和D一般是不連續(xù)的，和失去意義。所以，微分形式的基本方程在邊界面上不再適用，而積分形式的基本方程仍然適用。 2.電位 電位是靜電場(chǎng)中的一個(gè)重要概念。在課程教學(xué)中，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）電位的定義雖然是從靜電場(chǎng)的無旋性引入的，但它有明確的物理意義，它表示在電場(chǎng)中，將單位正電荷從P點(diǎn)移動(dòng)到參考點(diǎn)Q時(shí)電場(chǎng)力所作的功。表示為 （2）點(diǎn)電荷的電位計(jì)算公式為我們提供了對(duì)任何所要計(jì)算的場(chǎng)點(diǎn)r處電位的一種方法。對(duì)于點(diǎn)電荷系，利用公式（3.9）求得所有點(diǎn)電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處產(chǎn)生

16、的電位，再由求得電場(chǎng)矢量E。顯然比直接計(jì)算各點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量之和要容易些，這也是引入電位的優(yōu)越性之一。 如果源電荷是連續(xù)分布的，則可以利用公式（3.10）、（3.11）和（3.12）來計(jì)算電位。 （3）計(jì)算電位的公式（3.9）～（3.12）中保留了一定程度的不確定性。也就是說，電位總是包含有一個(gè)任意的附加常數(shù)，且可以對(duì)該常數(shù)任意賦值，而不會(huì)改變?cè)瓎栴}的基本性質(zhì)。因?yàn)榕c有相同的結(jié)果。 （4）電位是一個(gè)相對(duì)量，在電場(chǎng)一定的情況下，空間各點(diǎn)的電位值，與參考點(diǎn)的選擇密切相關(guān)。如何選擇電位參考點(diǎn)？一般應(yīng)考慮到以下幾點(diǎn)：首先，電位參考點(diǎn)的選擇有一定的任意性。因此可以選擇適當(dāng)?shù)膮⒖键c(diǎn)，使電位表示式具有

17、最簡(jiǎn)單的形式。例如，點(diǎn)電荷的電位，若選無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，則得；若選距離點(diǎn)電荷處為參考點(diǎn)，表達(dá)式則為。通常就是選擇無限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。其次，電位參考點(diǎn)的選擇不是完全不受限制的。為了能應(yīng)用電位來描述電場(chǎng)各點(diǎn)的特性，在選擇參考點(diǎn)后，場(chǎng)中各點(diǎn)的電位應(yīng)有確定的值。具體來說有以下四種限制：一是不能選擇點(diǎn)電荷所在點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，否則會(huì)使場(chǎng)中各點(diǎn)電位為無窮大，這是沒有意義的。二是只有當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，才可以選擇無限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。三是對(duì)一些具有軸對(duì)稱性的問題通常也不能選擇無限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)，而是選擇半徑的圓柱面作為電位參考點(diǎn)。例如，對(duì)于同軸線問題可選擇外導(dǎo)體作為電位參考點(diǎn)。四是同一問題只能選定一個(gè)

18、電位參考點(diǎn)。 在實(shí)際的電位測(cè)量中，通常選擇“地”作為電位參考點(diǎn)。 （5）在靜電場(chǎng)中，電位相等的點(diǎn)組成的面稱為等位面。一旦求得電位函數(shù)，就可得出等位面，這樣就可應(yīng)用等位面族形象地描述靜電場(chǎng)。例如，點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的等位面，是一個(gè)以點(diǎn)電荷所在點(diǎn)為中心的同心球面族。（以無限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)）。 （6）利用公式（3.10）、（3.11）或（3.12）計(jì)算電位，有時(shí)是困難的。我們可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程來得到電位解。 3.靜電場(chǎng)能量 靜電場(chǎng)的基本特性表現(xiàn)為它對(duì)靜止電荷有作用力，說明靜電場(chǎng)有能量。對(duì)于常用的靜電場(chǎng)能量的幾種表示式應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）表示點(diǎn)電荷系的互有能，式中的是除

19、外的其余點(diǎn)電荷在處產(chǎn)生的電位，這個(gè)互有能也是該點(diǎn)電荷系的總靜電能。 （2）表示連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量計(jì)算公式，雖然只有電荷密度不為零的區(qū)域才對(duì)積分有貢獻(xiàn)，但不能認(rèn)為靜電場(chǎng)能量只儲(chǔ)存在有電荷區(qū)域。此公式只能應(yīng)用于靜電場(chǎng)。 （3）表示靜電場(chǎng)能量儲(chǔ)存在整個(gè)電場(chǎng)區(qū)域中，所有的區(qū)域都對(duì)積分有貢獻(xiàn)，稱為電場(chǎng)能量密度。公式既適用于靜電場(chǎng)，也適用于時(shí)變電磁場(chǎng)。 4.靜電場(chǎng)問題的求解 靜電場(chǎng)問題可分為兩大類：分布型問題和邊值型問題。已知電荷分布，求場(chǎng)分布，或已知電場(chǎng)分布，求電荷分布，這屬于分布型問題。求解的方法有： （1）直接利用電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式（2.11）～（2.14），由已知的電荷分布求出電

20、場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)然，只有對(duì)一些電荷分布較簡(jiǎn)單的情況，這種方法才易于進(jìn)行。 （2）直接利用電位函數(shù)的計(jì)算公式（3.9）～（3.12），由已知的電荷分布求得電位，再由求得電場(chǎng)求得E。 （3）應(yīng)用高斯定理求解對(duì)稱分布的電場(chǎng)。 當(dāng)電場(chǎng)分布具有某種空間對(duì)稱性（譬如平面對(duì)稱、軸對(duì)稱、球?qū)ΨQ等）時(shí)，就可找到一個(gè)高斯面，使該面上的電場(chǎng)等于常數(shù)，這樣就很便捷地求得場(chǎng)分布。 對(duì)于一些非對(duì)稱分布的場(chǎng)，有時(shí)可將其劃分為若干個(gè)對(duì)稱場(chǎng)分別利用高斯定理求解，然后再疊加。 a b 圖3.1 a b 圖3.2 當(dāng)存在兩種不同介質(zhì)的分界面時(shí)，有兩種情況也適合用高斯定

21、律求解。第一種是在介 質(zhì)分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度E只有法向分量，這時(shí)電位移矢量D呈對(duì)稱分布，就可直接利用求得D，再由求得E。例如，圖3.1所示的半徑分別為a和b的同心球殼之間有兩層介質(zhì)，此時(shí)D具有球?qū)ΨQ性，可直接利用據(jù)已知電荷分布求得D。第二種是在介質(zhì)分界面上，E只有切向分量。根據(jù)電場(chǎng)邊界條件應(yīng)有，但，即E呈對(duì)稱分布。此時(shí)，利用，，，將變?yōu)榧纯汕蟮肊。例如，圖3.2所示的同心球殼之間，兩種介質(zhì)分別填充了一半的空間，此時(shí)有，即E呈球?qū)ΨQ分布，應(yīng)用上述轉(zhuǎn)換即可求得E。 （4）已知電場(chǎng)或電位分布，求電荷分布，可利用或求得體電荷密度；利用求得極化電荷體密度。利用邊界條件求得導(dǎo)體表面的自由電荷面密度或介質(zhì)

22、表面的極化電荷面密度。 根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位，這就是邊值問題。求解邊值型問題的方法有： 直接積分法——對(duì)于一維的拉普拉斯方程或泊松方程進(jìn)行直接積分，根據(jù)已知邊界條件確定積分常數(shù)。 分離變量法——求解二維、三維的的經(jīng)典方法。 鏡像法——一種間接求解法。 有限差分法、有限元法、矩量法、邊界元法等——這一類屬于數(shù)值法。 5.靜電比擬 電荷的流動(dòng)形成電流。在多數(shù)情況下，電荷流動(dòng)是由于空間存在電場(chǎng)，該電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力引起電荷的宏觀運(yùn)動(dòng)。當(dāng)電荷流動(dòng)不隨時(shí)間變化時(shí)，稱為恒定電流，對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。欲在導(dǎo)體中形成恒定電流，必須在導(dǎo)體兩端施加恒定電源。 當(dāng)我們將研究的范

23、圍限于電源外部的導(dǎo)體中時(shí)，恒定電場(chǎng)也是保守場(chǎng)，可用電位梯度來表示。根據(jù)惟一性定理，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場(chǎng)（電源外部）與均勻電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)（的區(qū)域）在滿足一定條件時(shí)是可以相互比擬的。有兩方面的應(yīng)用：其一，恒定電場(chǎng)問題可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的靜電場(chǎng)問題求解，或直接利用靜電場(chǎng)問題的結(jié)果，比擬地得出對(duì)應(yīng)的恒定電場(chǎng)的解。其二，靜電場(chǎng)問題可通過相應(yīng)的恒定電流場(chǎng)模型來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。這是因?yàn)楹愣娏鲌?chǎng)模型更易于建立和便于測(cè)量。 6.恒定磁場(chǎng)的基本方程 恒定磁場(chǎng)的基本方程揭示了恒定磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，是分析計(jì)算恒定磁場(chǎng)問題的基礎(chǔ)。 （1）恒定磁場(chǎng)的基本方程有積分形式和微分形式兩種表示。磁通連續(xù)性原理及其微分形式表明

24、恒定磁場(chǎng)是無源場(chǎng)（無通量源），磁感應(yīng)線是無頭無尾的閉合線。安培環(huán)路定理及其微分形式表明恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)（有漩渦源），恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場(chǎng)的漩渦源。 （2）恒定磁場(chǎng)基本方程適用于任何磁介質(zhì)。對(duì)于線性和各向同性磁介質(zhì)，有關(guān)系式。 7.矢量磁位 矢量磁位是為了簡(jiǎn)化恒定磁場(chǎng)分析而引入的一個(gè)輔助矢量，沒有明確的物理意義。其定義的依據(jù)是恒定磁場(chǎng)的無源性（） 矢量恒等式表明任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒等于零。因此，我們選擇 式中的A就稱為矢量磁位，它自然滿足磁感應(yīng)強(qiáng)度B的散度等于零的基本方程，故A的定義具有普遍意義，即任何恒定磁場(chǎng)都可以用A矢量表示。 （1）只規(guī)定了A的旋度，為惟一地確定A還必

25、須規(guī)定A的散度。在恒定磁場(chǎng)分析中，規(guī)定，這樣就將A的微分方程最大限度地簡(jiǎn)化為泊松方程。 （2）在直角坐標(biāo)系中，矢量拉普拉斯運(yùn)算可以展開為三個(gè)分量的標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算的矢量和，即 上式右邊的是標(biāo)量拉普拉斯算符。但在其它坐標(biāo)系中不存在這樣比較簡(jiǎn)單的結(jié)果，在圓柱坐標(biāo)系中僅只對(duì)z分量才有 （3）由電流源分布求矢量磁位的直接積分公式是（3.28）～（3.30），從這些公式可看出，電流元的矢量磁位都是與電流元平行的矢量。顯然，通過矢量磁位A來求磁感應(yīng)強(qiáng)度B，比直接求B來得簡(jiǎn)單，特別是在適當(dāng)選擇的坐標(biāo)系下，A只有一個(gè)分量，而B卻不只一個(gè)分量。 （4）矢量磁位的微分方程與靜電位的泊松方程在形式上

26、是相似的,但求解方程要復(fù)雜得多。對(duì)一些特殊的電流分布，則可將A滿足的泊松方程化為標(biāo)量方程。例如，電流沿z軸方向流動(dòng)，即，若求解場(chǎng)域的界面是與z軸平行的柱面，則A也只有z方向的分量，且與z變量無關(guān)，即，則方程化為標(biāo)量泊松方程。 （5）磁通也可以通過矢量磁位A來計(jì)算。 即穿過曲面S的磁通量等于A沿次曲面的周界的閉合線積分。通常，由A計(jì)算磁通量比由B計(jì)算要簡(jiǎn)單。 8.恒定磁場(chǎng)問題的求解 求解恒定磁場(chǎng)問題的思路與求解靜電場(chǎng)問題有相同或相似之處。 （1）用直接積分法求解 對(duì)由已知的源電流分布，求磁場(chǎng)分布問題，可以利用公式（2.20）～（2.22）進(jìn)行直接積分求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B，還可以利用公

27、式（3.28）～（3.30）直接積分求得矢量磁位A，再由求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 （2）應(yīng)用安培環(huán)路定律求解磁場(chǎng) 正像在靜電場(chǎng)問題中應(yīng)用高斯定律求解那樣，如果問題具有足夠的對(duì)稱性，我們就可以利用安培環(huán)路定律來求得磁場(chǎng)分布。關(guān)鍵的問題是選擇合適的閉合積分路徑，所尋求的積分路徑應(yīng)該是H在其上具有恒定大小的曲線，以及H平行于（或垂直于）積分路徑的橫切方向的切線。例如，無限長直線電流的磁場(chǎng)、無限大平面電流層的磁場(chǎng)、均勻密繞環(huán)行線圈的磁場(chǎng)等，都可應(yīng)用安培環(huán)路定律求磁場(chǎng)。 （3）求解A的泊松方程或拉普拉斯方程；或求解標(biāo)量磁位滿足的拉普拉斯方程。 （4）應(yīng)用磁場(chǎng)的鏡像法。 9.鏡像法 鏡像法是一種電場(chǎng)

28、問題（也可用于磁場(chǎng)問題）的間接求解法。 （1）鏡像法的基本思想是用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較為簡(jiǎn)單的鏡像電荷來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，在保持邊界條件不變的情況下，將分界面移去，這樣就把原來有分界面的非均勻媒質(zhì)空間變換成無界的單一媒質(zhì)空間來求解。 （2）鏡像法的理論依據(jù)是靜電場(chǎng)解的惟一性定理。在保持導(dǎo)體形狀、尺寸、帶電狀態(tài)，以及媒質(zhì)特性不變的情況下，滿足泊松方程（或拉普拉斯方程）和邊界條件的解是惟一的。鏡像法巧妙地應(yīng)用這一原理，針對(duì)多種典型的電磁場(chǎng)問題，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，形成了一套有效的解法。 （3）應(yīng)用鏡像法的兩個(gè)要點(diǎn)：一是正確找出鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置以及電荷量的大小和符號(hào)

29、，以滿足邊界條件不變?yōu)槠錅?zhǔn)則。二是注意保持待求解的場(chǎng)域（稱為有效區(qū)）內(nèi)的電荷分布不變，即鏡像電荷必須置于有效區(qū)之外。 （4）用鏡像法解題時(shí)的幾個(gè)注意點(diǎn)： ● 如果邊界面不是單一的平面、球面或圓柱面，而是它們的組合邊界面，此時(shí)設(shè)置一個(gè)鏡像電荷就不可能滿足邊界條件而必須再設(shè)置鏡像電荷的鏡像。譬如下面幾個(gè)典型例子：圖3.3所示的在無限大接地導(dǎo)體平面上凸起一個(gè)半球面時(shí)的鏡像法，應(yīng)該有三個(gè)鏡像電荷 ， ， d q x z a 圖3.3(a) d q z x a 圖3.3(b) ，

30、 q 圖3.4(b) 圖3.4所示的兩無限大平行接地導(dǎo)體板之間有一點(diǎn)電荷q，用鏡像法求解兩板之間的場(chǎng)分布時(shí)，將構(gòu)成一個(gè)連續(xù)鏡像電荷系列。由于鏡像電荷距有效區(qū)越來越遠(yuǎn)，當(dāng)所要求的解答精確度一定時(shí)，可以只取有限個(gè)數(shù)的鏡像電荷（譬如3～4個(gè)鏡像電荷）來得到近似解。 d q 圖3.4(a) ● 兩個(gè)半無限大導(dǎo)體平面相交構(gòu)成的劈形區(qū)域，只有交角時(shí)，才能用鏡像法求解，此時(shí)的鏡像電荷數(shù)為（）個(gè)。譬如，時(shí)，，故有個(gè)鏡像電荷，如圖3.5所示。 ● 若，則不能用鏡像法求

31、解。因?yàn)榇藭r(shí)為滿足邊界面上電位為零的邊界條件，所設(shè)置的鏡像電荷必將進(jìn)入有效區(qū)，這是違背鏡像法的基本原理的。 q 圖3.5(b) q 圖3.5(a) 10.分離變量法 分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典法。在應(yīng)用分離變量法求解邊值問題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）根據(jù)場(chǎng)域邊界的幾何特征，建立適合的坐標(biāo)系。通常使坐標(biāo)與場(chǎng)域邊界面相吻合，例如具有球面邊界的問題，應(yīng)選擇球坐標(biāo)系；具有圓柱面邊界的問題，應(yīng)選擇圓柱坐標(biāo)系。另外，對(duì)一些具有對(duì)稱性的問題，應(yīng)結(jié)合對(duì)稱性來確定坐標(biāo)軸的取向，盡可能減少電位函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)，從而降低

32、方程的維數(shù)，以簡(jiǎn)化求解，例如，對(duì)于在均勻外電場(chǎng)放入一個(gè)導(dǎo)體球的問題，應(yīng)以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸沿外場(chǎng)方向建立球坐標(biāo)系。又如，對(duì)于導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷的問題，則應(yīng)以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸沿球心和點(diǎn)電荷q的連線建立球坐標(biāo)系。 （2）正確寫出電位函數(shù)的通解。當(dāng)所求場(chǎng)域內(nèi)存在不同媒質(zhì)時(shí)，應(yīng)將場(chǎng)域沿媒質(zhì)分界面劃分成幾個(gè)區(qū)域，分別建立各個(gè)區(qū)域位函數(shù)的拉普拉斯方程，并分別寫出其通解。 （3）正確寫出邊界條件。這里的邊界條件通常包括：場(chǎng)域邊界面上的已知條件、不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件以及無界場(chǎng)域問題中的無限遠(yuǎn)處的邊界條件。 3.3 習(xí)題解答 題3.1圖 3.1

33、長度為的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位；（2）利用直接積分法計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電場(chǎng)，并用核對(duì)。 解 （1）建立如題3.1圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位為 （2）根據(jù)對(duì)稱性，可得兩個(gè)對(duì)稱線電荷元在點(diǎn)的電場(chǎng)為 故長為的線電荷在點(diǎn)的電場(chǎng)為 由求，有 可見得到的結(jié)果相同。 3.2 一個(gè)點(diǎn)電荷位于點(diǎn)，另一點(diǎn)電荷位于點(diǎn)，求空間的零電位面。 解 兩個(gè)點(diǎn)電荷和在空間產(chǎn)生的電位 令，則有 即 故得

34、 此即零電位面方程，這是一個(gè)以點(diǎn)為球心、為半徑的球面。 3.3 電場(chǎng)中有一半徑為的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為 （1）求圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度； （2）這個(gè)圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。 解 （1）由，可得到 時(shí)， 時(shí)， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為 3.4 已知的空間中沒有電荷，下列幾個(gè)函數(shù)中哪些是可能的電位的解? （1）； （2）； （3） （4）。 解 在電荷體密度的空間，電位函數(shù)應(yīng)滿足拉普拉斯方程 （1） 故此函數(shù)不是空間中的電位的解

35、； （2） 故此函數(shù)是空間中可能的電位的解； （3） 故此函數(shù)不是空間中的電位的解； （4） 故此函數(shù)不是空間中的電位的解。 3.5 一半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，其內(nèi)均勻分布自由電荷，試證明該介質(zhì)球中心點(diǎn)的電位為 解 根據(jù)高斯定理，得 時(shí)， 即 ， 時(shí)， 故 ， 則得中心點(diǎn)的電位為 3.6 電場(chǎng)中一半徑為、介電常數(shù)為的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為 驗(yàn)證

36、球表面的邊界條件，并計(jì)算球表面的束縛電荷密度。 解 在球表面上 故有 ， 可見和滿足球表面上的邊界條件。 介質(zhì)球表面的束縛電荷密度為 3.7 無限大導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=d處，板間充滿電荷，其體電荷密度為，極板的電位分別為0和，如題3.7圖所示；求兩極板之間的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 兩導(dǎo)體板之間的電位滿足泊松方程，故得 x 題3.7圖 解此方程，得 在處，，故 在處，，故 得 故 3.8 試證明：同軸線單位長度的靜電儲(chǔ)能。式中為單位長度上的電荷量，為單位長度上的電

37、容。 解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為 則同軸線單位長度的電容為 則得同軸線單位長度的靜電儲(chǔ)能為 3.9 有一半徑為、帶電量的導(dǎo)體球，其球心位于介電常數(shù)分別為和的兩種介質(zhì)的分界面上，該分界面為無限大平面。試求：（1）導(dǎo)體球的電容；（2） 總的靜電能量。 解 （1）由于電場(chǎng)沿徑向分布，根據(jù)邊界條件，在兩種介質(zhì)的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 所以 導(dǎo)體球的電位 故導(dǎo)體球的電容 （2） 總的靜

38、電能量為 3.10 兩平行的金屬板，板間距離為，豎直地插入介電常數(shù)為的液體中，兩板間加電壓，試證明液面升高 式中為液體的質(zhì)量密度，g為重力加速度。 解 設(shè)液面上金屬板的高度為，寬度為。如題3.10圖所示。 當(dāng)金屬板之間的液面升高為時(shí)，其電容為 題3.10圖 金屬板間的靜電能量為 液體受到豎直向上的靜電力為 而液體所受重力 與相平衡，即 故得到液面上升的高度 3.11 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為；內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層損耗介質(zhì)，其介電常數(shù)分別為和，電導(dǎo)率分布為和，兩層介質(zhì)的分界面為同軸圓柱面，分界面半徑

39、為。當(dāng)外加電壓為時(shí)，試求：（1）介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）同軸電纜單位長度的電容及漏電阻。 解 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為，則由，得電流密度 介質(zhì)中的電場(chǎng) 而 故 則得到兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 （3）同軸電纜單位長度的漏電阻為 由靜電比擬，可得同軸電纜單位長度的電容為 3.12 在電導(dǎo)率為的無限大均勻電介質(zhì)內(nèi)，有兩個(gè)半徑分別為和的理想導(dǎo)體小球，兩球之間的距離為，試求兩個(gè)小導(dǎo)體球面間的電阻。 解 此題可采用靜電比擬的方法求解。假設(shè)

40、位于介電常數(shù)為的介質(zhì)中的兩個(gè)小球分別帶電荷和，由于兩球間的距離、，兩小球表面的電位為 所以兩小導(dǎo)體球面間的電容為 由靜電比擬，得到兩小導(dǎo)體球面間的電導(dǎo)為 故兩個(gè)小導(dǎo)體球面間的電阻為 3.13 在一塊厚度為的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑分別為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.13圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；(3) 沿方向的兩電極的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為。 解 （1）設(shè)沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有 題3.13 圖 故得到沿厚度方向的電阻為

41、 （2）設(shè)內(nèi)外兩圓弧面電極之間的電流為，則 故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設(shè)沿方向的兩電極的電壓為，則有 由于與無關(guān)，故得 故得到沿方向的電阻為 3.14 有用圓柱坐標(biāo)系表示的電流分布，試求矢量磁位和磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解 由于電流只有分量，且僅為圓柱坐標(biāo)的函數(shù)，故也只有分量，且僅為的函數(shù)， 即 （） （） 由此可解得 式中可由和滿足的邊界條件確定： ① 時(shí)，為有限值，若令此有限值為零，故得 ② 時(shí)，、 即

42、 由此可解得 ， 故 （） （） 空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （） （） 3.15無限長直線電流垂直于磁導(dǎo)率分別為和的兩種磁介質(zhì)的分界面，如題3.15圖所示。試求：（1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度和；（2）磁化電流分布。 題3.15圖 解 （1）由安培環(huán)路定理，可得 故得 （2）磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度 則磁化電流體密度 由看出，在處，具有奇異性，所以在磁介質(zhì)中處存在磁化線電流。以軸為中心、為半徑作一個(gè)圓形回路，由安培環(huán)路定理，有

43、 題3.16圖 故得到 在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為 3.16 已知一個(gè)平面電流回路在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，若此平面電流回路位于磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上，試求兩種磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度和。 解 因?yàn)槭瞧矫骐娏骰芈?，?dāng)其位于兩種均勻磁介質(zhì)的分界平面上時(shí)，分界面上的磁場(chǎng)只有法向分量，根據(jù)邊界條件，故有。 在磁介質(zhì)分界面兩側(cè)，作一個(gè)尺寸為小矩形回路，如題3.16圖所示。根據(jù)安培環(huán)路定律，得 （1） 式中的是與小矩形回路交鏈的電流。 若平面電流回路兩側(cè)為真空，則有 （2）

44、 由于和是分界面上任意兩點(diǎn)，由式（1）和（2）可得到 即 題3.17圖 媒質(zhì)② 媒質(zhì)① 于是 故 3.17 證明：在不同磁介質(zhì)分界面上，矢量磁位的切向分量是連續(xù)的。 解 由得 在磁介質(zhì)分界面上任取一點(diǎn)，圍繞該點(diǎn)作一個(gè)跨越分界面的狹長矩形回路，其長為、寬為，且令如題3.17圖所示。故得 由于為有限值，上式右端等于零，所以 因平行于分界面，故有 3.18 長直導(dǎo)線附近有一矩形回路，此回路與導(dǎo)線不共面，如題3.18圖所示。試證明：直導(dǎo)線與矩形回路間的互感是 （a）

45、 （b） 題3.18圖 解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為，則其產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 由題3.18圖可知，與矩形回路交鏈的磁通為 式中 故直導(dǎo)線與矩形回路間的互感為 3. 19 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體是半徑為的圓柱，外導(dǎo)體是半徑為的薄圓柱面，其厚度可忽略不計(jì)。內(nèi)、外導(dǎo)體間填充有磁導(dǎo)率分別為和兩種不同的磁介質(zhì)，如題3.19圖所示。設(shè)同軸線中通過的電流為，試求： （1）同軸線中單位長度所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量； （2）單位長度的自感。 解 同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)沿方向，在兩種磁介質(zhì)的分界面上，磁場(chǎng)只有法向分量

46、。根據(jù)邊界條件可知，兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度，但磁場(chǎng)強(qiáng)度。 （1）利用安培環(huán)路定律，當(dāng)時(shí)，有 題3.19圖 所以 在 區(qū)域內(nèi)，有 即 故 同軸線中單位長度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為 （2）由 ，得到單位長度的自感為 題3.20圖 3.20 如題3.20圖所示的長螺旋管，單位長度密繞匝線圈，通過電流，鉄心的磁導(dǎo)率為、截面積為，求作用在它上面的磁場(chǎng)力。 解 由安培環(huán)路定理可得螺旋管內(nèi)的磁場(chǎng)

47、為 設(shè)鐵心在磁場(chǎng)力的作用下有一位移，則螺旋管內(nèi)改變的磁場(chǎng)能量為 則作用在鉄心上的磁場(chǎng)力為 可見，磁場(chǎng)力有將鐵心拉進(jìn)螺旋管的趨勢(shì)。 題 3.21圖 3.21 一個(gè)點(diǎn)電荷與無限大導(dǎo)體平面距離為，如果把它移到無窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？ 解 利用鏡像法求解。當(dāng)點(diǎn)電荷移動(dòng)到距離導(dǎo)體平面為的點(diǎn)時(shí)，其像電荷，位于點(diǎn)處，如題3.21圖所示。像電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 所以將點(diǎn)電荷移到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，電場(chǎng)所作的功為 外力所作的功為 3.22 如題3.22圖所示，一個(gè)點(diǎn)電荷放在的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)處。求：（1）所有鏡像電荷的位置和大??；（2）

48、點(diǎn)處的電位。 題 3.22圖 解 （1）這是一個(gè)多重鏡像的問題，共有個(gè)像電荷，分布在以點(diǎn)電荷到角域頂點(diǎn)的距離為半徑的圓周上，并且關(guān)于導(dǎo)體平面對(duì)稱，如題3.22圖所示。 （2）點(diǎn)處電位 3.23 一個(gè)電荷量為、質(zhì)量為的小帶電體，放置在無限大導(dǎo)體平面下方，與平面相距為。欲使帶電小球受到的靜電力恰好與重力相平衡，電荷的值應(yīng)為多少？（設(shè)，）。 解 將小帶電體視為點(diǎn)電荷，導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷對(duì)的靜電力等于鏡像電荷對(duì)的作用力。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷為，位于導(dǎo)體平面上方為處，則小帶電體受到的靜電

49、力為 令的大小與重力相等，即 于是得到 3.24 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個(gè)點(diǎn)電荷。（1）求點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球之間的靜電力；（2）證明：當(dāng)與同號(hào)，且成立時(shí)，表現(xiàn)為吸引力。 題 3.24圖 解 用鏡像法求解，像電荷和的大小和位置分別為 ， ， 如題3.24圖所示。 導(dǎo)體球自身所帶的電荷則用位于球心的點(diǎn)電荷等效。故點(diǎn)電荷受到的靜電力為 （2）當(dāng)與同號(hào)，且表現(xiàn)為吸引力，即時(shí)，則應(yīng)有 題3.25圖 由此可得出 3.25 一半徑為的無限長金屬圓柱薄殼，平行于地面

50、，其軸線與地面相距為。在圓柱薄殼內(nèi)距軸線為處，平行放置一根電荷線密度為的長直細(xì)導(dǎo)線，其橫截面如題3.25圖所示。設(shè)圓柱殼與地面間的電壓為。求：金屬圓柱薄殼內(nèi)外的電位分布。 解 線電荷在金屬圓柱薄殼內(nèi)表面引起的感應(yīng)電荷，用鏡像電荷等效替代，如題3.25圖(a)所示，圖中，位于。圓柱薄殼內(nèi)任一點(diǎn)的電位為 題3.25圖(a) 其中 因，，故得 則 求圓柱薄殼外任一點(diǎn)的電位時(shí)，地面對(duì)圓柱薄殼的影響可用鏡像圓柱等效替代，如題3.25圖(b)所示，圖中 題3.25圖(b)

51、 則圓柱薄殼外的電位為 已知圓柱薄殼的電位為，即時(shí)，，故得 則 3.26 如題3.26圖所示，在的下半空間是介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為處有一點(diǎn)電荷，求：（1）和的兩個(gè)半空間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷。 題 3.26圖 題 3.26圖（a） ) 圖 2.13 題 3.26圖（b） ) 解 （1）在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，

52、介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為 ，位于 ， 位于 如題3.26圖（）、（）所示。 上半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生，即 下半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生，即 （2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為 介質(zhì)表面的極化電荷總電量為 題3.27圖 3.27磁導(dǎo)率分別為和的兩種磁介質(zhì)的分界面為無限大平面，在磁介質(zhì)1中，有一個(gè)半徑為、載電流為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，與分界面平行且相距為，如題3.27圖所示。設(shè)，求細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所受到的磁場(chǎng)力。 解 細(xì)導(dǎo)線

53、圓環(huán)受到分界面上磁化電流作用力。根據(jù)磁場(chǎng)鏡像法，磁化電流的作用可用一個(gè)半徑為a，載電流為I’的鏡像圓環(huán)等效替代，如題3.27圖(a)所示。鏡像圓環(huán)中的電流為 由于，在細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 題3.27圖（a） 與細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)交鏈的磁通為 相互作用能為 由虛位移法，可得到細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)受到的磁場(chǎng)力為 3.28 平行雙線傳輸線的半徑為，相距為，在傳輸線下方處放置其相對(duì)磁導(dǎo)率為的鐵磁性平板，如題3.28圖所示。設(shè)且，試求此平行雙線傳輸線單位長度的外自感。 題3.28圖 解 用磁場(chǎng)鏡像法求解，無限大鐵磁物質(zhì)表面

54、的磁化電流的作用，可用一對(duì)平行的鏡像傳輸線來替代，如題3.28圖（a）所示，鏡像電流為 電流在平行傳輸線的單位長度上產(chǎn)生的外磁通為 題3.28圖（a） 鏡像電流在平行傳輸線的單位長度上產(chǎn)生的外磁通為 式中的。 平行傳輸線的單位長度上總的外磁通為 則得外自感為 3.29 如題3.29圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。 解 根據(jù)題意，導(dǎo)體槽沿z方向?yàn)闊o限長，電位滿足二維拉普拉斯方程 電位滿足的邊界條件為

55、 ① 題3.29圖 ② ③ 根據(jù)條件①和②，電位的通解應(yīng)取為 由條件③，有 兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到 故得到槽內(nèi)的電位分布為 3.30 如題3.30圖所示兩塊平行無限大接地平行導(dǎo)體板，兩板之間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位分布。 解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。 題 3.30圖 電位的邊界條件為 ① ② ③ 由

56、條件①和②，可取電位函數(shù)的通解為 由條件③，有 （1） （2） 由式（1），可得 （3） 將式（2）兩邊同乘以，并從到對(duì)積分，有 （4） 由式（3）和（4）解得 故 3.31 如題3.31圖所示，在均勻電場(chǎng)中垂直于電場(chǎng)方向放置一根半徑為的無限長導(dǎo)體圓柱。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度，并求導(dǎo)體圓柱表面的

57、感應(yīng)電荷密度。 解 在外電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場(chǎng)的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加。 由于導(dǎo)體圓柱為無限長，所以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場(chǎng)的電位為 題3.31圖 式中的常數(shù)的值由參考點(diǎn)確定。而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，且在無限遠(yuǎn)處為零。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為 ① ② 由此可設(shè) 由條件①，有 于是得到 故圓柱外的電位為 若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點(diǎn)，即，則。 導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)則為 導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為 3

58、.32 一個(gè)半徑為、無限長的薄導(dǎo)體圓柱面被分割成4個(gè)圓柱面，彼此絕緣。其中，第2象限和第4象限的圓柱面接地，第1象限和第3象限的圓柱面分別保持電位和。如題3.32圖所示。試求圓柱面內(nèi)的電位函數(shù)。 解 由題意可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為 ① 為有限值； 題3.32圖 ② ； 由條件①可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為 代入條件②，有 由此得到 故 題3.33圖 3.33 如題3.33圖所示，一根無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線

59、處，有一與圓柱平行的線電荷，計(jì)算空間各部分的電位。 解 在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1） 而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為 ① 為有限值； ② ③ 時(shí)， 由條件①和②可知，和的通解為 （2） （3） 將式（1）～（3）代入條件③，可得到 （4） （5

60、） 當(dāng)時(shí)，將展開為級(jí)數(shù)，有 （6） 代入式（5），得 （7） 由式（4）和（7），有 由此解得 ， 故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為 （8） （9） 討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中的第二項(xiàng)分別寫成為 式中的。因此可將和分別寫成為 由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（0）的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。 題3.34圖 3.34 如題3.34圖所示，無限大的介質(zhì)外加均勻電場(chǎng)，在介質(zhì)中有一個(gè)半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度和空腔表面的極化電荷密度 解 在電場(chǎng)的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為外加電場(chǎng)與極化電荷的電場(chǎng)的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為 ① 時(shí)，； ② 時(shí)，為有限值； ③ 時(shí)，， 由條件①和②，可設(shè) 代入條件③，有 ， 由此解得 ， 所以 空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為 空腔表面的極化電荷面密度為 3－35