2018屆高三數(shù)學一輪復習： 第10章 第6節(jié) 幾何概型

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1、 第六節(jié)　幾何概型 [考綱傳真]　1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義． 1．幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個． (2)等可能性：每個試驗結果的發(fā)生具有等可能性． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,1

2、0]內任取一個數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是 (　　) A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] 3．(2016·全國卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到

3、紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A.　　 B.　 C.　　 D. B　[如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B.] 4．(2017·唐山檢測)如圖10-6-1所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為________． 圖10-6-1 0．18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S正＝1，∴S陰＝0.18.] 5．設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內

4、隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是________． 1－　[如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內部，且區(qū)域D的面積S＝4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積S陰＝4－π， ∴所求事件的概率P＝＝1－.] 與長度(角度)有關的幾何概型 　(1)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)如圖10-6-2所示，四邊

5、形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________． 【導學號：01772400】 圖10-6-2 (1)B　(2)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點，則事件“

6、點P′在上發(fā)生”． 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置． 2．(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計算幾何概型的概率，導致錯求P＝. (2)當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角對應的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率．事實上，當半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)之比． [變式訓練1]　(1)(2017·唐山質檢)設A為

7、圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，則弦長超過半徑倍的概率是(　　) A. B. C. D. (2)(2016·山東高考)在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． (1)B　(2)　[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點，則當點B在上運動時，弦長|AB|＞R， ∴P＝＝. (2)由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－

8、 　(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. C　[因為x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內隨機抽取，所以構成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應的數(shù)對在扇形OAC內(不包括扇形圓弧上的點所對應的數(shù)對)，故在扇形OAC內的數(shù)對有m個

9、．用隨機模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] ?角度2　與線性規(guī)劃交匯問題 　由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內的概率為(　　) A. B. C. D. D　[如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 易知C，S△BCD＝×(2－1)＝， S△OAB＝×2×2＝2， 故P＝＝＝.] ?角度3　與定積分交匯的幾何概型 　(2015·福建高考)如圖10-6-3，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD

10、內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________． 圖10-6-3 　[由題意知，陰影部分的面積 S＝(4－x2)dx＝ ＝， ∴所求概率P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.與面積有關的平面圖形的幾何概型，解題的關鍵是對所求的事件A構成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結合． 2．解題時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解. 與體積有關的幾何概型 　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的

11、概率為(　　) A. B.1－ C. D.1－ B　[設“點P到點O的距離大于1”為事件A. 則事件A發(fā)生時，點P位于以點O為球心，以1為半徑的半球的外部． ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－.] [規(guī)律方法]　對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件求解． [變式訓練2]　如圖10-6-4，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________. 【導學號：01772401】 圖

12、10-6-4 　[設四棱錐M-ABCD的高為h，由于V正方體＝1. 則·SABCD·h＜， 又SABCD＝1，∴h＜， 即點M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝.] [思想與方法] 1．古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：前者基本事件的個數(shù)有限，后者基本事件的個數(shù)無限． 2．判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當題干是雙重變量問題，一般與面積有關系． (2)當題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． [易錯與防范] 1．易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點是試驗中每個結果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗結果的個數(shù)是無限的，古典概型中試驗結果的個數(shù)是有限的． 2．準確把握幾何概型的“測度”是解題關鍵． 3．幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果．