2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第10章 第6節(jié) 幾何概型

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1、 第六節(jié)　幾何概型 [考綱傳真]　1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義． 1．幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)． (2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,1

2、0]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是 (　　) A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到

3、紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A.　　 B.　 C.　　 D. B　[如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來(lái)到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長(zhǎng)度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B.] 4．(2017·唐山檢測(cè))如圖10-6-1所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 圖10-6-1 0．18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S正＝1，∴S陰＝0.18.] 5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)

4、隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是________． 1－　[如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S＝4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積S陰＝4－π， ∴所求事件的概率P＝＝1－.] 與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型 　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)如圖10-6-2所示，四邊

5、形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772400】 圖10-6-2 (1)B　(2)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點(diǎn)P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“

6、點(diǎn)P′在上發(fā)生”． 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍，當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置． 2．(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測(cè)度”計(jì)算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯(cuò)求P＝. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率．事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2017·唐山質(zhì)檢)設(shè)A為

7、圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑倍的概率是(　　) A. B. C. D. (2)(2016·山東高考)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． (1)B　(2)　[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|＞R， ∴P＝＝. (2)由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－

8、 　(2016·全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. C　[因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)

9、．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] ?角度2　與線性規(guī)劃交匯問(wèn)題 　由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. D　[如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 易知C，S△BCD＝×(2－1)＝， S△OAB＝×2×2＝2， 故P＝＝＝.] ?角度3　與定積分交匯的幾何概型 　(2015·福建高考)如圖10-6-3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD

10、內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________． 圖10-6-3 　[由題意知，陰影部分的面積 S＝(4－x2)dx＝ ＝， ∴所求概率P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合． 2．解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 與體積有關(guān)的幾何概型 　在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的

11、概率為(　　) A. B.1－ C. D.1－ B　[設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A. 則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以1為半徑的半球的外部． ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－.] [規(guī)律方法]　對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解． [變式訓(xùn)練2]　如圖10-6-4，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772401】 圖

12、10-6-4 　[設(shè)四棱錐M-ABCD的高為h，由于V正方體＝1. 則·SABCD·h＜， 又SABCD＝1，∴h＜， 即點(diǎn)M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝.] [思想與方法] 1．古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：前者基本事件的個(gè)數(shù)有限，后者基本事件的個(gè)數(shù)無(wú)限． 2．判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當(dāng)題干是雙重變量問(wèn)題，一般與面積有關(guān)系． (2)當(dāng)題干是單變量問(wèn)題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長(zhǎng)度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)，即一個(gè)幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． [易錯(cuò)與防范] 1．易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點(diǎn)是試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的． 2．準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵． 3．幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果．