電磁場(chǎng)與電磁波(第4版)教學(xué)指導(dǎo)書 第7章 導(dǎo)行電磁波

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1、第7章 導(dǎo)行電磁波 7.1基本內(nèi)容概述 電磁波在導(dǎo)波系統(tǒng)中的傳輸問(wèn)題，可歸結(jié)為求解滿足特定邊界條件的波動(dòng)方程。根據(jù)其解的性質(zhì)，可了解在各種導(dǎo)波裝置中各種模式電磁波的場(chǎng)分布和傳播特性。 7.1.1沿均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)傳播的波的一般特性 所謂均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)是指在任何垂直于電磁波傳播方向的橫截面上，導(dǎo)波裝置具有相同的截面形狀和截面面積。 設(shè)均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的軸向?yàn)閦軸方向，則電場(chǎng)和磁場(chǎng)可分別表示為 (7.1a) (7.1b) 根據(jù)麥克斯韋方程，可得到橫向場(chǎng)分量與縱向場(chǎng)分量的關(guān)系 式

2、中：為截止波數(shù)，為傳播常數(shù)，為波數(shù)。由上式可知，在波導(dǎo)電磁場(chǎng)的6個(gè)分量中，獨(dú)立的只有2個(gè)，即。只要知道則可求出全部場(chǎng)分量。而縱向場(chǎng)分量和滿足的標(biāo)量波動(dòng)方程為 (7.3a) (7.3b) 7.1.2 導(dǎo)行電磁波的三種模式 根據(jù)縱向場(chǎng)分量和存在與否，可將導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁波分為三種模式。 （1）橫電磁波（TEM）： 傳播常數(shù)： (7.4) 相速度：

3、 (7.5) 波阻抗： (7.6) （2）橫磁波（TM）： 滿足標(biāo)量波動(dòng)方程： 其傳播條件： （工作頻率大于截止頻率） 傳播常數(shù)： (7.7) 波導(dǎo)波長(zhǎng)： (7.8) 相速度： (7.9) 波阻抗：

4、 (7.10) （3）橫電波（TE）； 滿足標(biāo)量波動(dòng)方程： 其傳播條件： （工作頻率大于截止頻率） 傳播常數(shù)、波導(dǎo)波長(zhǎng)、相速度與式(7.7)、(7.8)、(7.9)相同 波阻抗： (7.11) 平行雙線、同軸線這一類能建立二維靜態(tài)場(chǎng)的導(dǎo)波系統(tǒng)，可以傳輸TEM波；空心波導(dǎo)只能傳輸TE波和TM波。 7.1.3 矩形波導(dǎo)中傳播的TM波和TE波的場(chǎng)分布 橫截面尺寸為的矩行波導(dǎo)中傳播的TM波的場(chǎng)分量為 (7.12a) (7.12b)

5、 (7.12c) (7.12d) (7.12e) (7.12f) 式中： (7.13) m、n取非零的正整數(shù)。取不同的m、n值，代表不同的模式，表示為模，其最低階模為。 橫截面尺寸為的矩行波導(dǎo)中傳播的TE波的場(chǎng)分量為 (7.14a) (7.14b)

6、 (7.14c) （7.14d） (7.14e) (7.14f) m、n可取正整數(shù)和零，但不能同時(shí)取零。取不同的m、n值，代表不同的模式，表示為模，其最低階模為。 7.1.4矩形波導(dǎo)中波的傳播參數(shù) 在空心波導(dǎo)中，能傳輸?shù)哪Ｊ綉?yīng)滿足的條件是[或]，即工作頻率高于該模式的截止頻率（或工作波長(zhǎng)小于該模式的截止波長(zhǎng)） 截止頻率和截止波長(zhǎng)

7、(7.15) (7.16) 波導(dǎo)波長(zhǎng)、相速度、波阻抗分別與式(7.8)、(7.9)、(7.10)、(7.11)相同。 7.1.5 矩形波導(dǎo)中的主模 截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)的模式稱為主模，矩形波導(dǎo)中的主模是模，其截止波長(zhǎng)。 7.1.6 圓柱形波導(dǎo)的電磁場(chǎng)表示式 圓柱形波導(dǎo)中電場(chǎng)和磁場(chǎng)可分別表示為 圓柱形波導(dǎo)中，縱向場(chǎng)分量與橫向場(chǎng)分量的關(guān)系 (7.17a) (7.17b) (7.17c)

8、 (7.17d) 縱向場(chǎng)分量和滿足的標(biāo)量波動(dòng)方程分別為 (7.18a) (7.18b) 圓柱形波導(dǎo)中的主模是模，相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為（a為圓柱形波導(dǎo)橫截面的半徑）。 7.1.7 同軸波導(dǎo) 內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充電參數(shù)為、的理想介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的同軸波導(dǎo)。由于是雙導(dǎo)體波導(dǎo)，因此它既可以傳播TEM波，也可以傳播TE波、TM波。 對(duì)于TEM波的場(chǎng)分布 (7

9、.19a) (7.19b) (7.19c) (7.19d) 傳播常數(shù) (7.20) 相速度 (7.21) 波阻抗 (7.22) 同軸波導(dǎo)一般都是以

10、TEM模（主模）方式工作。但是，當(dāng)工作頻率過(guò)高時(shí)，在同軸波導(dǎo)中還將出現(xiàn)一系列的高次模：TM模和TE模。同軸波導(dǎo)中和的截止波長(zhǎng)分別為 （7.23） 7.1.8 諧振腔的主要參數(shù) 諧振腔是頻率很高時(shí)采用的諧振回路，其主要參數(shù)是諧振頻率和品質(zhì)因素。 矩形諧振腔的諧振頻率為 (7.24) 7.1.9 傳輸線上的電壓波和電流波 傳輸線中，隨時(shí)間變化的電壓和電流滿足的波動(dòng)方程為 (7.25) 式中：，稱為傳播系數(shù)；稱為衰減系數(shù)；稱為相位系數(shù)。 波動(dòng)方程的通解為

11、 (7.26a) (7.26b) 式中：，常數(shù)由傳輸線的邊界條件確定。 當(dāng)給定傳輸線的終端電壓和終端電流時(shí)，線上任意一點(diǎn)的電壓、電流為 上式說(shuō)明傳輸線上任意一點(diǎn)的電壓和電流以波的形式存在，且是由入射波和反射波疊加而成。 7.1.10 傳播特性參數(shù) 特性阻抗：定義為傳輸線上任意一點(diǎn)的行波電壓與行波電流之比。 對(duì)于無(wú)損耗線 (7.27) 輸入阻抗：傳輸線上任意一點(diǎn)的總電壓與總電流之比稱為該點(diǎn)的輸入阻抗。

12、 對(duì)于無(wú)損耗線 (7.28) 反射系數(shù) (7.29) 式中：稱為終端反射系數(shù)。 對(duì)于無(wú)損耗線 （7.30） 駐波系數(shù) (7.31) 7.1.11傳輸線上的三種工作狀態(tài) 因終端負(fù)載不同，傳輸線上存在三種不同的工作狀態(tài)： （1）行波狀態(tài)（） （2）駐波狀態(tài)（）； （3）混合波狀態(tài)（）。 7.2教學(xué)基本要求及重點(diǎn)難點(diǎn)討論 7.2.1 教學(xué)基本要求 波導(dǎo)中的縱向場(chǎng)分析

13、法是求解波導(dǎo)中場(chǎng)分布的重要方法，要求理解該方法的思路。對(duì)于該方法中涉及到有關(guān)物理量如傳播常數(shù)、截止波數(shù)等是討論波導(dǎo)中波傳播特性的關(guān)鍵。必須牢固掌握其物理意義和計(jì)算公式。 波導(dǎo)中三種模式的傳播條件和傳播特性是這一章的重點(diǎn)，必須牢固掌握三種模式的分類方法和傳播特性參數(shù)如截止頻率（截止波長(zhǎng)）、相位常數(shù)、波導(dǎo)波長(zhǎng)、相速度、波阻抗的計(jì)算公式。并應(yīng)用它們分析具體給定波導(dǎo)中不同模式的傳播特性。 對(duì)于矩形波導(dǎo)的主模是實(shí)現(xiàn)單模傳輸?shù)哪Ｊ剑髮?duì)其場(chǎng)分布、場(chǎng)圖及管壁電流分布有所了解，并掌握波導(dǎo)尺寸設(shè)計(jì)的原理。 “等效電路法”是求解TEM波傳輸線的方法之一，要求掌握分布參數(shù)的概念，建立傳輸線方程，理解傳輸線上

14、電壓波、電流波的特點(diǎn)。 TEM波傳輸線的特性參數(shù)、波的傳播特點(diǎn)及工作狀態(tài)分析也是這一章的重點(diǎn)，要求掌握特性阻抗、輸入阻抗、反射系數(shù)、終端反射系數(shù)、駐波系數(shù)的定義、計(jì)算公式和物理意義。掌握傳輸線三種不同工作狀態(tài)的條件和特點(diǎn)。 關(guān)于諧振腔，要求了解振蕩模式的特點(diǎn)，掌握諧振頻率的計(jì)算公式，理解品質(zhì)因數(shù)的物理意義，了解其計(jì)算方法。 7.2.2 重點(diǎn)、難點(diǎn)討論 1．不同模式的傳播條件 由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的假設(shè)，根據(jù)麥克斯韋方程可將波導(dǎo)中的橫向場(chǎng)分量用縱向場(chǎng)分量表示。而縱向場(chǎng)分量和滿足的標(biāo)量波動(dòng)方程為（TM波），和（TE波），式中稱為截止波數(shù)，可令，稱為截止角頻率，由此定義截止頻率、截止波長(zhǎng)。對(duì)于不

15、同類型、不同尺寸的導(dǎo)波系統(tǒng)（邊界條件不同），該波動(dòng)方的解(或)和相應(yīng)的值不同。例如尺寸為的矩形波導(dǎo)中的TM波的 ，。不同的m、n取值，的場(chǎng)分布不同、截止波數(shù)不同。 由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)中場(chǎng)量的表示式可知，只有當(dāng)傳播常數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，該電磁波才能在波導(dǎo)中傳播，否則電磁波將在波導(dǎo)中很快衰減。利用，得到使為純虛數(shù)的條件是，即（工作頻率大于截止頻率）。 2．TEM波傳輸線理論 在雙導(dǎo)體導(dǎo)波系統(tǒng)中可傳播TEM波，而該模式的電場(chǎng)和磁場(chǎng)沒有縱向分量。根據(jù)麥克斯韋方程和電壓的定義，可以建立電場(chǎng)和兩導(dǎo)體間電壓以及磁場(chǎng)和傳輸線上電流的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此電磁場(chǎng)的傳播特性與電壓、電流的傳播特性是相同的。而對(duì)于電壓和電流

16、的分析可以用電路的方法。事實(shí)上傳輸線理論在電路理論與電磁場(chǎng)的理論之間起著橋梁的作用。 電路理論與傳輸線理論之間的關(guān)鍵不同處在于電尺寸。電路分析假設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際尺寸遠(yuǎn)小于工作波長(zhǎng)，而傳輸線的長(zhǎng)度則可與工作波長(zhǎng)相比擬或?yàn)閿?shù)個(gè)波長(zhǎng)。因此，一段傳輸線是一個(gè)分布參數(shù)網(wǎng)絡(luò)，電壓和電流的振幅和相位都將發(fā)生變化，這些變化可以看成是因?yàn)檠鼐€的導(dǎo)體上存在電阻、電感，導(dǎo)體間存在電容和漏電導(dǎo)。其影響分布在傳輸線的每一點(diǎn)，故稱為分布參數(shù)。 傳輸線方程是傳輸線理論的基本方程，是描述傳輸線上電壓和電流變化規(guī)律及相互關(guān)系的微分方程。根據(jù)前面的分析，它可以從場(chǎng)的角度以某種特定的TEM傳輸線導(dǎo)出，也可以從路的角度，由分布參

17、數(shù)得到的傳輸線模型導(dǎo)出。 7.3 習(xí)題解答 7.1 為什么一般矩形波導(dǎo)測(cè)量線的縱槽開在波導(dǎo)的中線上？ 題7.1圖 解 因?yàn)榫匦尾▽?dǎo)中的主模為模，而由的管壁電流分布可知，在波導(dǎo)寬邊中線處只有縱向電流。因此沿波導(dǎo)寬邊的中線開槽不會(huì)因切斷管壁電流而影響波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)分布，也不會(huì)引起波導(dǎo)內(nèi)電磁波由開槽口向外輻射能量。(如題7.1圖) 7.2 下列二矩形波導(dǎo)具有相同的工作波長(zhǎng)，試比較它們工作在模式的截止頻率。 （1）； （2）。 解 截止頻率 當(dāng)介質(zhì)為空氣時(shí)，。 （1）當(dāng)，工作模式為（m=1、n=1），其截止頻率為 （2）當(dāng)，工作模式仍為（m=1,n=1），其截

18、止率為 題7.3圖 x a o z y b 由以上的計(jì)算可知：截止頻率與波導(dǎo)的尺寸、傳輸模式及波導(dǎo)填充的介質(zhì)有關(guān)，與工作頻率無(wú)關(guān)。 7.3 推導(dǎo)矩形波導(dǎo)中模的場(chǎng)分布式。 解 對(duì)于TE波有 應(yīng)滿足下面的波動(dòng)方程和邊界條件： （1） 由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的假設(shè) 將其代入式(1)，得 （2） 其中 該方程可利用分離變量法求解。設(shè)其解為： (3) 將式(3)代入式(2)，然后等式兩邊同除以，得 上式中等式左邊僅為x

19、的函數(shù)，等式右邊僅為y的函數(shù)，要使其相等，必須各等于常數(shù)。于是，該式可分離出兩個(gè)常微分方程 (4a) (4b) (5) 式(4a)的通解為 (6) 由于在x=0和x=a的邊界上，滿足 ， 由縱向場(chǎng)與橫向場(chǎng)的關(guān)系，得 則在x=0和x=a的邊界上，滿足 ， 于是將其代入式 (6)得 所以

20、 同理得式(4)的通解 滿足的邊界條件為 ， 于是得 所以，得到矩形波導(dǎo)中TE波的縱向場(chǎng)分量 式中由激勵(lì)源強(qiáng)度決定。 本征值為 利用縱向場(chǎng)與橫向場(chǎng)的關(guān)系式可求得TE波的其他橫向場(chǎng)分量 7.4 設(shè)矩形波導(dǎo)中傳輸模，求填充介質(zhì)（介電常數(shù)為）時(shí)的截止頻率及波導(dǎo)波長(zhǎng)。 解 截止頻率 對(duì)于模（m=1、n=0），得 波導(dǎo)波長(zhǎng) 式中為無(wú)界空間介質(zhì)中的波長(zhǎng)。 7.5 已知矩形波導(dǎo)的橫截面尺寸為，試求當(dāng)工作波長(zhǎng)時(shí)，波導(dǎo)中能傳輸哪些波型？時(shí)呢？ 解 波導(dǎo)中能傳輸?shù)哪Ｊ綉?yīng)滿足條件 或

21、 在矩形波導(dǎo)中截止波長(zhǎng)為 由傳輸條件 當(dāng)時(shí)上式可寫為 能滿足傳輸條件的m和n為 （1）當(dāng)時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的傳播波型有：； （2）當(dāng)時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的傳播波型有：； （3）當(dāng)時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的傳播波型有：； （4）當(dāng)時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的傳播波型有：； （5）當(dāng)時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的傳播波型有：； 故當(dāng)工作波長(zhǎng)時(shí)，波導(dǎo)中能傳輸?shù)牟ㄐ陀校?、、、、、、、、? 當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足 （1）當(dāng)時(shí)，有，無(wú)傳播波型； （2）當(dāng)時(shí)，有，對(duì)應(yīng)的傳播波型有：； （3）不滿足條件。 故當(dāng)時(shí)只能傳輸模。 7.6 試推導(dǎo)在矩形波導(dǎo)中傳輸波時(shí)的傳輸功率。 解 波導(dǎo)中傳輸?shù)墓β士捎刹▽?dǎo)橫截面上坡印廷矢量

22、的積分求得。對(duì)于波，有 式中為波阻抗。 矩形波導(dǎo)中 于是 式中 ， 7.6 試設(shè)計(jì)一個(gè)工作波長(zhǎng)的矩形波導(dǎo)。材料用紫銅，內(nèi)充空氣，并且要求模的工作頻率至少有的安全因子，即，此處和分別表示波和相鄰高階模式的截止頻率。 解 由題給：，即 若用波長(zhǎng)表示，上式變?yōu)? 即 由此可得 選擇： 為防止高次模的出現(xiàn)，窄邊b的尺寸應(yīng)滿足 考慮到傳輸功率容量和損耗情況，一般選取 故設(shè)計(jì)的矩形波導(dǎo)尺寸為 7.8 試設(shè)計(jì)一個(gè)工作波長(zhǎng)的圓柱形波導(dǎo)，材料用紫銅，內(nèi)充空氣，并要求波的工作頻率應(yīng)有一定的安全因子。

23、解 模是圓柱波導(dǎo)中的主模，為保證單模傳輸，應(yīng)使工作頻率大于模的截止頻率而小于第一次高模的截止頻率，即 和 于是得 所以圓柱形波導(dǎo)的半徑a應(yīng)滿足 選擇 7.9 求圓柱形波導(dǎo)中波的傳輸功率。 解 波導(dǎo)中傳輸?shù)墓β士捎刹▽?dǎo)橫截面上坡印廷矢量的積分求得。對(duì)于波 圓柱形波導(dǎo)中的模的場(chǎng)分量 由貝塞爾函數(shù)的遞推公式 因?yàn)閙=0，則 所以 而 由電場(chǎng)切向分量為零的邊界條件可知 則 所以 故得到圓柱形波導(dǎo)中模的傳輸功率為 7.10 設(shè)計(jì)一個(gè)矩形諧振腔，使在1GHz及1.5GHz分別諧振于兩個(gè)不同模式

24、上。 解 矩形諧振腔的諧振頻率為 若使在1GHz及1.5GHz分別諧振于矩形諧振腔的及兩個(gè)不同模式上，則它們的諧振頻率分別為 則 將以上二式相減得 可得 將其代入式（2）得 所以 尺寸b可取為 于是該矩形諧振腔的尺寸為 7.11 由空氣填充的矩形諧振腔，其尺寸為a=25mm、b=12.5mm、d=60mm，諧振于模式，若在腔內(nèi)填充介質(zhì)，則在同一工作頻率將諧振于模式，求介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)應(yīng)為多少？ 解 矩形諧振腔的諧振頻率為 當(dāng)填充介質(zhì)為空氣時(shí) 模的諧振頻率為 當(dāng)填充介質(zhì)的介電常數(shù)為時(shí)，，模的諧振頻率為 由

25、題給條件 得 7.12 平行雙線傳輸線的線間距D=8cm，導(dǎo)線的直徑d=1cm，周圍是空氣，試計(jì)算：(1) 分布電感和分布電容；(2) f=600MHz時(shí)的相位系數(shù)和特性阻抗。 解 （1）雙線傳輸線分布電容 分布電感 （2）時(shí)，得 7.13 同軸線的外導(dǎo)體半徑，內(nèi)導(dǎo)體半徑，填充介質(zhì)分別為空氣和的無(wú)耗介質(zhì)，試計(jì)算其特性阻抗。 解（1）填充空氣時(shí) 故特性阻抗 （2） 時(shí)，，故 7.14 在構(gòu)造均勻傳輸線時(shí)，用聚乙烯（）作為電介質(zhì)。假設(shè)不計(jì)損耗。 （1）對(duì)于300的平行雙線，若導(dǎo)線的半徑為0.6mm，則線間距應(yīng)選多少？ （2）對(duì)

26、于75的同軸線，若內(nèi)導(dǎo)體的半徑為0.6mm，則外導(dǎo)體的半徑應(yīng)選多少？ 解 （1）雙線傳輸線，設(shè)a為導(dǎo)體半徑，D為線間距，則有 即 故線間距 （2）同軸線傳輸線，設(shè)a為內(nèi)導(dǎo)體半徑，b為外導(dǎo)體內(nèi)半徑，則有 即 則外導(dǎo)體的內(nèi)半徑 7.15 試以傳輸線輸入端電壓和電流以及傳輸線的傳播系數(shù)和特性阻抗表示線上任意一點(diǎn)的電壓分布和電流分布。 （1）用指數(shù)形式表示； （2）用雙曲函數(shù)表示。 解 傳輸線上電壓和電流的通解形式為 ， 式中傳播系數(shù)和特性阻抗分別為 對(duì)于輸入端：，有 聯(lián)立求解得 可得 用雙曲函數(shù)表示 7

27、.16 一根特性阻抗為50、長(zhǎng)度為2m的無(wú)損耗傳輸線工作于頻率200MHz，終端接有阻抗，試求其輸入阻抗。 解 無(wú)損耗線的輸入阻抗 而 ， 所以 故 7.17 一根75的無(wú)損耗線，終端接有負(fù)載阻抗。 （1）欲使線上的電壓駐波比等于3，則和有什么關(guān)系？ （2）若，求等于多少？ （3）求在（2）情況下，距負(fù)載最近的電壓最小點(diǎn)位置。 解 (1) 由駐波比與反射系數(shù)的關(guān)系 對(duì)于無(wú)損耗線 即 所以 解得 （2）將代如上式，得 （3）終端反射系數(shù) 傳輸線的電壓分布 電壓的幅值 波節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在 第一波

28、節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在 即 解得 7.18 考慮一根無(wú)損耗傳輸線， （1）當(dāng)負(fù)載阻抗時(shí)，欲使線上駐波比最小，則線的特性阻抗應(yīng)為多少？ （2）求出該最小的駐波比及相應(yīng)的電壓反射系數(shù)。 （3）確定距負(fù)載最近的電壓最小點(diǎn)位置。 解 （1）因?yàn)? 駐波比S要最小，就要求反射系數(shù)最小。對(duì)于無(wú)損耗線 其最小值可由求得 故 （2）將代入反射系數(shù)公式，得 最小駐波比為 （3）終端反射系數(shù) 由上題的結(jié)論，電壓的第一個(gè)波節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足 即 解得 7.19 有一段特性阻抗為的無(wú)損耗線，當(dāng)終端短路時(shí)，測(cè)的始端的阻抗為 的感抗，求該傳輸線的最小長(zhǎng)

29、度；如果該線的終端為開路，長(zhǎng)度又為多少？ 解 （1）終端短路線的輸入阻抗為 即 所以 將 代入上式得傳輸線的長(zhǎng)度為 （2）終端開路線的輸入阻抗為 即 得 將 代入上式得傳輸線的長(zhǎng)度為 7.20 求如題7.20圖示的分布參數(shù)電路的輸入阻抗。 題7.20圖 解 設(shè)傳輸線無(wú)損耗，則輸入阻抗為 當(dāng)傳輸線

30、長(zhǎng)度時(shí) （阻抗變換性） 當(dāng)傳輸線長(zhǎng)度時(shí) （阻抗還原性） （a） （b）支節(jié)① 支節(jié)② 支節(jié)③ （c）支節(jié)① 支節(jié)② 支節(jié)③ （d）支節(jié)① 支節(jié)② 支節(jié)③ 7.21 求題7.20圖中各段的反射系數(shù)及駐波系數(shù)。 解 終端反射系數(shù) 反射系數(shù) 駐波系數(shù) (a) (b) 支節(jié)① 支節(jié)② 支節(jié)③ (c) 支節(jié)①、② 支節(jié)③ (d) 支節(jié)① 支節(jié)② 支節(jié)③ 7－24