數(shù)學(xué)理高考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與測(cè)試:第二部分 專(zhuān)題六 滿分示范課 Word版含解析

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1、 滿分示范課——函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具,重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì),如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論,復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論,函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論,恒成立和能成立問(wèn)題的討論等,是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn).對(duì)于這類(lèi)綜合問(wèn)題,一般是先求導(dǎo),再變形、分離或分解出基本函數(shù),再根據(jù)題意處理. 【典例】 (滿分12分)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ln x-. (1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn); (2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線y=ln x在點(diǎn)A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線. [規(guī)

2、范解答] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞). 因?yàn)閒′(x)=+>0, 所以f(x)在(0,1),(1,+∞)單調(diào)遞增. 因?yàn)閒(e)=1-<0,f(e2)=2-=>0, 所以f(x)在(1,+∞)有唯一零點(diǎn)x1(e

3、x在點(diǎn)A(x0,ln x0)處切線的斜率也是. 所以曲線y=ln x在點(diǎn)A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線. 高考狀元滿分心得 1.得步驟分:抓住得分點(diǎn)的步驟,“步步為贏”,求得滿分.如第(1)問(wèn)中,求導(dǎo)正確,判斷單調(diào)性.利用零點(diǎn)存在定理,定零點(diǎn)個(gè)數(shù).第(2)問(wèn)中,由f(x0)=0定切點(diǎn)B,求切線的斜率. 2.得關(guān)鍵分:解題過(guò)程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn),有則給分,無(wú)則沒(méi)分,如第(1)問(wèn)中,求出f(x)的定義域,f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)性的判斷;第(2)問(wèn)中,找關(guān)系ln x0=,判定兩曲線在點(diǎn)B處切線的斜率相等. 3.得計(jì)算分:解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證. 如

4、第(1)問(wèn)中,求導(dǎo)f′(x)準(zhǔn)確,否則全盤(pán)皆輸,判定f(x1)=-f=0;第(2)問(wèn)中,正確計(jì)算kAB等,否則不得分. [解題程序] 第一步:求f(x)的定義域,計(jì)算f′(x). 第二步:由f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理,判斷f(x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn)x0. 第三步:證明f=0,從而f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn). 第四步:由第(1)問(wèn),求直線AB的斜率k=. 第五步:求y=ex在點(diǎn)A、B處的切線斜率k=,得證. 第六步:檢驗(yàn)反思,規(guī)范解題步驟. [跟蹤訓(xùn)練] 1.已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.718 28….

5、 (1)證明:函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn); (2)求方程f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由; (1)證明:由題意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x, 所以h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3->0, 所以h(1)·h(2)<0, 所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn). (2)解:由(1)可知,h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x. 由g(x)=+x知x∈[0,+∞), 且h(0)=0,則x=0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn). 又h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn), 因此h(x)在[0,+∞)上至少有兩個(gè)零點(diǎn). h′(x)

6、=ex-x--1,記φ(x)=ex-x--1. 則φ′(x)=ex+x-, 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),φ′(x)>0,則φ(x)在(0,+∞)上遞增.易知φ(x)在(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn), 所以h(x)在[0,+∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn), 所以方程f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù)為2. 2.(2019·安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax+1(a∈R). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切,求證:對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)x1,x2,都有<+. (1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=+a=. 當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0

7、,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)=0,得x=-. 若x∈,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增; 若x∈,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減. 綜上:當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a<0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2)證明:由(1)知,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足條件. 當(dāng)a<0時(shí),f(x)的極大值為f=-ln(-a), 由已知得-ln(-a)=0,故a=-1, 此時(shí)f(x)=ln x-x+1. 不妨設(shè)01), 故g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減, 所以g(x)

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