《數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題六 滿分示范課 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題六 滿分示范課 Word版含解析(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
滿分示范課——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具,重點考查函數(shù)的一些性質(zhì),如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論,復(fù)雜函數(shù)零點的討論,函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論,恒成立和能成立問題的討論等,是近幾年高考試題的命題熱點.對于這類綜合問題,一般是先求導(dǎo),再變形、分離或分解出基本函數(shù),再根據(jù)題意處理.
【典例】 (滿分12分)(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ln x-.
(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點;
(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點,證明曲線y=ln x在點A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線.
[規(guī)
2、范解答] (1)f(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞).
因為f′(x)=+>0,
所以f(x)在(0,1),(1,+∞)單調(diào)遞增.
因為f(e)=1-<0,f(e2)=2-=>0,
所以f(x)在(1,+∞)有唯一零點x1(e
3、x在點A(x0,ln x0)處切線的斜率也是.
所以曲線y=ln x在點A(x0,ln x0)處的切線也是曲線y=ex的切線.
高考狀元滿分心得
1.得步驟分:抓住得分點的步驟,“步步為贏”,求得滿分.如第(1)問中,求導(dǎo)正確,判斷單調(diào)性.利用零點存在定理,定零點個數(shù).第(2)問中,由f(x0)=0定切點B,求切線的斜率.
2.得關(guān)鍵分:解題過程不可忽視關(guān)鍵點,有則給分,無則沒分,如第(1)問中,求出f(x)的定義域,f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)性的判斷;第(2)問中,找關(guān)系ln x0=,判定兩曲線在點B處切線的斜率相等.
3.得計算分:解題過程中計算準確是得滿分的根本保證.
如
4、第(1)問中,求導(dǎo)f′(x)準確,否則全盤皆輸,判定f(x1)=-f=0;第(2)問中,正確計算kAB等,否則不得分.
[解題程序] 第一步:求f(x)的定義域,計算f′(x).
第二步:由f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性與零點存在定理,判斷f(x)在(1,+∞)上有唯一零點x0.
第三步:證明f=0,從而f(x)在定義域內(nèi)有兩個零點.
第四步:由第(1)問,求直線AB的斜率k=.
第五步:求y=ex在點A、B處的切線斜率k=,得證.
第六步:檢驗反思,規(guī)范解題步驟.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.718 28….
5、
(1)證明:函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點;
(2)求方程f(x)=g(x)的根的個數(shù),并說明理由;
(1)證明:由題意可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x,
所以h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3->0,
所以h(1)·h(2)<0,
所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點.
(2)解:由(1)可知,h(x)=f(x)-g(x)=ex-1--x.
由g(x)=+x知x∈[0,+∞),
且h(0)=0,則x=0為h(x)的一個零點.
又h(x)在(1,2)內(nèi)有零點,
因此h(x)在[0,+∞)上至少有兩個零點.
h′(x)
6、=ex-x--1,記φ(x)=ex-x--1.
則φ′(x)=ex+x-,
當(dāng)x∈(0,+∞)時,φ′(x)>0,則φ(x)在(0,+∞)上遞增.易知φ(x)在(0,+∞)內(nèi)只有一個零點,
所以h(x)在[0,+∞)上有且只有兩個零點,
所以方程f(x)=g(x)的根的個數(shù)為2.
2.(2019·安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax+1(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切,求證:對于任意互不相等的正實數(shù)x1,x2,都有<+.
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=+a=.
當(dāng)a≥0時,f′(x)>0
7、,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時,由f′(x)=0,得x=-.
若x∈,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
若x∈,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
綜上:當(dāng)a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)證明:由(1)知,當(dāng)a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足條件.
當(dāng)a<0時,f(x)的極大值為f=-ln(-a),
由已知得-ln(-a)=0,故a=-1,
此時f(x)=ln x-x+1.
不妨設(shè)01),
故g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減,
所以g(x)