電磁場與電磁波（第4版）教學指導書 第6章 反射與透射

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1、 第6章 反射與透射 6.1基本內容概述 本章討論均勻平面波在不同媒質分界面上的反射與透射，主要內容為：均勻平面波對兩種不同媒質（包括：理想介質、一般導電媒質、理想導體）分界平面的垂直入射，均勻平面波對理想介質分界面的斜入射和均勻平面波對理想導體表面的斜入射。 6.1.1 電磁波對分界面的垂直入射 1．對導電媒質分界面的垂直入射 反射系數 (6.1) 透射系數 (6.2) 且 (6.3

2、) 在一般情況下，為復數，故和一般也為復數，這表明在分界面上的反射和透射將引入附加的相位移。 2．對理想導體平面的垂直入射 媒質1為理想介質，媒質2為理想導體，則，、，即產生全反射，媒質1中的合成波為駐波。 （6.4） （6.5） 合成波的特點：處為合成波電場的波節(jié)點和合成波磁場的波腹點；處為合成波電場的波腹點和合成波磁場的波節(jié)點；的駐波在時間上有的相移，在空間分布上錯開。 3．對理想介質分界面的垂直入射 反射系數和透射系數為實數，媒質1中的合成波的電場為

3、 （6.6） 合成波的電場最大值 （6.7） 出現位置 （n=0,1,2,3,…） (6.8) 合成波的電場最小值 （6.9） 出現位置 （n=0,1,2,3,…） (6.10) 駐波系數(駐波比) (6.11) 6.1.2 對三層介質分界平面的垂直入射 分界面1處的等效波阻抗 (6.

4、12) 分界面1處的反射系數 (6.13) 四分之一波長匹配層：在兩種不同介質之間插入一層厚度的介質，當時，有。 半波長介質窗：如果介質1和介質3是相同的介質，即，當介質2的厚度時，有。 6.1.3平面波對介質分界面的斜入射 1．反射定律與折射定律 斯涅爾反射定律 （6.14) 斯涅爾反射定律 （6.15) 式中：、分別為介質1和介質2的折射

5、率。 2．反射系數與折射系數 ① 垂直極化入射 （6.16) （6.17) 且 （6.18) ② 平行極化入射 （6.19) （6.20) 且 （6.21) 3．全反射 臨界角

6、 （6.22) 發(fā)生全反射的條件： 且 。 產生全反射時，，透射波沿分界面方向傳播，透射波的振幅在垂直于分界面的方向上呈指數衰減，形成表面波。 4．無反射 布儒斯特角 （6.23) 發(fā)生無反射的條件：在的情況下，當時，平行極化波無反射。 任意極化波以布儒斯特角入射到兩種介質（）分界面時，平行極化分量已全部透射了，反射波中只包含垂直極化分量。 圖 6.1 垂直極化波對理想導體平面的斜入射 圖 6.2 平行極化波對理想導體平面的斜入射 6.1.4 平面波對對理想

7、導體平面的斜入射 1．垂直極化入射 媒質1中的合成波電場和磁場 （6.24) （6.25) 合成波的特點： ① 合成波是沿平行于分界面的方向傳播的TE波 ② 合成波是非均勻平面波，其振幅在垂直于導體表面的方向（即方向）上呈駐波分布，而且合成波電場在處為零。 2．平行極化入射 媒質1中的合成波 （6.26) （6.27) 合成波的特點： ① 合成波是沿平行于分界面的方向傳

8、播的TM波 ② 合成波是非均勻平面波，其振幅在垂直于導體表面的方向（即方向）上呈駐波分布，而且合成波磁場在處達到最大值。 6.2教學基本要求及重點、難點討論 6.2.1 教學基本要求 均勻平面波對理想導體平面和對理想介質平面的垂直入射，是討論反射和折射問題的最基本、也是最簡單的情形，應掌握其分析方法和過程，理解所得結果表征的物理意義； 了解均勻平面波對多層媒質分界面垂直入射的分析方法，掌握四分之一波長匹配層和半波長介質窗的意義及其應用； 了解均勻平面波對分界面的斜入射問題的分析方法，理解斯涅爾反射定律和折射定律以及反射系數、透射系數的意義；理解全反射現象和無反射現象的概念，掌握其

9、產生的條件，了解其應用。 6.2.2 重點、難點討論 1．均勻平面波的反射和透射 電磁波在不同媒質分界面上的反射和透射是普遍而重要的現象。簡單的均勻平面波經反射后，將會出現波的疊加，形成駐波、混合波、表面波等，引入了許多新概念，是教學中的難點，特別是斜入射問題。 重點是掌握對分界面的垂直入射問題。關于對分界面的斜入射問題，重點掌握反射與透射的分析方法以及反射系數和透射系數的概念。 均勻平面波入射到無限大理想介質和理想導體平面的基本分析方法是根據電場強度、磁場強度和波矢量三者之間的關系，寫出入射波、反射波和透射波的數學表達式，然后利用分界面上電場強度切向分量和磁場強度切向分量的邊界條件

10、，以入射波的場強分量表達反射波場強分量和透射波場強分量，包括反射波、透射波的傳播方向和反射波、透射波的振幅，即反射系數與透射系數。 在分析均勻平面波對分界面的斜入射問題時，將入射波分為垂直極化入射波和平行極化入射波兩種情況來討論，這是因為入射波為垂直極化波時，反射波和透射波也只有垂直極化分量，而不可能產生平行極化分量；同樣，入射波為平行極化波時，反射波和透射波也只有平行極化分量，而不可能產生垂直極化分量。也就是說，這兩種極化波之間互不影響。任意極化波則分解為兩種極化波的疊加。 對于平行極化波的反射系數和透射系數的定義在不同的教材可能有差異。在本教材中是按反射波的總電場強度、透射波的總電場強

11、度與入射波的總電場強度來定義的，即 此時，反射系數和透射系數的關系為 另一種定義是按電場強度在分界面上的切向分量來定義平行極化入射的反射系數和透射系數，即 此時，反射系數和透射系數的關系為 這與垂直極化入射時與的關系相同。 應當強調的是，無論采用哪種定義，反射系數和透射系數都只是描述了入射波、反射波和透射波的電場強度在不同媒質分界面上的相互關系。不同定義的差異只是形式上的，并不會影響最終的場分布結果。 2．波的全反射現象 平面電磁波斜入射到理想導體表面上會發(fā)生全反射。在一定條件下，平面電磁波斜入射到理想介質分界面時也會發(fā)生全反射。這種全反射現象有重要意義和

12、實用價值，例如光纖通信就是根據全反射的原理實現的。 平面電磁波在理想介質分界面上的全反射與在理想導體表面上的全反射有所不同。在理想導體表面上發(fā)生的全反射，只有反射波，沒有透射波；而在理想介質分界面上發(fā)生全反射時，不僅有反射波，還存在透射波。那么應怎樣理解平面電磁波在理想介質分界面上的全反射呢? 平面電磁波在理想介質分界面上的全反射是反射系數的模等于1的一種反射與透射現象。當發(fā)生全反射時，透射波是只存在于分界面的第二種介質一側的薄層內、沿分界面方向傳播的所謂表面波。因此，從某種意義上說，這時并不存在通常意義上的透射波。 當平面波從稠密媒質（介電常數相對較大的介質）入射到稀疏媒質（介電常數相

13、對較小的介質），且入射角等于臨界角，即=時，，有 即產生全反射。 而當>，即時，平行極化入射波的反射系數 式中 垂直極化入射波的反射系數 式中 可見，當時，無論入射波是平行極化還是垂直極化，反射系數的模都等于1，表明發(fā)生了全反射，只是反射系數的幅角不相等，即。 對于垂直極化入射波，當發(fā)生全反射時，透射波電場強度為 則透射波磁場強度為 則透射波的平均坡印廷矢量 因此，折射波平均能流密度只有分量，沿方向透入媒質2中的平均能流密度為零。但其瞬時值并不為零，說明這時媒質2起著吞吐電磁能量的作用。在前半個周期內，電磁能量透入媒質2，在界面附近薄層內儲

14、存起來，在后半個周期內，該能量被釋放出來變?yōu)榉瓷洳芰?。這就使得透射波成為衰減波的原因。這種衰減不同于導電媒質中存在的衰減，導電媒質中存在著傳導電流，必然有電磁能量損耗，從而造成波的衰減。在全反射時，媒質2中不存在傳導電流，所以波的衰減只是由于透入的電磁能流不斷有所返回造成的．兩者有本質的區(qū)別。 6.3 習題解答 6.1 有一頻率為100MHz、沿方向極化的均勻平面波從空氣（區(qū)域）中垂直入射到位于的理想導體板上。設入射波電場的振幅為，試求： （1）入射波電場和磁場的復矢量； （2）反射波電場和磁場的復矢量； （3）合成波電場和磁場的復矢量； （4）距離導體平面最近的合成波電場為零

15、的位置； （5）距離導體平面最近的合成波磁場為零的位置。 解 （1） 則入射波電場和磁場的復矢量分別為 （2）反射波電場和磁場的復矢量分別為 （3）合成波電場和磁場的復矢量分別為 （4）對于，當時，。而在空氣中，第一個零點發(fā)生在處，即 （5）對于，當，即時為磁場在空氣中的第一個零點。 6.2 一均勻平面波沿方向傳播，其電場強度矢量為 V/m （1）應用麥克斯韋方程求相伴的磁場； （2）若在波傳播方向上處放置一無限大的理想導體板，求區(qū)域中的合成波電場和磁場； （3）求理想導體板表面的電流密度。 解 （1）將已知的電場寫成復數

16、形式 由得 寫成瞬時值表示式 （2）均勻平面波垂直入射到理想導體平面上會產生全反射，反射波的電場為 即區(qū)域內的反射波電場為 與之相伴的反射波磁場為 至此，即可求出區(qū)域內的總電場和總磁場。 故 同樣 故 （3）理想導體平面上的電流密度為 6.3 均勻平面波的頻率為16GHz，在聚苯乙烯（、、）中沿方向傳播，在cm處遇到理想導體，求： （1）電場的位置； （2）聚苯乙烯中和的比值。 解 （1）令，設電場振動方向為，則在聚苯乙烯中的電場為 故的位置為 即 將、、代入

17、，則有 故 （2）聚苯乙烯中的磁場 所以 6.4 均勻平面波的電場振幅為100V/m，從空氣中垂直入射到無損耗介質平面上（介質的、、），求反射波與透射波的電場振幅。 解 反射系數為 透射系數為 故反射波的電場振幅為 透射波的電場振幅為 題6.5圖 6.5 設一電磁波，其電場沿方向、頻率為1GHz、振幅為100V/m、初相位為零，垂直入射到一無損耗介質表面（），如題6.5圖所示。 （1）求每一區(qū)域中的波阻抗和傳播常數； （2）分別求兩區(qū)域中的電場、磁場的瞬時形式。 解 （1）波阻抗 得 對于無損耗

18、介質 得 （2）區(qū)的入射波為 反射波為 故合成波為 Ⅱ區(qū)只有透射波 6.6 均勻平面波從媒質1入射到與媒質2的平面分界面上，已知、。求使入射波的平均功率的10%被反射時的的值。 解 由題意得下列關系 而 代入中，得 或 故 或 6.7 入射波電場 V/m，從空氣（區(qū)域）中垂直入射到的分界面上，在區(qū)域中、、。求區(qū)域的電場和磁場。 解 區(qū)域，本征阻抗 透射系數 相位常數 故 6.8 已知區(qū)域中媒質1的、、，區(qū)域中媒質2的、、，角頻率的均勻平

19、面波從媒質1垂直入射到分界面上。設入射波是沿軸方向的線極化波，在、時，入射波電場振幅為2.4V/m。求： (1) 和； (2) 反射系數； (3) 媒質1的電場； (4) 媒質2的電場； (5) ns時，媒質1中的磁場的值。 解 （1） （2） 故 （3）電場方向為，則 故 或 （4） 式中 故 （5） 當、時 6.9 一圓極化波自空氣中垂直入射于一介質板上，介質板的本征阻抗為。入射波電場為。求反射波與透射波的電場

20、，它們的極化情況如何？ 解 設媒質1為空氣，其本征阻抗為，故分界面上的反射系數和透射系數分別為 式中 都是實數，故也是實數。 反射波的電場為 可見，反射波的電場的兩個分量的振幅仍相等，相位關系與入射波相比沒有變化，故反射波仍然是圓極化波。但波的傳播方向變?yōu)?z方向，故反射波也變?yōu)橛倚龍A極化波。而入射波是沿+z方向傳播的左旋圓極化波。 透射波的電場為 式中，是媒質2中的相位常數?？梢?，透射波是沿+z方向傳播的左旋圓極化波。 6.10 證明：均勻平面波從本征阻抗為的無耗媒質垂直入射至另一種本征阻抗為的無耗媒質的平面上，兩種媒質中功率密度的時間平均值相等。 解

21、 設磁場傳播方向為，媒質1中的功率密度平均值為 媒質2中的功率密度平均值為 所以 將代入上式，可得到，故 6.11 均勻平面波垂直入射到兩種無損耗電介質分界面上，當反射系數與透射系數的大小相等時，其駐波比等于多少？ 解 由題意有下列關系 由此可得 即 故駐波系數 由，還可得到 若媒質得磁導率，則可得到 6.12 均勻平面波從空氣垂直入射到某電介質平面時，空氣中的駐波比為，介質平面上為駐波電場最小點，求電介質的介電常數。 解 根據題意有 由此求得 因介質平面上是駐波最小點，故應取 由反射系數 得

22、 故電介質的介電常數 6.13 均勻平面波從空氣中垂直入射到理想電介質（、、）表面上。測得空氣中駐波比為2，電場振幅最大值相距，且第一個最大值距離介質表面。試確定電介質的相對介電常數。 解 由 ，得，所以電場振幅第一個最大值距離介質表面，故反射系數。 由，得到 又 故得到 6.14 的區(qū)域1和的區(qū)域2都是理想電介質，頻率的均勻平面波沿方向傳播，在兩種電介質中的波長分別為和。（1）計算入射波能量被反射的百分比；（2）計算區(qū)域1中的駐波比。 解 （1）在理想電介質中 由 得

23、反射系數 故入射波能量被反射的百分比為 （2）區(qū)域1中的駐波比為 6.15 頻率的均勻平面波由空氣中垂直入射到海平面上，已知海水的、、。試確定入射功率被海平面反射的百分比。 解 ，可視為良導體，則 反射系數 故入射波功率被海平面反射的百分比為 6.16 均勻平面波的電場強度為，此波從空中垂直入射到、損耗角正切為的導電媒質表面上，如題6.16圖所示。 （1）求反射波和透射波的電場與磁場的瞬時表達式； （2）求空氣中及損耗媒質中的時間平均坡印廷矢量。 解（1）根據已知條件求得如下參數。 在空氣中 在導電耗媒質中 分

24、界面上的反射系數為 透射系數為 故反射波的電場和磁場的復數表示式為 則其瞬時表示式為 而媒質2中的透射波電場和磁場為 故其瞬時表示式為 （2） 6.17 為自由空間，的區(qū)域中為導電媒質（、及）。均勻平面波垂直入射到分界面上，。求： (1) 和； (2) 分界上的反射系數； (3) 反射波電場； (4) 透射波電場。 解 （1）由題意1區(qū)為自由空間，2區(qū)為損耗媒質。則 （2） 反射系數 （3） （4） 式中 所以 6.18 在自由空

25、間（）中沿+z方向傳播的均勻平面波，垂直入射到處的導體平面上。導體的電導率、。自由空間電磁波的頻率f=1.5MHz、電場振幅為1V/m。在分界面()處，E由下式給出 對于的區(qū)域，求。 解 在導體中 可見，在f=1.5MHz的頻率該導體可視為良導體。故 分界面上的透射系數為 入射波電場的復數表示式可寫為 則z>0區(qū)域的透射波電場的復數形式為 與之相伴的磁場為 則 題6.19圖 6.19 如題6.19圖所示，區(qū)域的媒質介電常數為，在此媒質前置有厚度為、介電常數為的介質板。對于一個從左面垂直入射來的TEM波，證明當、時（為自

26、由空間的波長），沒有反射。 解 媒質1中的波阻抗為 （1） 媒質2中的波阻抗為 （2） 當時，由式（1）和（2）得 （3） 而分界面（即）處的等效波阻抗為 當、即時 （4） 分界面處的反射系數為 （5） 將式（3）和（4）代入式（5），則得 即時，分界面處無反射。 6.20 均勻平面波

27、從空氣中垂直入射到厚度的聚丙烯（、、）平板上。（1）計算入射波能量被反射的百分比；（2）計算空氣中的駐波比。 解 （1），， 反射面處的等效波阻抗為 反射系數 故入射波能量被反射的百分比為 （2） 空氣中的駐波比為 6.21 最簡單的天線罩是單層介質板。若已知介質板的介電常數，問介質板的厚度應為多少方可使頻率為3GHz的電磁波垂直入射到介質板面時沒有反射。當頻率分別為3.1GHz及2.9GHz時，反射增大多少？ 解 通常天線罩的內、外都是空氣，即，無反射的條件為 頻率f0=3GHz時 則介質板的厚度應為 當頻率偏移到f=3.1GHz時，

28、 故 而 故此時的等效波阻抗為 反射系數為 反射功率密度與入射功率密度之比為 即頻率偏移到3.1GHz時，反射功率將增大0.36%。 當頻率偏移到f=2.9GHz時， 故 故此時的等效波阻抗為 反射系數為 反射功率密度與入射功率密度之比為 即頻率下偏到時，反射功率將增加約0.25%。 6.22 題6.22圖所示隱身飛機的原理示意圖。在表示機身的理想導體表面覆蓋一層厚度的理想介質膜，又在介質膜上涂一層厚度為d2的良導體材料。試確定消除電磁波從良導體表面上反射的條件。 解 題6.22圖中，區(qū)域（1）為空氣，其波阻抗為 區(qū)

29、域（2）為良導體，其波阻抗為 區(qū)域（3）為理想介質，其波阻抗為 區(qū)域（4）為理想導體，其波阻抗為 分界面②上的等效波阻抗為 分界面①上的等效波阻抗為 （1） 式中的是良導體中波的傳播常數，為雙曲正切函數。 由于良導體涂層很薄，滿足，故可取，則式（1）變?yōu)? （2） 分界面③上的反射系數為 欲使區(qū)域（1）中無反射，必須使 故由式（2）得 （3）

30、 將良導體中的傳播常數和波阻抗代入式（3），得 這樣，只要取理想介質層的厚度，而良導體涂層的厚度，就可消除分界面①上的反射波。即雷達發(fā)射的電磁波從空氣中投射到分界面③時，不會產生回波，從而實現飛機隱身的目的。此結果可作如下的物理解釋：由于電磁波在理想導體表面（即分界面③上產生全反射，則在離該表面處（即分界面②出現電場的波腹點。而該處放置了厚度為d2的良導體涂層，從而使電磁波大大損耗，故反射波就趨于零了。 6.23 均勻平面波從空氣中以的入射角進入折射率為的玻璃中，試分別就下列兩種情況計算入射波能量被反射的百分比： （1）入射波為垂直極化波； （2）入射波為平行極化波。 解 （1

31、）入射波為垂直極化波時，反射系數 入射波能量被反射的百分比為 （2）入射波為平行極化波時，反射系數 入射波能量被反射的百分比為 6.24 垂直極化的均勻平面波從水下以入射角投射到水與空氣的分界面上，已知淡水的、、。試求： （1）臨界角； （2）反射系數及透射系數； （3）透射波在空氣中傳播一個波長的距離的衰減量（以dB表示）。 解 （1）臨界角為 （2）反射系數為 透射系數為 （3）由于，故此時將產生全反射。由斯涅爾折射定律得 此時 故空氣中的透射波電場的空間變化因子為 由上式即得透射波傳播一個波長時的衰減量為

32、 6.25 均勻平面波從、的理想電介質中斜入射到與空氣的分界面上。試求：（1）希望在分界面上產生全反射，應該采取多大的入射角；（2）若入射波是圓極化波，而只希望反射波成為單一的直線極化波，應以什么入射角入射？ 解 （1）均勻平面波是從稠密媒質（）入射到稀疏媒質（），若取入射角大于（或等于）臨界角（），就可產生全反射。 故取時可產生全反射。 （2） 圓極化波可分解為平行極化和垂直極化兩個分量，當入射角等于布儒斯特角時，平行極化分量就產生全透射，這樣，反射波中只有單一的垂直極化分量。即 6.26 頻率的均勻平面從媒質1（、、）斜入射到媒質2（、、）。（1）若入射波是垂直極

33、化波，入射角，試問在空氣中的透射波的傳播方向如何？相速是多少？（2）若入射波是圓極化波，且入射角，試問反射波是什么極化波？ 解 （1）先計算臨界角 可見，，垂直極化波的入射波要產生全反射。據折射定律，得 可見，沒有實數解，為虛數，即 透射波的波數為 透射波的波矢量為 故透射波的電場為 即透射波沿分界面方向傳播（表面波），其相速為 （2）當入射波是圓極化波時，入射角臨界角，故有，，即垂直極化分量和水平極化分量都產生全反射。但反射系數的幅角分別為 故反射波是橢圓極化波。 6.27 一垂直極化波從水中以角入射到水和空氣的分界面上，設水的

34、參數為：、、。若、時，入射波電場，試求空氣中的電場值：（1）在分界面上；（2）離分界面處。 解 平面波從水（）中入射到空氣（），臨界角為 可見，入射角（）大于臨界角（），將產生全反射。根據折射定律，得 （1） 可見，無實數解，為虛數，即 （2） 而垂直極化波斜入射時，透射波的電場為 （3） 將式（1）和（2）代入式（3），得 （4） 式（4）中的透射系數為 （1）分界面上的電場值為 （

35、2）距分界面處的電場值為 6.28 一個線極化均勻平面波從自由空間斜入射到、、的理想介質分界面上，如果入射波的電場與入射面的夾角為45o。試求： （1）入射角為何值時，反射波為垂直極化波； （2）此時反射波的平均功率是入射波的百分之幾？ 解 （1）由已知條件知入射波中包括垂直極化分量和平行極化分量，且兩分量的大小相等，均為。當入射角等于布儒斯特角時，平行極化波將無反射，反射波中就只有垂直極化分量。所以 （2）當時，垂直極化分量的反射系數為 故反射波的平均能流密度為 而入射波的平均能流密度為 故得到反射波的平均功率與入射波的百分比 6.29 有一正弦

36、均勻平面波由空氣斜入射到位于的理想導體平面上，其電場強度的復數形式為 。求 （1）入射波的頻率與波長； （2）和的瞬時表達式 （3）入射角； （4）反射波的和； （5）總場的和。 解 （1）由已知條件知入射波的波矢量為 故波長為 頻率為 （2）入射波傳播方向的單位矢量為 入射波的磁場復數表示式為 則得其瞬時表示式 而電場的瞬時表示式為 （3）由，得 故 （4）據斯耐爾反射定律知，反射波的波矢量為 而垂直極化波 對理想導體平面斜入射時，反射系數。故反射波的電場為 與之相伴的磁場為 （

37、5）合成波的電場為 合成波的磁場為 6.30 頻率的平行極化正弦均勻平面波，在空氣（的區(qū)域）中以入射角斜入射到處的理想導體表面。設入射波磁場的振幅為、方向為方向，如題6.30圖所示。 （1）求出入射波、反射波的電場和磁場表達式； （2）求理想導體表面上的感應電流密度和電荷密度； （3）求空氣中的平均功率密度。 解 （1）設入射波磁場為 其中 入射波的電場為 反射波的磁場為 （2）空氣中合成波的磁場為 理想導體表面的電流密度為 空氣中合成波的電場為 理想導體表面的電荷密度為 （3） 6－29.