高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第三節(jié)數(shù)列的極限

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1、第三節(jié) 數(shù)列的極限 極限思想是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法----割圓術(shù)（參看光盤演示）, 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. 又如，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在《莊子.天下篇》一書(shū)中對(duì)“截丈問(wèn)題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬(wàn)世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想. 極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法. 本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.

2、 分布圖示 ★ 極限概念的引入 ★ 數(shù)列的定義 ★ 數(shù)列的極限 ★ 數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 收斂數(shù)列的有界性 ★ 極限的唯一性 ★ 例9 ★ 收斂數(shù)列的保號(hào)性 ★ 子數(shù)列的收斂性 ★ 內(nèi)容小結(jié)

3、 ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 1-3 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、數(shù)列的定義 二、數(shù)列的極限 論證法，其論證步驟為： （1）對(duì)于任意給定的正數(shù), 令 ； （2）由上式開(kāi)始分析倒推, 推出 ； （3）取 ，再用語(yǔ)言順述結(jié)論. 三、收斂數(shù)列的有界性 四、極限的唯一性 五、收斂數(shù)列的保號(hào)性 六、子數(shù)列的收斂性 例題選講 數(shù)列的極限 例1 (E01)下列各數(shù)列是否收斂, 若收斂, 試指出其收斂于何值. (1);

4、(2); (3); (4). 解 (1)數(shù)列即為 易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 也無(wú)限增大, 故該數(shù)列是發(fā)散的; (2)數(shù)列即為 易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于0, 故該數(shù)列是收斂于0; (3)數(shù)列即為 易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 無(wú)休止地反復(fù)取1、-1兩個(gè)數(shù),而不會(huì)接近于任何一個(gè)確定的常數(shù),故該數(shù)列是發(fā)散的; (4)數(shù)列即為 易見(jiàn),當(dāng)無(wú)限增大時(shí), 無(wú)限接近于1, 故該數(shù)列是收斂于1. 例2 (E02) 證明 證 由，故對(duì)任給要使只要即所以，若取則當(dāng)時(shí)，就有 即

5、 例3 設(shè)(為常數(shù))，證明 證 因?qū)θ谓o對(duì)于一切自然數(shù)恒有所以， 即：常數(shù)列的極限等于同一常數(shù). 注：用定義證數(shù)列極限存在時(shí)，關(guān)鍵是：對(duì)任意給定的尋找但不必要求最小的 例4 證明其中 證 任給若則若欲使 必須即故對(duì)任給若取則當(dāng)時(shí)，就有 從而證得 例5 設(shè)且求證 證 任給由 要使即要 對(duì)當(dāng)時(shí)， 從而當(dāng)時(shí)，恒有故 例6 用數(shù)列極限定義證明 證 由于只要解得 因此，對(duì)任給的取則時(shí)， 成立， 即

6、 例7 (E03) 用數(shù)列極限定義證明 證 由于，要使只要即因此，對(duì)任給的取當(dāng)時(shí)，有 即 例8 (E04) 證明：若則存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)，不等式成立. 證 因由數(shù)列極限的定義知，對(duì)任給的存在當(dāng)時(shí)，恒有由于故時(shí)，恒有 從而有由此可見(jiàn)，只要取則當(dāng)時(shí)，恒有 . 證畢. 例9 (E05) 證明數(shù)列是發(fā)散的 證 設(shè)由定義，對(duì)于使得當(dāng)時(shí)，恒有即當(dāng)時(shí)，區(qū)間長(zhǎng)度為1.而無(wú)休止地反復(fù)取1，－1兩個(gè)數(shù)，不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1地區(qū)間. 因此改數(shù)列是發(fā)散的. 證畢. 注：此例同時(shí)也表明：有界數(shù)列不一定收斂. 課堂練習(xí) 1．設(shè) 證明數(shù)列 的極限是0.