2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.6 圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練 文

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1、 命題角度5.6:圓錐曲線的探究、存在性問題 1.已知橢圓C:經(jīng)過點(diǎn),離心率,直線的方程為 . (1)求橢圓的方程; (2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的任一直線(不經(jīng)過點(diǎn))與橢圓交于兩點(diǎn),,設(shè)直線與相交于點(diǎn),記的斜率分別為,問:是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)為定值. 試題解析: (1)由點(diǎn)在橢圓上得, ① ② 由 ①②得,故橢圓的方程為. (2)由題意可設(shè)的斜率為,則直線的方程為 ③ 代入橢圓方程并整理得 設(shè),則有 ④ 在方程③中,令得,,從而 .又因?yàn)楣簿€,則有, 即有 所以 = ⑤ 將④代入⑤得

2、,又, 所以 為定值. 點(diǎn)睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問題,弦長(zhǎng)問題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用. 2.已知橢圓:(),以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn),,是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn). (1)求圓的方程和橢圓的離心率; (2)設(shè),分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)(,位于軸兩側(cè)),且直線與軸平行,直線,分別與軸交于點(diǎn),,試判斷與所在的直線是否互相

3、垂直,若是,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不是,也請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)與所在的直線互相垂直. 試題解析:(1)由橢圓定義可得,又且,解得,, 則圓的方程為,橢圓的離心率. (2)如圖所示,設(shè)(),,則 即 又由:,得. 由:,得. 所以 ,, 所以, 所以,即與所在的直線互相垂直. 點(diǎn)睛:本題考查橢圓方程和圓方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的定義和基本量的關(guān)系,考查定值問題的解法,注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì),向量垂直的條件:數(shù)量積為0,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,求交點(diǎn),考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題. 3.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,且離心率為,點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn), 內(nèi)

4、切圓面積的最大值為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng)分別交直線于兩點(diǎn),以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)和. 【解析】試題分析:(1)首先設(shè),然后根據(jù)離心率得到與的關(guān)系,再根據(jù)三角形面積取得最大值時(shí)點(diǎn)為短軸端點(diǎn),由此求得的值,從而求得橢圓方程;(2)首先設(shè)出直線的方程,并聯(lián)立橢圓方程,然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得定點(diǎn)坐標(biāo). (2)設(shè)直線的方程為, , ,聯(lián)立可得 ,則, , 直線的方程為,直線的方程為, 則, , 假設(shè)為直徑的圓是否恒過定

5、點(diǎn), 則, , , 即, 即, , 即,若為直徑的圓是否恒過定點(diǎn),即不論為何值時(shí), 恒成立,因此, , 或,即恒過定點(diǎn)和. 考點(diǎn):1、橢圓的幾何性質(zhì);2、直線與橢圓的位置關(guān)系;3、向量數(shù)量積的運(yùn)算. 【方法點(diǎn)睛】求解圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題的方法有兩種:一是研究一般情況,通過邏輯推理與計(jì)算得到定點(diǎn)或定值,這種方法難度大,運(yùn)算量大,且思路不好尋找;另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)或定值,然后驗(yàn)證,這樣在整理式子或求值時(shí)就有了明確的方向. 4.已知橢圓的離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線的斜率分別為

6、. (1)求橢圓的方程; (2)當(dāng)變化時(shí),①求的值;②試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】試題分析:(1)由題設(shè)知, , ,又,解得,由此可得求橢圓的方程;(2)①,則有,化簡(jiǎn)得,對(duì)于直線,同理有,于是是方程的兩實(shí)根,故,即可證明結(jié)果;②考慮到時(shí), 是橢圓的下頂點(diǎn), 趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故若過定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在軸上. 由,得,于是有,直線的斜率為,直線的方程為,令,得,即可證明直線過定點(diǎn). 試題解析:(1)由題設(shè)知, , ,又, 解得. 故所求橢圓的方程是. 由,得,于是有. 直線的斜率為, 直線的方程為

7、, 令,得, 故直線過定點(diǎn). 5. 已知⊙: 與⊙: ,以, 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓: 經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)。 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)、是橢圓上的兩點(diǎn),若直線與的斜率之積為,試問的面積是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)的面積為定值3. 【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)兩圓的交點(diǎn)為,依題意有解得,進(jìn)而得; (Ⅱ)討論斜率不存在和斜率存在時(shí)兩種情況,設(shè)直線的方程為, , ,直線與橢圓聯(lián)立得, ,由,得,表示面積即可得定值. 試題解析: (Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè) 又 設(shè)直線的方程為, , , 由,得, 由,得 (*

8、) 且, , ∴ ∵,∴, 整理得, 代入(*)得, ∵ 原點(diǎn)到直線的距離 ∴(定值)。 綜上所述, 的面積為定值3. 點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似,在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù),運(yùn)用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 6.已知橢圓()的左、右頂點(diǎn)分別為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn), 為線段的中點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓的交于兩點(diǎn),已

9、知直線與相交于點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在定直線上?若是,請(qǐng)求出定直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析 試題解析: (Ⅰ)設(shè)點(diǎn),由題意可知: ,即 ① 又因?yàn)闄E圓的離心率,即 ② 聯(lián)立方程①②可得: ,則 所以橢圓的方程為. (Ⅱ)方法一:根據(jù)橢圓的對(duì)稱性猜測(cè)點(diǎn)是與軸平行的直線上. 假設(shè)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線的方程為,此時(shí)點(diǎn) , 則聯(lián)立直線和直線可得點(diǎn) 據(jù)此猜想點(diǎn)在直線上,下面對(duì)猜想給予證明: 設(shè),聯(lián)立方程可得: 由韋達(dá)定理可得, (*) 因?yàn)橹本€, , 聯(lián)立兩直線方程得(其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo))即證: , 即,即證

10、 將(*)代入上式可得 此式明顯成立,原命題得證.所以點(diǎn)在定直線上上. 方法二:設(shè), 兩兩不等, 因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以, 整理得: 又三點(diǎn)共線,有: ① 又三點(diǎn)共線,有: ② 將①與②兩式相除得: 即, 將即代入得: 解得(舍去)或,所以點(diǎn)在定直線上. 方法三:顯然與軸不垂直,設(shè)的方程為, . 由得. 設(shè), 兩兩不等, 則, , 由三點(diǎn)共線,有: ① 由三點(diǎn)共線,有: ② ①與②兩式相除得: 解得(舍去)或,所以點(diǎn)在定直線上. 點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少,或者將該問題

11、涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似,在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù),運(yùn)用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 7.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓(),圓(),若圓的一條切線與橢圓相交于兩點(diǎn). (1)當(dāng), 時(shí),若點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上,求橢圓的方程; (2)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),探究是否滿足,并說(shuō)明理由. 【答案】(1)(2) 【解析】試題分析:(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得,由點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上,即可求得和的值,求得橢圓方程;(2)由以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),可得,即,由在直線上,可將用表示,然后聯(lián)立

12、直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理得,化簡(jiǎn)可得結(jié)論. 試題解析:(1)∵直線與相切,∴. 由, ,解得. ∵點(diǎn)都在坐標(biāo)軸正半軸上, ∴. ∴切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為, . ∴, . ∴橢圓的方程是. (2)的關(guān)系滿足. 證明如下:設(shè), ∵以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn), ∴,即. ∵點(diǎn)在直線上, ∴. ∴ (*) 由消去,得. 即 顯然 ∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得 代入(*)式,得. 整理,得. 又由(1),有. 消去,得 ∴ ∴滿足等量關(guān)系. 點(diǎn)睛:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系之相切以及直線與橢圓的位置關(guān)系之相交與韋達(dá)定理相結(jié)合,計(jì)算

13、量較大,由一定難度;由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得橢圓中的, 的值,即可得橢圓的方程,對(duì)于第二問主要用到直徑所對(duì)的圓周角為直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為,由直線相交得與的關(guān)系,最后用到最常見的直線與橢圓相交聯(lián)立方程組與韋達(dá)定理結(jié)合,得. 8..已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)是橢圓上的點(diǎn),直線與(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為.若動(dòng)點(diǎn)滿足,試探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)見解析. 【解析】試題分析:(Ⅰ)利用橢圓的離心率計(jì)算公式和點(diǎn)在橢圓上列方程組求解即可得出. (Ⅱ)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)在橢圓上滿足

14、橢圓的方程、斜率計(jì)算公式及其橢圓的定義即可得出. 試題解析: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn) ∴ 解得:, 所以橢圓的方程為. 設(shè),分別為直線與的斜率,由題意知, ,因此 所以, 所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn), 所以由橢圓的定義知存在點(diǎn),滿足為定值 又因?yàn)椋? 所以坐標(biāo)分別為、. 9.已知右焦點(diǎn)為的橢圓與直線相交于、兩點(diǎn),且. (1)求橢圓的方程; (2)為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 是橢圓上不同的三點(diǎn),并且為的重心,試探究的面積是否為定值,若是,求出這個(gè)定值;若不是,說(shuō)明理由. 【答案】(1) ;(2)是, . 【解析】(1)設(shè), ,則 , ,即,① ,

15、 ,即,② 由①②得, 又, , 橢圓的方程為. (2)設(shè)直線方程為: , 由得, 為重心, , 點(diǎn)在橢圓上,故有, 可得, 而, 點(diǎn)到直線的距離(是原點(diǎn)到距離的3倍得到), , 當(dāng)直線斜率不存在時(shí), , , , 的面積為定值. 10.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為. (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程; (2)已知為定直線上一點(diǎn). ①過點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)(不在軸上),求證:直線與的斜率之積是定值; ②若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn),線段上的點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線上. 【答案】(1)(2)①直線與的斜

16、率之積為定值. ②點(diǎn)在定直線上. 【解析】試題分析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可;(2), ①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值; ②令,則,代入橢圓,消元即可證明點(diǎn)在定直線上. 試題解析:(1)設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離, 由,得,化簡(jiǎn)得, 即點(diǎn)在軌跡的方程為; . ②令,則, 令點(diǎn),則, 即,即 由①×③,②×④,得, 因?yàn)樵跈E圓上,所以, ⑤×2+⑥×3,得 ,即, 所以點(diǎn)在定直線上. 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題.求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用;涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出,再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用. - 20 -

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