2018年高考數(shù)學 命題角度5.6 圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練 文

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1、 命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問題 1.已知橢圓C：經(jīng)過點，離心率，直線的方程為 ． （1）求橢圓的方程； （2）經(jīng)過橢圓右焦點的任一直線（不經(jīng)過點）與橢圓交于兩點，，設直線與相交于點，記的斜率分別為，問：是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）為定值. 試題解析： （1）由點在橢圓上得， ① ② 由 ①②得，故橢圓的方程為. （2）由題意可設的斜率為，則直線的方程為 ③ 代入橢圓方程并整理得 設，則有 ④ 在方程③中，令得，，從而 .又因為共線，則有， 即有 所以 = ⑤ 將④代入⑤得

2、，又， 所以 為定值. 點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用． 2.已知橢圓：（），以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過橢圓左右兩個焦點，，是橢圓的長軸端點． （1）求圓的方程和橢圓的離心率； （2）設，分別是橢圓和圓上的動點（，位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點，，試判斷與所在的直線是否互相

3、垂直，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，也請說明理由． 【答案】（1）;（2）與所在的直線互相垂直． 試題解析：（1）由橢圓定義可得，又且，解得，， 則圓的方程為，橢圓的離心率． （2）如圖所示，設（），，則 即 又由：，得． 由：，得． 所以 ，， 所以， 所以，即與所在的直線互相垂直． 點睛：本題考查橢圓方程和圓方程的求法，注意運用橢圓的定義和基本量的關(guān)系，考查定值問題的解法，注意運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題. 3.橢圓的左、右焦點分別為，且離心率為，點為橢圓上一動點， 內(nèi)

4、切圓面積的最大值為. （1）求橢圓的方程； （2）設橢圓的左頂點為，過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，連接并延長分別交直線于兩點，以為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由. 【答案】（1）；（2）和． 【解析】試題分析：（1）首先設，然后根據(jù)離心率得到與的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積取得最大值時點為短軸端點，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，然后利用韋達定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算求得定點坐標． （2）設直線的方程為， ， ，聯(lián)立可得 ，則， ， 直線的方程為，直線的方程為， 則， ， 假設為直徑的圓是否恒過定

5、點， 則， ， ， 即， 即， ， 即，若為直徑的圓是否恒過定點，即不論為何值時， 恒成立，因此， ， 或，即恒過定點和． 考點：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、向量數(shù)量積的運算． 【方法點睛】求解圓錐曲線中的定點與定值問題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過邏輯推理與計算得到定點或定值，這種方法難度大，運算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點或定值，然后驗證，這樣在整理式子或求值時就有了明確的方向． 4.已知橢圓的離心率為，四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（不同于點），直線的斜率分別為

6、. （1）求橢圓的方程； （2）當變化時，①求的值；②試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）由題設知， ， ，又，解得，由此可得求橢圓的方程；（2）①，則有，化簡得，對于直線，同理有，于是是方程的兩實根，故，即可證明結(jié)果；②考慮到時， 是橢圓的下頂點， 趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上. 由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點. 試題解析：（1）由題設知， ， ，又， 解得. 故所求橢圓的方程是. 由，得，于是有. 直線的斜率為， 直線的方程為

7、， 令，得， 故直線過定點. 5. 已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點的橢圓： 經(jīng)過兩圓的交點。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）、是橢圓上的兩點，若直線與的斜率之積為，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由。 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3. 【解析】試題分析：（Ⅰ）設兩圓的交點為，依題意有解得，進而得； （Ⅱ）討論斜率不存在和斜率存在時兩種情況，設直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯(lián)立得， ，由，得，表示面積即可得定值. 試題解析： （Ⅱ）當直線的斜率不存在時，設 又 設直線的方程為， ， ， 由，得， 由，得 （*

8、） 且， ， ∴ ∵，∴， 整理得， 代入（*）得， ∵ 原點到直線的距離 ∴（定值）。 綜上所述， 的面積為定值3. 點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 6.已知橢圓（）的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，離心率為，點， 為線段的中點. （1）求橢圓的方程； （2）若過點且斜率不為0的直線與橢圓的交于兩點，已

9、知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析 試題解析: （Ⅰ）設點，由題意可知： ，即 ① 又因為橢圓的離心率，即 ② 聯(lián)立方程①②可得： ，則 所以橢圓的方程為． （Ⅱ）方法一：根據(jù)橢圓的對稱性猜測點是與軸平行的直線上． 假設當點為橢圓的上頂點時，直線的方程為，此時點 ， 則聯(lián)立直線和直線可得點 據(jù)此猜想點在直線上，下面對猜想給予證明： 設，聯(lián)立方程可得： 由韋達定理可得， （*） 因為直線， ， 聯(lián)立兩直線方程得（其中為點的橫坐標）即證： ， 即，即證

10、 將（*）代入上式可得 此式明顯成立，原命題得證．所以點在定直線上上． 方法二：設， 兩兩不等， 因為三點共線，所以， 整理得： 又三點共線，有： ① 又三點共線，有： ② 將①與②兩式相除得： 即， 將即代入得： 解得（舍去）或，所以點在定直線上． 方法三：顯然與軸不垂直，設的方程為， . 由得. 設， 兩兩不等， 則， ， 由三點共線，有： ① 由三點共線，有： ② ①與②兩式相除得： 解得（舍去）或，所以點在定直線上． 點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題

11、涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 7.在平面直角坐標系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點. （1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程； （2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，探究是否滿足，并說明理由. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）利用點到直線的距離公式可求得，由點都在坐標軸的正半軸上，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）由以為直徑的圓經(jīng)過點，可得，即，由在直線上，可將用表示，然后聯(lián)立

12、直線與橢圓的方程結(jié)合韋達定理得，化簡可得結(jié)論. 試題解析：（1）∵直線與相切，∴. 由， ，解得. ∵點都在坐標軸正半軸上， ∴. ∴切線與坐標軸的交點為， . ∴， . ∴橢圓的方程是. （2）的關(guān)系滿足. 證明如下：設， ∵以為直徑的圓經(jīng)過點， ∴，即. ∵點在直線上， ∴. ∴ （*） 由消去，得. 即 顯然 ∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 代入（*）式，得. 整理，得. 又由（1），有. 消去，得 ∴ ∴滿足等量關(guān)系. 點睛：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系之相切以及直線與橢圓的位置關(guān)系之相交與韋達定理相結(jié)合，計算

13、量較大，由一定難度；由直線與坐標軸的交點可得橢圓中的， 的值，即可得橢圓的方程，對于第二問主要用到直徑所對的圓周角為直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為，由直線相交得與的關(guān)系，最后用到最常見的直線與橢圓相交聯(lián)立方程組與韋達定理結(jié)合，得. 8..已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設是橢圓上的點，直線與（為坐標原點）的斜率之積為．若動點滿足，試探究是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析. 【解析】試題分析：(Ⅰ)利用橢圓的離心率計算公式和點在橢圓上列方程組求解即可得出． (Ⅱ)利用向量的坐標運算、點在橢圓上滿足

14、橢圓的方程、斜率計算公式及其橢圓的定義即可得出． 試題解析： (Ⅰ)∵ ∴ 又∵橢圓經(jīng)過點 ∴ 解得：， 所以橢圓的方程為． 設，分別為直線與的斜率，由題意知， ，因此 所以， 所以點是橢圓上的點， 所以由橢圓的定義知存在點，滿足為定值 又因為， 所以坐標分別為、． 9.已知右焦點為的橢圓與直線相交于、兩點，且. （1）求橢圓的方程； （2）為坐標原點， ， ， 是橢圓上不同的三點，并且為的重心，試探究的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，說明理由. 【答案】(1) ；(2)是， . 【解析】（1）設， ，則 ， ，即，① ，

15、 ，即，② 由①②得， 又， ， 橢圓的方程為． （2）設直線方程為： ， 由得， 為重心， ， 點在橢圓上，故有， 可得， 而， 點到直線的距離（是原點到距離的3倍得到）， ， 當直線斜率不存在時， ， ， ， 的面積為定值． 10.在平面直角坐標系中，已知動點到定點的距離與到定直線的距離之比為． （1）求動點的軌跡的方程； （2）已知為定直線上一點. ①過點作的垂線交軌跡于點（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值； ②若點的坐標為，過點作動直線交軌跡于不同兩點，線段上的點滿足，求證：點恒在一條定直線上. 【答案】（1）（2）①直線與的斜

16、率之積為定值． ②點在定直線上． 【解析】試題分析：（1）設動點坐標，直接利用軌跡方程定義計算即可；（2）， ①令，由，得，即，即，又因為點在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點在定直線上． 試題解析：（1）設，則，點到直線的距離， 由，得，化簡得， 即點在軌跡的方程為； ． ②令，則， 令點，則， 即，即 由①×③，②×④，得， 因為在橢圓上，所以， ⑤×2+⑥×3，得 ，即， 所以點在定直線上． 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應用上式，其中要注意判別式條件的約束作用． - 20 -