2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線的定值、定點問題大題狂練 文

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1、 命題角度5.5：圓錐曲線的定值、定點問題 1.已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點是橢圓上異于的任意一點，直線的斜率分別為.證明： 為定值. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析: （I）設(shè)橢圓的方程，利用離心率e＝直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，確定幾何量，從而可得橢圓的方程； （Ⅱ）利用M點在橢圓上，計算斜率，化簡即可得到結(jié)論． （2）證明：由橢圓的方程得， 設(shè)點的坐標為，則. . . 為定值. 點睛：本題考查橢

2、圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查斜率的計算，主要應(yīng)用點在曲線上得出定值. 2. 已知動點到定直線的距離比到定點的距離大. （1）求動點的軌跡的方程； （2）過點的直線交軌跡于， 兩點，直線， 分別交直線于點， ，證明以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值，并求出此定值. 【答案】（I）；（II）詳見解析. 【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件及兩點間距離公式建立方程分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立直線， 的方程，再運用坐標之間的關(guān)系分析探求： 試題解析： 解：（Ⅰ）設(shè)點的坐標為，因為定點在定直線： 的右側(cè)， 且動點到定直線： 的距離比到定點的距離大， 所以且， 化簡得，即，

3、 軌跡的方程為． （Ⅱ）設(shè)， （），則， ， ∵， ， 三點共線， ∴， ∴， 又，∴， 直線的方程為，令，得． 同理可得． 所以以為直徑的圓的方程為， 即． 將代入上式，可得， 令，即或， 故以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值4． 點睛：解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識與內(nèi)容，也是高考重點考查的重要考點與熱點。這類問題的設(shè)置旨在考查借助直角坐標的關(guān)系求解幾何圖形問題。求解第一問時充分依據(jù)題設(shè)條件，運用兩點間距離公式建立等量關(guān)系，通過化簡使得問題獲解；解答第二問時，先設(shè)， ，在借助題設(shè)中的條件建立以為直徑的圓的方程為，探究其最值關(guān)系，從而使得問題獲解。 3. 已知橢

4、圓的離心率為，左、右焦點分別為圓， 是上一點， ，且． （1）求橢圓的方程； （2）當過點的動直線與橢圓相交于不同兩點時，線段上取點，且滿足，證明點總在某定直線上，并求出該定直線． 【答案】（1）（2）見解析 試題解析：（1）由已知得，且， 在中，由余弦定理得，解得. 則，所以橢圓的方程為. （2）由題意可得直線的斜率存在， 設(shè)直線的方程為，即， 代入橢圓方程，整理得， 設(shè)，則. 設(shè)，由得 （考慮線段在軸上的射影即可）， 所以， 于是， 整理得，（*） 又，代入（*）式得， 所以點總在直線上. 考點：1.橢圓標準方程；2.直線與橢圓位置關(guān)系. 點睛：圓

5、錐曲線中的定點、定值、定直線問題時高考中的?？碱}型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起，注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、分類討論思想的考查.求定值問題常見的方法：（1）從特殊點入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)，（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.定點問題的常見解法：（1）假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求定點，（2）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意. 4. 已知橢圓的焦距為，點在上. （I）求的方程；

6、（II）過原點且不與坐標軸重合的直線與有兩個交點，點在軸上的射影為，線段的中點為，直線交于點，證明：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值. 【答案】（I）（II）定值 【解析】試題分析：（1）（I）由題意知， 的焦點坐標為，利用定義求解 的值，即可得到橢圓的標準方程； 試題解析： （I）由題意知， 的焦點坐標為， ， . 所以，橢圓的方程為. （II）設(shè)，則 由點在橢圓上得， ，兩式相減得， . ， . 因為三點共線，所以，即. ，為定值. 5. 已知動圓過點，且在軸上截得的弦長為 （Ⅰ）求圓心的軌跡方程； （Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，證明： 為定值

7、，并求出這個定值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值為 【解析】試題分析：（1）設(shè)動圓圓心坐標為，根據(jù)垂徑定理得，化簡解得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為： ，利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理化簡 試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心坐標為， 由題意得：動圓半徑 圓心到軸的距離為， 依題意有， 化簡得，即動圓圓心的軌跡方程為： （Ⅱ）①當直線的斜率不存在，則直線的方程為： 得 所以，故為定值. 綜合①②，為定值，且定值為 點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明

8、該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 6. 如圖，在平面直角坐標系中，已知A、B、C是橢圓上不同的三點， ，C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上。 （1）求橢圓的標準方程； （2）求點C的坐標； （3）設(shè)動點P在橢圓上（異于點A、B、C）且直線PB， PC分別交直線OA于M、N兩點，證明為定值并求出該定值. 【答案】（1）（2）點的坐標為．（3）為定值，定值為． 【解析】試題分析：（1）將點A，B的坐標代入方程即可求得，（2）設(shè)點，得BC的中點坐標，帶去直線OA聯(lián)立

9、橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標，（3）分別設(shè)出P,N,M三點坐標，根據(jù)P,B,M三點共線和P,C,N三點共線得到M，N,P的關(guān)系，將P點坐標代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系，于是化簡得定制 （3）設(shè)， ， ． ∵三點共線，∴，整理，得． ∵三點共線，∴，整理，得． ∵點在橢圓上，∴， ． 從而． 所以．∴為定值，定值為． 點睛：本題主要考察圓錐曲線，先根據(jù)題意可以的橢圓方程，對于第二問和第三問則需要多借助草圖分析點之間的幾何關(guān)系，尤其要注意三點共線在此題中的運用，明確目標逐步化簡即可 7.已知橢圓： 的短軸長為，離心率為，圓的圓心在橢圓上，半徑

10、為2，直線與直線為圓的兩條切線. （1）求橢圓的標準方程； （2）試問： 是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）由橢圓焦點在軸上， ，離心率，則，即可求得橢圓的標準方程；（2）設(shè)，圓的方程為，由直線與圓相切，根據(jù)點到直線的距離公式可得為方程，的兩個根，由韋達定理可知： ，由在橢圓上即可求得. （2）因為直線與圓相切，∴ 整理得： ， 同理可得： ， 所以， 為方程的兩個根 ∴，又∵在橢圓上，∴ ∴，故是定值為 【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標準方程方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的定值問題

11、，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 8.在直角坐標系中， 已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程； （2）設(shè)是曲線上兩點，點關(guān)于軸的對稱點為 (異于點)，若直線分別交軸于點，證明: 為定值. 【答案】（1）；（2）詳見解析. 【解析】試題分析：（1）由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標準方程，（2）解析幾何中定值問題，往往通過計算給予證明，先設(shè)坐標，列直線方程，求出與軸交點坐標，再

12、利用點在橢圓上這一條件進行代入消元，化簡計算為定值 . 試題解析： 解：(1)因為點在內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，則，由橢圓定義知，圓心的軌跡為橢圓，且，則，所以動圓圓心的軌跡方程為. (2)設(shè)，則，由題意知.則，直線方程為，令，得，同理，于是， 又和在橢圓上，故，則 . 所以. 9. 已知橢圓的離心率為，四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（不同于點），直線的斜率分別為. （1）求橢圓的方程； （2）當變化時，①求的值；②試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. 由，得，于是有

13、，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點. 試題解析：（1）由題設(shè)知， ， ，又， 解得. 故所求橢圓的方程是. （2）①，則有，化簡得， 對于直線，同理有， 于是是方程的兩實根，故. 考慮到時， 是橢圓的下頂點， 趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上. 由，得，于是有. 直線的斜率為， 直線的方程為， 令，得， 故直線過定點. 10.在平面直角坐標系中，已知動點到定點的距離與到定直線的距離之比為． （1）求動點的軌跡的方程； （2）已知為定直線上一點. ①過點作的垂線交軌跡于點（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值； ②若點的

14、坐標為，過點作動直線交軌跡于不同兩點，線段上的點滿足，求證：點恒在一條定直線上. 【答案】（1）（2）①直線與的斜率之積為定值． ②點在定直線上． 【解析】試題分析：（1）設(shè)動點坐標，直接利用軌跡方程定義計算即可；（2）， ①令，由，得，即，即，又因為點在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點在定直線上． 試題解析：（1）設(shè)，則，點到直線的距離， 由，得，化簡得， 即點在軌跡的方程為； ②令，則， 令點，則， 即，即 由①×③，②×④，得， 因為在橢圓上，所以， ⑤×2+⑥×3，得 ，即， 所以點在定直線上． 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用． - 17 -