2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題大題狂練 文
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1、 命題角度5.5:圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題 1.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn),離心率,直線與以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓相切. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線的斜率分別為.證明: 為定值. 【答案】(1)(2) 【解析】試題分析: (I)設(shè)橢圓的方程,利用離心率e=直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切,確定幾何量,從而可得橢圓的方程; (Ⅱ)利用M點(diǎn)在橢圓上,計(jì)算斜率,化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論. (2)證明:由橢圓的方程得, 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則. . . 為定值. 點(diǎn)睛:本題考查橢
2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查斜率的計(jì)算,主要應(yīng)用點(diǎn)在曲線上得出定值. 2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離大. (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程; (2)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于, 兩點(diǎn),直線, 分別交直線于點(diǎn), ,證明以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值,并求出此定值. 【答案】(I);(II)詳見(jiàn)解析. 【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)條件及兩點(diǎn)間距離公式建立方程分析求解;(2)依據(jù)題設(shè)條件建立直線, 的方程,再運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求: 試題解析: 解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)槎c(diǎn)在定直線: 的右側(cè), 且動(dòng)點(diǎn)到定直線: 的距離比到定點(diǎn)的距離大, 所以且, 化簡(jiǎn)得,即,
3、 軌跡的方程為. (Ⅱ)設(shè), (),則, , ∵, , 三點(diǎn)共線, ∴, ∴, 又,∴, 直線的方程為,令,得. 同理可得. 所以以為直徑的圓的方程為, 即. 將代入上式,可得, 令,即或, 故以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值4. 點(diǎn)睛:解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)與內(nèi)容,也是高考重點(diǎn)考查的重要考點(diǎn)與熱點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題的設(shè)置旨在考查借助直角坐標(biāo)的關(guān)系求解幾何圖形問(wèn)題。求解第一問(wèn)時(shí)充分依據(jù)題設(shè)條件,運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立等量關(guān)系,通過(guò)化簡(jiǎn)使得問(wèn)題獲解;解答第二問(wèn)時(shí),先設(shè), ,在借助題設(shè)中的條件建立以為直徑的圓的方程為,探究其最值關(guān)系,從而使得問(wèn)題獲解。 3. 已知橢
4、圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為圓, 是上一點(diǎn), ,且. (1)求橢圓的方程; (2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí),線段上取點(diǎn),且滿足,證明點(diǎn)總在某定直線上,并求出該定直線. 【答案】(1)(2)見(jiàn)解析 試題解析:(1)由已知得,且, 在中,由余弦定理得,解得. 則,所以橢圓的方程為. (2)由題意可得直線的斜率存在, 設(shè)直線的方程為,即, 代入橢圓方程,整理得, 設(shè),則. 設(shè),由得 (考慮線段在軸上的射影即可), 所以, 于是, 整理得,(*) 又,代入(*)式得, 所以點(diǎn)總在直線上. 考點(diǎn):1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;2.直線與橢圓位置關(guān)系. 點(diǎn)睛:圓
5、錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題時(shí)高考中的??碱}型,難度一般較大,常常把直線、圓及圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合在一起,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查,尤其是函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想的考查.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法:(1)從特殊點(diǎn)入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān),(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)解法:(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn),(2)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意. 4. 已知橢圓的焦距為,點(diǎn)在上. (I)求的方程;
6、(II)過(guò)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線與有兩個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,線段的中點(diǎn)為,直線交于點(diǎn),證明:直線的斜率與直線的斜率乘積為定值. 【答案】(I)(II)定值 【解析】試題分析:(1)(I)由題意知, 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,利用定義求解 的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 試題解析: (I)由題意知, 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為, , . 所以,橢圓的方程為. (II)設(shè),則 由點(diǎn)在橢圓上得, ,兩式相減得, . , . 因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即. ,為定值. 5. 已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn),且在軸上截得的弦長(zhǎng)為 (Ⅰ)求圓心的軌跡方程; (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),證明: 為定值
7、,并求出這個(gè)定值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)定值為 【解析】試題分析:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為,根據(jù)垂徑定理得,化簡(jiǎn)解得圓心的軌跡方程;(2)設(shè)直線的方程為: ,利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn) 試題解析:解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為, 由題意得:動(dòng)圓半徑 圓心到軸的距離為, 依題意有, 化簡(jiǎn)得,即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為: (Ⅱ)①當(dāng)直線的斜率不存在,則直線的方程為: 得 所以,故為定值. 綜合①②,為定值,且定值為 點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少,或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題,證明
8、該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類(lèi)似,在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù),運(yùn)用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 6. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A、B、C是橢圓上不同的三點(diǎn), ,C在第三象限,線段BC的中點(diǎn)在直線OA上。 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求點(diǎn)C的坐標(biāo); (3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上(異于點(diǎn)A、B、C)且直線PB, PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值. 【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)為定值,定值為. 【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入方程即可求得,(2)設(shè)點(diǎn),得BC的中點(diǎn)坐標(biāo),帶去直線OA聯(lián)立
9、橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標(biāo),(3)分別設(shè)出P,N,M三點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)P,B,M三點(diǎn)共線和P,C,N三點(diǎn)共線得到M,N,P的關(guān)系,將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系,于是化簡(jiǎn)得定制 (3)設(shè), , . ∵三點(diǎn)共線,∴,整理,得. ∵三點(diǎn)共線,∴,整理,得. ∵點(diǎn)在橢圓上,∴, . 從而. 所以.∴為定值,定值為. 點(diǎn)睛:本題主要考察圓錐曲線,先根據(jù)題意可以的橢圓方程,對(duì)于第二問(wèn)和第三問(wèn)則需要多借助草圖分析點(diǎn)之間的幾何關(guān)系,尤其要注意三點(diǎn)共線在此題中的運(yùn)用,明確目標(biāo)逐步化簡(jiǎn)即可 7.已知橢圓: 的短軸長(zhǎng)為,離心率為,圓的圓心在橢圓上,半徑
10、為2,直線與直線為圓的兩條切線. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)試問(wèn): 是否為定值?若是,求出該值;若不是,說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2) 【解析】試題分析:(1)由橢圓焦點(diǎn)在軸上, ,離心率,則,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè),圓的方程為,由直線與圓相切,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得為方程,的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理可知: ,由在橢圓上即可求得. (2)因?yàn)橹本€與圓相切,∴ 整理得: , 同理可得: , 所以, 為方程的兩個(gè)根 ∴,又∵在橢圓上,∴ ∴,故是定值為 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的定值問(wèn)題
11、,屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種:① 從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);② 直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值. 8.在直角坐標(biāo)系中, 已知定圓,動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線. (1)求曲線的方程; (2)設(shè)是曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 (異于點(diǎn)),若直線分別交軸于點(diǎn),證明: 為定值. 【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析. 【解析】試題分析:(1)由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系,再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)解析幾何中定值問(wèn)題,往往通過(guò)計(jì)算給予證明,先設(shè)坐標(biāo),列直線方程,求出與軸交點(diǎn)坐標(biāo),再
12、利用點(diǎn)在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元,化簡(jiǎn)計(jì)算為定值 . 試題解析: 解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi),所以圓內(nèi)切于圓,則,由橢圓定義知,圓心的軌跡為橢圓,且,則,所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為. (2)設(shè),則,由題意知.則,直線方程為,令,得,同理,于是, 又和在橢圓上,故,則 . 所以. 9. 已知橢圓的離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線的斜率分別為. (1)求橢圓的方程; (2)當(dāng)變化時(shí),①求的值;②試問(wèn)直線是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2)見(jiàn)解析. 由,得,于是有
13、,直線的斜率為,直線的方程為,令,得,即可證明直線過(guò)定點(diǎn). 試題解析:(1)由題設(shè)知, , ,又, 解得. 故所求橢圓的方程是. (2)①,則有,化簡(jiǎn)得, 對(duì)于直線,同理有, 于是是方程的兩實(shí)根,故. 考慮到時(shí), 是橢圓的下頂點(diǎn), 趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故若過(guò)定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在軸上. 由,得,于是有. 直線的斜率為, 直線的方程為, 令,得, 故直線過(guò)定點(diǎn). 10.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為. (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程; (2)已知為定直線上一點(diǎn). ①過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)(不在軸上),求證:直線與的斜率之積是定值; ②若點(diǎn)的
14、坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn),線段上的點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線上. 【答案】(1)(2)①直線與的斜率之積為定值. ②點(diǎn)在定直線上. 【解析】試題分析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可;(2), ①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值; ②令,則,代入橢圓,消元即可證明點(diǎn)在定直線上. 試題解析:(1)設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離, 由,得,化簡(jiǎn)得, 即點(diǎn)在軌跡的方程為; ②令,則, 令點(diǎn),則, 即,即 由①×③,②×④,得, 因?yàn)樵跈E圓上,所以, ⑤×2+⑥×3,得 ,即, 所以點(diǎn)在定直線上. 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題.求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用;涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題,避免不分類(lèi)討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出,再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用. - 17 -
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