2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.5 恒成立與存在性問題大題狂練 文

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1、 命題角度5：恒成立與存在性問題 1.已知a＜0，曲線f（x）=2ax2+bx+c與曲線g（x）=x2+alnx在公共點(diǎn)（1，f（1））處的切線相同． （Ⅰ）試求c-a的值； （Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【答案】（1）c-a=-1（2）a∈[-1，0）． 【解析】試題分析：（I）利用列方程組，即可求得的值.（II）構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解.利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)最大值. (Ⅱ)設(shè)，則，恒成立， ∵， ∴， 法一：由，知和在上單調(diào)遞減， 得在上單調(diào)遞減， 又， 得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞增

2、，在上單調(diào)遞減， 得，由題意知，得， 所以． 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的求解策略.根據(jù)題目的已知條件“同一點(diǎn)的切線相同”也即是分成兩個(gè)條件：切點(diǎn)相同、在切點(diǎn)的斜率也相同.根據(jù)這兩個(gè)條件可以得到兩個(gè)方程，但是一共有個(gè)參數(shù)，故無法解出個(gè)未知的參數(shù)，只能用作差的方法求得的值. 2.設(shè)函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值. 【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增（2）2 【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的大小討論導(dǎo)函數(shù)是否變號：若a≤0，

3、導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)，為單調(diào)增區(qū)間；若a＞0，導(dǎo)函數(shù)符號變化，先負(fù)后正，對應(yīng)先減后增（2）分類變量得 ，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值：在極小值點(diǎn)取最小值，根據(jù)極值定義得 及零點(diǎn)存在定理確定范圍 ，化簡最小值為，并確定其范圍為（2,3） ，因此可得正整數(shù)的最大值. 試題解析：（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a， 若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增 若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex-a＜0； 當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex-a＞0； 所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減

4、，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增 （2）由于a=1， 令，， 令，在單調(diào)遞增， 且在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ， 由，又 所以的最大值為2 點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 3.已知函數(shù)的極小值為0. （1）求實(shí)數(shù)的值； （2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）由極小值的定義知道，只需要令，解得，且描述兩側(cè)的單調(diào)

5、性；（2）原式子轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和最值即可。 （1）∵，令，解得， ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為， 由題意有，解得. （2）由（1）知不等式對任意恒成立，∵，∴在上恒成立，∵不妨設(shè)， ，則. 當(dāng)時(shí)， ，故，∴在上單調(diào)遞增，從而，∴不成立.當(dāng)時(shí)，令，解得，若，即，當(dāng)時(shí)， ， 在上為增函數(shù)，故，不合題意；若，即，當(dāng)時(shí)， ， 在上為減函數(shù)，故，符合題意.綜上所述， 的取值范圍為. 點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值與最值的過程中的應(yīng)用；第二問恒成立求參的問題，解決方法有如下幾種：第一，可以考慮參變分離，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；第

6、二，直接含參討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值。 4.設(shè)函數(shù) (為自然對數(shù)的底數(shù)），. （1）證明：當(dāng)時(shí)， 沒有零點(diǎn)； （2）若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：（1）由，令， ，把沒有零點(diǎn)，可以看作函數(shù)與的圖象無交點(diǎn)，求得直線與曲線無交點(diǎn)，即可得到結(jié)論. （2）由題意，分離參數(shù)得，設(shè)出新函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值，即可求解的取值范圍. 解法二：由得，令， ， 則沒有零點(diǎn)，可以看作函數(shù)與的圖象無交點(diǎn)， 設(shè)直線切于點(diǎn)，則，解得， ∴，代入得，又， ∴直線與曲線無交點(diǎn)，即沒有零點(diǎn). （2）

7、當(dāng)時(shí)， ，即， ∴，即. 令，則. 當(dāng)時(shí)， 恒成立， 令，解得；令，解得， ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴.∴的取值范圍是. 點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用求解函數(shù)的極值與最值，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，同時(shí)著重考查了分離參數(shù)思想和構(gòu)造函數(shù)思想方法的應(yīng)用，本題的解答中根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，試題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于難題，平時(shí)注重總結(jié)和積累. 5. 已知函數(shù) （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若對任意及，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值集合. 【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)

8、；(2)m≤-2 【解析】試題分析： (1)首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合題意分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性； (2)將原問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)的取值集合為. 試題解析： 解: （Ⅰ） ①當(dāng)時(shí)，恒有，則在上是增函數(shù)； ②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，則在上是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)， ，則在上是減函數(shù) 綜上，當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù) 6.已知函數(shù). （1）若，求函數(shù)的最小值； （2）當(dāng)時(shí)，若對，，使得成立，求的范圍. 【答案】（1）當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)，最小值為.（2） 【解析】試題分析：（1）本問考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

9、最值，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，，令得，對分類討論，當(dāng)，，時(shí)，分別討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值；（2）本問主要考查“任意”、“存在”問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，對，，使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由（1）問易得到函數(shù)的最小值，然后通過對的討論求即可. 試題解析：(I)，令得. 當(dāng)即時(shí)，在上，遞增，的最小值為 . 當(dāng)即時(shí)，在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù). ∴的最小值為. 當(dāng)即時(shí)，在上，遞減，的最小值為 . 綜上所述，當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)，最小值為. (II)令 由題可知“對，，使得成立” 等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”. 即 由

10、(I)可知，當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，， ①當(dāng)時(shí)， 由得，與矛盾，舍去. ②當(dāng)時(shí)， 由得，與矛盾，舍去. ③當(dāng)時(shí)， 由得 綜上，的取值范圍是. 考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3.任意、存在問題的轉(zhuǎn)化；4.分類討論思想的應(yīng)用. 方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容是考查的重點(diǎn).解題時(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，另外，還要能夠?qū)栴}進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，尤其是“任意”和“存在”問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以簡化解題過程.本題對，，使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”. 7.

11、已知函數(shù). （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且求 和 ，根據(jù)切線方程 ，寫出切線方程；（2）令 ，首先求函數(shù)得到導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng) 和 兩種情況討論函數(shù)的最大值，令最大值小于等于0，求得的值. 試題解析：(1)因?yàn)椋郧芯€方程為，即. (2)令，所以 ，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以是上的遞增函數(shù)，又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式，不能恒成立，當(dāng)時(shí)， ，令，得，所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，令，則 在上是減函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)， ，

12、所以整數(shù)的最小值為. 【點(diǎn)睛】不等式恒成立求參數(shù)取值范圍是高考熱點(diǎn)，本題是當(dāng)恒成立時(shí)，求參數(shù)取值范圍，一般變形為恒成立，求函數(shù)的最大值小于等于0，或參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題. 8.已知函數(shù). (1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ; (2) . 【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算,根據(jù)點(diǎn)斜式可求切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的最大值，結(jié)合對任意恒成立，求出的取值范圍即可. 試題解析：(1)由，得，則 又， . 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. (2)已知對任意恒成

13、立， 令 ①當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減， ，恒成立. ②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向下，對稱軸為，且， 所以當(dāng)時(shí)， ， ， 在上單調(diào)遞減， ，恒成立. ③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向上，對稱軸為， 所以在上單調(diào)遞增，且， 故存在唯一，使得，即. 當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增. 所以在上， . 所以得， 綜上,得取值范圍是. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題

14、是利用方法 ③ 求得的范圍的. 9.已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程； （2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若，在上存在一點(diǎn)，使得成立， 求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）或. 【解析】試題分析：（1）中求的是在x=1的切線方程，所以直接出函數(shù)在x=1的導(dǎo)數(shù)，和切點(diǎn)即可解決。（2）求單調(diào)性區(qū)間，先注意定義域，再求導(dǎo)數(shù)等于0的根，一般對于含參的問題，我們先看是否能因式分解。（3）存在成立，先變形為，從而構(gòu)造函數(shù)在上的最小值.同時(shí)注意第（2）問己求對本問的應(yīng)用。 試題解析： （1）當(dāng)時(shí)， ，切點(diǎn)， 所以，所以， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

15、： ，即. （2），定義域?yàn)椋? ， （3）由題意可知，在上存在一點(diǎn)，使得成立， 即在上存在一點(diǎn)，使得， 即函數(shù)在上的最小值. 由第（2）問， ①當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減， 所以，所以，因?yàn)?，所以? ②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增， 所以，所以； ③當(dāng)，即時(shí)， ， 因?yàn)椋?，所以? 此時(shí)不存在使得成立. 10.已知函數(shù)． （1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若存在唯一整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）本問考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，采用參變分離

16、的方法，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)函數(shù)，于是只需滿足即可，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；（2）存在唯一整數(shù)，使得，即，于是問題轉(zhuǎn)化為存在唯一一個(gè)整數(shù) 使得函數(shù)圖像在直線下方，于是可以畫出兩個(gè)函數(shù)圖像，結(jié)合圖像進(jìn)行分析，確定函數(shù)在時(shí)圖像之間的關(guān)系，通過比較斜率大小來確定的取值范圍. （2）不等式即， 令， 則， 在上單調(diào)遞增， 而， ∴存在實(shí)數(shù)，使得， 當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，∴. ，畫出函數(shù)和的大致圖象如下， 的圖象是過定點(diǎn)的直線， 由圖可知若存在唯一整數(shù)，使得成立，則需， 而，∴． ∵，∴． 于是實(shí)數(shù)的取值范圍是． 考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值；2.函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；3.數(shù)形結(jié)合思想方法. 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是高考中的高頻考點(diǎn)，同時(shí)也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容，使函數(shù)內(nèi)容更加豐富，更加充盈.解題時(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，另外，還要能夠?qū)栴}進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，尤其是“恒成立”問題和“有解”問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以簡化解題過程.還有在求參數(shù)取值范圍時(shí)，可以考慮到分離參數(shù)方法或分類討論的方法，同時(shí)數(shù)形結(jié)合也是解題時(shí)必備的工具. - 15 -