2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.5 恒成立與存在性問(wèn)題大題狂練 文
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1、 命題角度5:恒成立與存在性問(wèn)題 1.已知a<0,曲線f(x)=2ax2+bx+c與曲線g(x)=x2+alnx在公共點(diǎn)(1,f(1))處的切線相同. (Ⅰ)試求c-a的值; (Ⅱ)若f(x)≤g(x)+a+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【答案】(1)c-a=-1(2)a∈[-1,0). 【解析】試題分析:(I)利用列方程組,即可求得的值.(II)構(gòu)造函數(shù),將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解.利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)最大值. (Ⅱ)設(shè),則,恒成立, ∵, ∴, 法一:由,知和在上單調(diào)遞減, 得在上單調(diào)遞減, 又, 得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),, 所以在上單調(diào)遞增
2、,在上單調(diào)遞減, 得,由題意知,得, 所以. 點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線,考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題的求解策略.根據(jù)題目的已知條件“同一點(diǎn)的切線相同”也即是分成兩個(gè)條件:切點(diǎn)相同、在切點(diǎn)的斜率也相同.根據(jù)這兩個(gè)條件可以得到兩個(gè)方程,但是一共有個(gè)參數(shù),故無(wú)法解出個(gè)未知的參數(shù),只能用作差的方法求得的值. 2.設(shè)函數(shù) (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)若為整數(shù),且當(dāng)時(shí), 恒成立,其中為的導(dǎo)函數(shù),求的最大值. 【答案】(1)f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增(2)2 【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)a的大小討論導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào):若a≤0,
3、導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù),為單調(diào)增區(qū)間;若a>0,導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化,先負(fù)后正,對(duì)應(yīng)先減后增(2)分類變量得 ,再利用導(dǎo)數(shù)求最小值:在極小值點(diǎn)取最小值,根據(jù)極值定義得 及零點(diǎn)存在定理確定范圍 ,化簡(jiǎn)最小值為,并確定其范圍為(2,3) ,因此可得正整數(shù)的最大值. 試題解析:(1)函數(shù)f(x)=ex-ax-2的定義域是R,f′(x)=ex-a, 若a≤0,則f′(x)=ex-a≥0,所以函數(shù)f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增 若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f′(x)=ex-a<0; 當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)=ex-a>0; 所以,f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減
4、,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增 (2)由于a=1, 令,, 令,在單調(diào)遞增, 且在上存在唯一零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則 當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), , 由,又 所以的最大值為2 點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題. 3.已知函數(shù)的極小值為0. (1)求實(shí)數(shù)的值; (2)若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1);(2) 【解析】試題分析:(1)由極小值的定義知道,只需要令,解得,且描述兩側(cè)的單調(diào)
5、性;(2)原式子轉(zhuǎn)化為在上恒成立;求導(dǎo),研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可,從而得到函數(shù)的單調(diào)性和最值即可。 (1)∵,令,解得, ∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故的極小值為, 由題意有,解得. (2)由(1)知不等式對(duì)任意恒成立,∵,∴在上恒成立,∵不妨設(shè), ,則. 當(dāng)時(shí), ,故,∴在上單調(diào)遞增,從而,∴不成立.當(dāng)時(shí),令,解得,若,即,當(dāng)時(shí), , 在上為增函數(shù),故,不合題意;若,即,當(dāng)時(shí), , 在上為減函數(shù),故,符合題意.綜上所述, 的取值范圍為. 點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值與最值的過(guò)程中的應(yīng)用;第二問(wèn)恒成立求參的問(wèn)題,解決方法有如下幾種:第一,可以考慮參變分離,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題;第
6、二,直接含參討論,研究函數(shù)的單調(diào)性和最值。 4.設(shè)函數(shù) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),. (1)證明:當(dāng)時(shí), 沒(méi)有零點(diǎn); (2)若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 【解析】試題分析:(1)由,令, ,把沒(méi)有零點(diǎn),可以看作函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn),求得直線與曲線無(wú)交點(diǎn),即可得到結(jié)論. (2)由題意,分離參數(shù)得,設(shè)出新函數(shù),得出函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最小值,即可求解的取值范圍. 解法二:由得,令, , 則沒(méi)有零點(diǎn),可以看作函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn), 設(shè)直線切于點(diǎn),則,解得, ∴,代入得,又, ∴直線與曲線無(wú)交點(diǎn),即沒(méi)有零點(diǎn). (2)
7、當(dāng)時(shí), ,即, ∴,即. 令,則. 當(dāng)時(shí), 恒成立, 令,解得;令,解得, ∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, ∴.∴的取值范圍是. 點(diǎn)睛:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用,其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用求解函數(shù)的極值與最值,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,同時(shí)著重考查了分離參數(shù)思想和構(gòu)造函數(shù)思想方法的應(yīng)用,本題的解答中根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,試題綜合性強(qiáng),難度較大,屬于難題,平時(shí)注重總結(jié)和積累. 5. 已知函數(shù) (1)討論函數(shù)的單調(diào)性; (2)若對(duì)任意及,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值集合. 【答案】(Ⅰ)當(dāng)時(shí), 在上是增函數(shù)
8、;(2)m≤-2 【解析】試題分析: (1)首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合題意分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性; (2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)的取值集合為. 試題解析: 解: (Ⅰ) ①當(dāng)時(shí),恒有,則在上是增函數(shù); ②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), ,則在上是增函數(shù); 當(dāng)時(shí), ,則在上是減函數(shù) 綜上,當(dāng)時(shí), 在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí), 在上是增函數(shù), 在上是減函數(shù) 6.已知函數(shù). (1)若,求函數(shù)的最小值; (2)當(dāng)時(shí),若對(duì),,使得成立,求的范圍. 【答案】(1)當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí),最小值為.(2) 【解析】試題分析:(1)本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的
9、最值,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),,令得,對(duì)分類討論,當(dāng),,時(shí),分別討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最小值;(2)本問(wèn)主要考查“任意”、“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,對(duì),,使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由(1)問(wèn)易得到函數(shù)的最小值,然后通過(guò)對(duì)的討論求即可. 試題解析:(I),令得. 當(dāng)即時(shí),在上,遞增,的最小值為 . 當(dāng)即時(shí),在上,為減函數(shù),在上,為增函數(shù). ∴的最小值為. 當(dāng)即時(shí),在上,遞減,的最小值為 . 綜上所述,當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí),最小值為. (II)令 由題可知“對(duì),,使得成立” 等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”. 即 由
10、(I)可知,當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),, ①當(dāng)時(shí), 由得,與矛盾,舍去. ②當(dāng)時(shí), 由得,與矛盾,舍去. ③當(dāng)時(shí), 由得 綜上,的取值范圍是. 考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3.任意、存在問(wèn)題的轉(zhuǎn)化;4.分類討論思想的應(yīng)用. 方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容是考查的重點(diǎn).解題時(shí),注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,另外,還要能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,尤其是“任意”和“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.本題對(duì),,使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”. 7.
11、已知函數(shù). (1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并且求 和 ,根據(jù)切線方程 ,寫出切線方程;(2)令 ,首先求函數(shù)得到導(dǎo)數(shù),討論當(dāng) 和 兩種情況討論函數(shù)的最大值,令最大值小于等于0,求得的值. 試題解析:(1)因?yàn)?,所以切線方程為,即. (2)令,所以 ,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,所以是上的遞增函數(shù),又因?yàn)?,所以關(guān)于的不等式,不能恒成立,當(dāng)時(shí), ,令,得,所以當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,因此函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故函數(shù)的最大值為,令,則 在上是減函數(shù),因?yàn)?,所以?dāng)時(shí), ,
12、所以整數(shù)的最小值為. 【點(diǎn)睛】不等式恒成立求參數(shù)取值范圍是高考熱點(diǎn),本題是當(dāng)恒成立時(shí),求參數(shù)取值范圍,一般變形為恒成立,求函數(shù)的最大值小于等于0,或參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題. 8.已知函數(shù). (1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ; (2) . 【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算,根據(jù)點(diǎn)斜式可求切線方程;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出的最大值,結(jié)合對(duì)任意恒成立,求出的取值范圍即可. 試題解析:(1)由,得,則 又, . 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即. (2)已知對(duì)任意恒成
13、立, 令 ①當(dāng)時(shí), , 在上單調(diào)遞減, ,恒成立. ②當(dāng)時(shí),二次函數(shù)的開(kāi)口方向向下,對(duì)稱軸為,且, 所以當(dāng)時(shí), , , 在上單調(diào)遞減, ,恒成立. ③當(dāng)時(shí),二次函數(shù)的開(kāi)口方向向上,對(duì)稱軸為, 所以在上單調(diào)遞增,且, 故存在唯一,使得,即. 當(dāng)時(shí), , , 單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), , , 單調(diào)遞增. 所以在上, . 所以得, 綜上,得取值范圍是. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題,屬于難題.不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法:① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立(即可);② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可);③ 討論最值或恒成立;④ 討論參數(shù).本題
14、是利用方法 ③ 求得的范圍的. 9.已知函數(shù). (1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程; (2)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (3)若,在上存在一點(diǎn),使得成立, 求的取值范圍. 【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)或. 【解析】試題分析:(1)中求的是在x=1的切線方程,所以直接出函數(shù)在x=1的導(dǎo)數(shù),和切點(diǎn)即可解決。(2)求單調(diào)性區(qū)間,先注意定義域,再求導(dǎo)數(shù)等于0的根,一般對(duì)于含參的問(wèn)題,我們先看是否能因式分解。(3)存在成立,先變形為,從而構(gòu)造函數(shù)在上的最小值.同時(shí)注意第(2)問(wèn)己求對(duì)本問(wèn)的應(yīng)用。 試題解析: (1)當(dāng)時(shí), ,切點(diǎn), 所以,所以, 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
15、: ,即. (2),定義域?yàn)椋? , (3)由題意可知,在上存在一點(diǎn),使得成立, 即在上存在一點(diǎn),使得, 即函數(shù)在上的最小值. 由第(2)問(wèn), ①當(dāng),即時(shí), 在上單調(diào)遞減, 所以,所以,因?yàn)?,所以? ②當(dāng),即時(shí), 在上單調(diào)遞增, 所以,所以; ③當(dāng),即時(shí), , 因?yàn)?,所以,所以? 此時(shí)不存在使得成立. 10.已知函數(shù). (1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)若存在唯一整數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)(2) 【解析】試題分析:(1)本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在上恒成立,即在上恒成立,采用參變分離
16、的方法,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,設(shè)函數(shù),于是只需滿足即可,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值;(2)存在唯一整數(shù),使得,即,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一一個(gè)整數(shù) 使得函數(shù)圖像在直線下方,于是可以畫出兩個(gè)函數(shù)圖像,結(jié)合圖像進(jìn)行分析,確定函數(shù)在時(shí)圖像之間的關(guān)系,通過(guò)比較斜率大小來(lái)確定的取值范圍. (2)不等式即, 令, 則, 在上單調(diào)遞增, 而, ∴存在實(shí)數(shù),使得, 當(dāng)時(shí), , 在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), , 在上單調(diào)遞增,∴. ,畫出函數(shù)和的大致圖象如下, 的圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線, 由圖可知若存在唯一整數(shù),使得成立,則需, 而,∴. ∵,∴. 于是實(shí)數(shù)的取值范圍是. 考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值;2.函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;3.數(shù)形結(jié)合思想方法. 點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)是高考中的高頻考點(diǎn),同時(shí)也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容,使函數(shù)內(nèi)容更加豐富,更加充盈.解題時(shí),注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,另外,還要能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,尤其是“恒成立”問(wèn)題和“有解”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.還有在求參數(shù)取值范圍時(shí),可以考慮到分離參數(shù)方法或分類討論的方法,同時(shí)數(shù)形結(jié)合也是解題時(shí)必備的工具. - 15 -
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