2018年高考數(shù)學(xué) 專題51 二項(xiàng)式定理常見的解題策略解題模板
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1、 專題51 二項(xiàng)式定理常見的解題策略 【高考地位】 二項(xiàng)式定理有關(guān)問題,是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),在歷年的高考中幾乎每年都有涉及. 因此掌握二項(xiàng)式定理問題的常見題型及其解題策略是十分必要的. 其考試題型主要有:求展開式中指定的項(xiàng)、求展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)、求展開式中的系數(shù)和等,其難度不會(huì)太大,但題型可能較靈活.在高考中通常是以易題出現(xiàn),主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查,其試題難度屬中檔題. 【方法點(diǎn)評(píng)】 類型一 求展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù) 使用情景:求展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù) 解題模板:第一步 首先求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)
2、; 第二步 根據(jù)已知求出展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù); 第三步 得出結(jié)論. 例1. 展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為( ) A.6 B.-6 C.24 D.-24 【答案】A 【變式演練1】二項(xiàng)式展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為 . 【答案】 【解析】 試題分析:,所以由得系數(shù)為 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 【方法點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可. (2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再
3、由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng),由特定項(xiàng)得出r值,最后求出其參數(shù). 【變式演練2】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20,則實(shí)數(shù) . 【答案】 【解析】 試題分析:二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,解得,故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為,解得. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 【變式演練3】求的展開式中的系數(shù). 【答案】. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 類型二 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)和 使用情景:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)和 解題模板:第一步 觀察題意特征,合理地使用賦值法; 第二步 區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù),靈活利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì); 第三步 得出結(jié)論. 例2 【2018河北衡水模擬】若的展開式中的
4、二項(xiàng)式系數(shù)和為, 的系數(shù)為,則為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 故選 【變式演練4】在的展開式中,各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128,則常數(shù)項(xiàng)是__________. 【答案】14. 考點(diǎn):1、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用. 類型三 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 使用情景:使用二項(xiàng)式定理處理整除問題 解題模板:第一步 通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與余數(shù)密切相關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式; 第二步 再用二項(xiàng)式定理展開,但要注意兩點(diǎn):一是余數(shù)的范圍,a=cr+b,其中余數(shù)b∈[0, r),r是除數(shù),切記余數(shù)不能為負(fù),二是二項(xiàng)式定理的
5、逆用.; 第三步 得出結(jié)論. 例3 .設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,則a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 【答案】D. 【解析】 點(diǎn)評(píng):在使用二項(xiàng)式定理展開,但要注意兩點(diǎn):一是余數(shù)的范圍,a=cr+b,其中余數(shù)b∈[0,r),r是除數(shù),切記余數(shù)不能為負(fù),二是二項(xiàng)式定理的逆用. 【變式演練5】S=C27(1)+C27(2)+…+C27(27)除以9的余數(shù)為________. 【答案】7. 【解析】 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 【高考再現(xiàn)】 1. 【2017課標(biāo)1
6、,理6】展開式中的系數(shù)為 A.15 B.20 C.30 D.35 【答案】C 【解析】 試題分析:因?yàn)?,則展開式中含的項(xiàng)為,展開式中含的項(xiàng)為,故前系數(shù)為,選C. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題,第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行加和.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)式展開式中的不同. 2.【2017課標(biāo)3,理4】的展開式中33的系數(shù)為 A. B. C.40 D.80 【答案】C 3.【2017浙江,13】已知多項(xiàng)式32=,則=___
7、_____,=________. 【答案】16,4 【解析】 試題分析:由二項(xiàng)式展開式可得通項(xiàng)公式為:,分別取和可得,令可得 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù),屬于簡單題. 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一,關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個(gè)方面命題:(1)考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式;(可以考查某一項(xiàng),也可考查某一項(xiàng)的系數(shù))(2)考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;(3)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用. 4.【2017山東,理11】已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是,則 . 【答案】 【解析】試題分析:由二項(xiàng)式定理的通
8、項(xiàng)公式,令得:,解得. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng),是二項(xiàng)式定理問題中的基本問題,往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等. 5.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位,則的展開式中含x4的項(xiàng)為 (A)-15x4 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4 【答案】A 6. 【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中,的系數(shù)為__________________.(用數(shù)字作答) 【答案】60. 【解析】
9、 試題分析:根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知,的系數(shù)為,故填:. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】1.所謂二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng),是指展開式中的某一項(xiàng),如第項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、字母指數(shù)為某些特殊值的項(xiàng).求解時(shí),先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng),再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號(hào)),根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征,列出方程或不等式來求解即可;2、求有理項(xiàng)時(shí)要注意運(yùn)用整除的性質(zhì),同時(shí)應(yīng)注意結(jié)合的范圍分析. 7. 【2016高考新課標(biāo)1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案) 【答案】 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 8 【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用
10、數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 試題分析:展開式通項(xiàng)為,令,,所以的.故答案為. 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 9. 【2016高考山東理數(shù)】若(ax2+)5的展開式中x5的系數(shù)是—80,則實(shí)數(shù)a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析:因?yàn)?,所以由,因? 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題是二項(xiàng)式定理問題中的常見題型,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,往往是考試的重點(diǎn).本題難度不大,易于得分.能較好的考查考生的基本運(yùn)算能力等. 10.【2015高考天津,理12】在 的展開式中,的系數(shù)為 . 【答案】 【反饋練習(xí)】 1.【2018廣西桂梧高中聯(lián)考】的展開式
11、的第4項(xiàng)的系數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得的展開式的第4項(xiàng)為,選A. 2. 【2018陜西西安長安區(qū)聯(lián)考】若,則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 A. 8 B. 16 C. 24 D. 60 【答案】C 【解析】∵∴的通項(xiàng)公式為 令,即 ∴二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)是,故選C 3. 【2018東北名校聯(lián)考】若,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,可知都小于.則.在原二項(xiàng)展開式中令,可得.故本題答案選. 4.【2018陜西兩校聯(lián)考】
12、的展開式中的系數(shù)是( ) A. 56 B. 84 C. 112 D. 168 【答案】D 【解析】根據(jù)和的展開式的通項(xiàng)公式可得, 的系數(shù)為,故選D. 5.【2018廣西南寧摸底聯(lián)考】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為( ) A. 80 B. C. D. 48 【答案】B 【解析】由題意可得,令r=1,所以的系數(shù)為-80.選B. 6.【2018云南昆明一中摸底】二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( ) A. B. C. D. 【答案】B 7.【2018廣西柳州摸底聯(lián)考】的展開式中, 的系數(shù)為( ) A. 60
13、 B. C. 240 D. 【答案】C 【解析】,選C. 8.【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題】展開式中除常數(shù)項(xiàng)外的其余項(xiàng)的系數(shù)之和為 . 【答案】 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理. 9.【2018廣西南寧八中摸底】在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是( ) A. 60 B. 160 C. 180 D. 240 【答案】D 【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為 ,令,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是,故選D 10.【2018陜西名校五校聯(lián)考】的展開式中常數(shù)項(xiàng)為( ) A. B. C. D. 25
14、 【答案】C 【解析】 的通項(xiàng)為, ,根據(jù)式子可知當(dāng) 或 時(shí)有常數(shù)項(xiàng),令 ; 令;故所求常數(shù)項(xiàng)為 ,故選C. 11.【2018江西新余一中二模】在二項(xiàng)式的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為,且,則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 12.【2018四川德陽三校聯(lián)考】已知,則___________. 【答案】 【解析】含的項(xiàng)的系數(shù)為,故填. 13. 【2018福建四校聯(lián)考】在的二項(xiàng)展開式中, 的項(xiàng)的系數(shù)是_______.(用數(shù)字作答) 【答案】70 【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理, 的通項(xiàng)為
15、, 當(dāng)時(shí),即r=4時(shí),可得. 即項(xiàng)的系數(shù)為70. 14. 【2018黑龍江齊齊哈爾一?!吭诘恼归_式中,常數(shù)項(xiàng)是__________. 【答案】 【解析】第一個(gè)括號(hào)取,第二個(gè)括號(hào)為 ∴常數(shù)項(xiàng)是 故答案為: 15. 【2018江西宜春六校聯(lián)考】若,且,則的值為__________. 【答案】1 16. 【2018山西山大附中四調(diào)】 ,則__________. 【答案】28 【解析】令 ,則, 設(shè)的展開式含有項(xiàng), ,令 , ,所以. 17. 【2018遼寧凌源三校聯(lián)考】在的展開式中,含項(xiàng)的為, 的展開式中含項(xiàng)的為,則的最大值為__________. 【答案】 【解析】展開式的通項(xiàng)公式為: , 令可得: ,則, 14
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