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1、
專題51 二項式定理常見的解題策略
【高考地位】
二項式定理有關(guān)問題,是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要知識點,在歷年的高考中幾乎每年都有涉及. 因此掌握二項式定理問題的常見題型及其解題策略是十分必要的. 其考試題型主要有:求展開式中指定的項、求展開式中某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)、求展開式中的系數(shù)和等,其難度不會太大,但題型可能較靈活.在高考中通常是以易題出現(xiàn),主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查,其試題難度屬中檔題.
【方法點評】
類型一 求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)
使用情景:求展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù)
解題模板:第一步 首先求出二項展開式的通項
2、;
第二步 根據(jù)已知求出展開式中指定的項或某一項的系數(shù)或二項式系數(shù);
第三步 得出結(jié)論.
例1. 展開式中第3項的二項式系數(shù)為( )
A.6 B.-6 C.24 D.-24
【答案】A
【變式演練1】二項式展開式中,項的系數(shù)為 .
【答案】
【解析】
試題分析:,所以由得系數(shù)為
考點:二項式定理
【方法點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.
(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再
3、由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).
【變式演練2】的展開式中項的系數(shù)為20,則實數(shù) .
【答案】
【解析】
試題分析:二項式展開式的通項為,令,解得,故展開式中項的系數(shù)為,解得.
考點:二項式定理.
【變式演練3】求的展開式中的系數(shù).
【答案】.
考點:二項式定理.
類型二 二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和
使用情景:二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)和
解題模板:第一步 觀察題意特征,合理地使用賦值法;
第二步 區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù),靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì);
第三步 得出結(jié)論.
例2 【2018河北衡水模擬】若的展開式中的
4、二項式系數(shù)和為, 的系數(shù)為,則為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故選
【變式演練4】在的展開式中,各二項式系數(shù)的和為128,則常數(shù)項是__________.
【答案】14.
考點:1、二項式定理的應(yīng)用.
類型三 二項式定理的應(yīng)用
使用情景:使用二項式定理處理整除問題
解題模板:第一步 通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與余數(shù)密切相關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式;
第二步 再用二項式定理展開,但要注意兩點:一是余數(shù)的范圍,a=cr+b,其中余數(shù)b∈[0,
r),r是除數(shù),切記余數(shù)不能為負(fù),二是二項式定理的
5、逆用.;
第三步 得出結(jié)論.
例3 .設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,則a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
【答案】D.
【解析】
點評:在使用二項式定理展開,但要注意兩點:一是余數(shù)的范圍,a=cr+b,其中余數(shù)b∈[0,r),r是除數(shù),切記余數(shù)不能為負(fù),二是二項式定理的逆用.
【變式演練5】S=C27(1)+C27(2)+…+C27(27)除以9的余數(shù)為________.
【答案】7.
【解析】
考點:二項式定理.
【高考再現(xiàn)】
1. 【2017課標(biāo)1
6、,理6】展開式中的系數(shù)為
A.15 B.20 C.30 D.35
【答案】C
【解析】
試題分析:因為,則展開式中含的項為,展開式中含的項為,故前系數(shù)為,選C.
【考點】二項式定理
【名師點睛】對于兩個二項式乘積的問題,第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每項,分析好的項共有幾項,進(jìn)行加和.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項的具體情況,尤其是兩個二項式展開式中的不同.
2.【2017課標(biāo)3,理4】的展開式中33的系數(shù)為
A. B. C.40 D.80
【答案】C
3.【2017浙江,13】已知多項式32=,則=___
7、_____,=________.
【答案】16,4
【解析】
試題分析:由二項式展開式可得通項公式為:,分別取和可得,令可得
【考點】二項式定理
【名師點睛】本題主要考查二項式定理的通項與系數(shù),屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一,關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個方面命題:(1)考查二項展開式的通項公式;(可以考查某一項,也可考查某一項的系數(shù))(2)考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和;(3)二項式定理的應(yīng)用.
4.【2017山東,理11】已知的展開式中含有項的系數(shù)是,則 .
【答案】
【解析】試題分析:由二項式定理的通
8、項公式,令得:,解得.
【考點】二項式定理
【名師點睛】根據(jù)二項式展開式的通項,確定二項式系數(shù)或確定二項展開式中的指定項,是二項式定理問題中的基本問題,往往要綜合運(yùn)用二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項式展開式的通項求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等.
5.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位,則的展開式中含x4的項為
(A)-15x4 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4
【答案】A
6. 【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中,的系數(shù)為__________________.(用數(shù)字作答)
【答案】60.
【解析】
9、
試題分析:根據(jù)二項展開的通項公式可知,的系數(shù)為,故填:.
考點:二項式定理.
【名師點睛】1.所謂二項展開式的特定項,是指展開式中的某一項,如第項、常數(shù)項、有理項、字母指數(shù)為某些特殊值的項.求解時,先準(zhǔn)確寫出通項,再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號),根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征,列出方程或不等式來求解即可;2、求有理項時要注意運(yùn)用整除的性質(zhì),同時應(yīng)注意結(jié)合的范圍分析.
7. 【2016高考新課標(biāo)1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案)
【答案】
考點:二項式定理
8 【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用
10、數(shù)字作答)
【答案】
【解析】
試題分析:展開式通項為,令,,所以的.故答案為.
考點:二項式定理
9. 【2016高考山東理數(shù)】若(ax2+)5的展開式中x5的系數(shù)是—80,則實數(shù)a=_______.
【答案】-2
【解析】
試題分析:因為,所以由,因此
考點:二項式定理
【名師點睛】本題是二項式定理問題中的常見題型,二項展開式的通項公式,往往是考試的重點.本題難度不大,易于得分.能較好的考查考生的基本運(yùn)算能力等.
10.【2015高考天津,理12】在 的展開式中,的系數(shù)為 .
【答案】
【反饋練習(xí)】
1.【2018廣西桂梧高中聯(lián)考】的展開式
11、的第4項的系數(shù)為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可得的展開式的第4項為,選A.
2. 【2018陜西西安長安區(qū)聯(lián)考】若,則的展開式中常數(shù)項為
A. 8 B. 16 C. 24 D. 60
【答案】C
【解析】∵∴的通項公式為
令,即
∴二項式展開式中常數(shù)項是,故選C
3. 【2018東北名校聯(lián)考】若,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由二項展開式的通項公式,可知都小于.則.在原二項展開式中令,可得.故本題答案選.
4.【2018陜西兩校聯(lián)考】
12、的展開式中的系數(shù)是( )
A. 56 B. 84 C. 112 D. 168
【答案】D
【解析】根據(jù)和的展開式的通項公式可得, 的系數(shù)為,故選D.
5.【2018廣西南寧摸底聯(lián)考】的展開式中項的系數(shù)為( )
A. 80 B. C. D. 48
【答案】B
【解析】由題意可得,令r=1,所以的系數(shù)為-80.選B.
6.【2018云南昆明一中摸底】二項式展開式中的常數(shù)項為( )
A. B. C. D.
【答案】B
7.【2018廣西柳州摸底聯(lián)考】的展開式中, 的系數(shù)為( )
A. 60
13、 B. C. 240 D.
【答案】C
【解析】,選C.
8.【江西省新余市2016屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題】展開式中除常數(shù)項外的其余項的系數(shù)之和為 .
【答案】
考點:二項式定理.
9.【2018廣西南寧八中摸底】在的展開式中,含的項的系數(shù)是( )
A. 60 B. 160 C. 180 D. 240
【答案】D
【解析】二項式的通項公式為
,令,所以含的項的系數(shù)是,故選D
10.【2018陜西名校五校聯(lián)考】的展開式中常數(shù)項為( )
A. B. C. D. 25
14、
【答案】C
【解析】 的通項為, ,根據(jù)式子可知當(dāng) 或 時有常數(shù)項,令 ; 令;故所求常數(shù)項為 ,故選C.
11.【2018江西新余一中二?!吭诙検降恼归_式中,各項系數(shù)之和為,各項二項式系數(shù)之和為,且,則展開式中常數(shù)項的值為( )
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
【答案】B
12.【2018四川德陽三校聯(lián)考】已知,則___________.
【答案】
【解析】含的項的系數(shù)為,故填.
13. 【2018福建四校聯(lián)考】在的二項展開式中, 的項的系數(shù)是_______.(用數(shù)字作答)
【答案】70
【解析】根據(jù)二項式定理, 的通項為
15、,
當(dāng)時,即r=4時,可得.
即項的系數(shù)為70.
14. 【2018黑龍江齊齊哈爾一模】在的展開式中,常數(shù)項是__________.
【答案】
【解析】第一個括號取,第二個括號為
∴常數(shù)項是
故答案為:
15. 【2018江西宜春六校聯(lián)考】若,且,則的值為__________.
【答案】1
16. 【2018山西山大附中四調(diào)】 ,則__________.
【答案】28
【解析】令 ,則,
設(shè)的展開式含有項, ,令 , ,所以.
17. 【2018遼寧凌源三校聯(lián)考】在的展開式中,含項的為, 的展開式中含項的為,則的最大值為__________.
【答案】
【解析】展開式的通項公式為: ,
令可得: ,則,
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