2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差大題狂練 理

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1、 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差 1.某印刷廠的打印機(jī)每5年需淘汰一批舊打印機(jī)并購買新機(jī),買新機(jī)時(shí),同時(shí)購買墨盒,每臺(tái)新機(jī)隨機(jī)購買第一盒墨150元,優(yōu)惠0元;再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元,即第一盒墨沒有優(yōu)惠,第二盒墨優(yōu)惠一元,第三盒墨優(yōu)惠2元,……,依此類推,每臺(tái)新機(jī)最多可隨新機(jī)購買25盒墨.平時(shí)購買墨盒按零售每盒200元. 公司根據(jù)以往的記錄,十臺(tái)打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表: 消耗墨盒數(shù) 22 23 24 25 打印機(jī)臺(tái)數(shù) 1 4 4 1 以這十臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率,記ξ表示兩臺(tái)打印機(jī)

2、5年消耗的墨盒數(shù). (1)求ξ的分布列; (2)若在購買兩臺(tái)新機(jī)時(shí),每臺(tái)機(jī)隨機(jī)購買23盒墨,求這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望. 【答案】(1) ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2) 這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年所需購買墨盒的費(fèi)用的期望為6614元. 故ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2)記表示在題設(shè)條件下,購買2臺(tái)新機(jī)使用五年在消耗墨盒上所需的費(fèi)用(單位:元) 若在購買兩臺(tái)新機(jī)時(shí),每臺(tái)機(jī)隨

3、機(jī)購買23盒墨,則需付款 則 答:這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年所需購買墨盒的費(fèi)用的期望為6614元. 2.隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高,綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng),市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車卡借車,初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20積分,當(dāng)積分為0時(shí),借車卡將自動(dòng)鎖定,限制借車,用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個(gè)積分的形式再次激活該卡,為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行,同時(shí)督促市民盡快還車,方便更多的市民使用,公 共自行車按每車每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分收費(fèi),具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下: ①租用時(shí)間不超過1小時(shí),免費(fèi); ②租用時(shí)

4、間為1小時(shí)以上且不超過2小時(shí),扣1分; ③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過3小時(shí),扣2分; ④租用時(shí)間超過3小時(shí),按每小時(shí)扣2分收費(fèi)(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算). 甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用公共自行車一次,兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí),設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別是0.4和0.5;租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別是0.4和0.3. (1)求甲、乙兩人所扣積分相同的概率; (2)設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1)甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36,(2)的數(shù)學(xué)期望. 【解析】試題分析:(1)先確定甲、乙兩人所扣積分相

5、同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分,再根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率,(2)先確定隨機(jī)變量取法,再分別求對(duì)應(yīng)概率,列表可得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望. (Ⅱ)的可能取值為: , , , , , 所以的分布列為: 0 1 2 3 4 P 0.2 0.32 0.3 0.14 0.04 的數(shù)學(xué)期望. 答:甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36, 的數(shù)學(xué)期望. 3.已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通過對(duì)其化驗(yàn)病毒來確定是否感染.下面是兩

6、種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定感染為止.方案乙:將6只分為兩組,每組三個(gè),并將它們混合在一起化驗(yàn),若存在病毒,則表明感染在這三只當(dāng)中,然后逐個(gè)化驗(yàn),直到確定感染為止;若結(jié)果不含病毒,則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn). (1)求依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率. (2)首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為10元,第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為8元,第三次及其以后每次化驗(yàn)費(fèi)都是6元,列出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列,并估計(jì)用方案甲平均需要體驗(yàn)費(fèi)多少元? 【答案】(1);(2)分布列見解析, . 試題解析: (2)設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為,則可能的取值為1,2,3,4,5,對(duì)應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)用為元,則 , , ,

7、, 則其化驗(yàn)費(fèi)用的分布列為 所以(元). 所以甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)元 4.某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品,每年每位職工只要交少量保費(fèi),發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付頻率). 對(duì)于、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為元,元,元,出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元,100萬元,50萬元,保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元. (Ⅰ)若保險(xiǎn)公司要求利

8、潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%,試確定保費(fèi)、所要滿足的條件; (Ⅱ)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇; 方案1:企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作,企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)提供的等額的賠償金額賠付給出險(xiǎn)職工; 方案2:企業(yè)于保險(xiǎn)公司合作,企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%,職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%,出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付. 若企業(yè)選擇翻翻2的支出(不包括職工支出)低于選擇方案1的支出期望,求保費(fèi)、所要滿足的條件,并判斷企業(yè)是否可與保險(xiǎn)公司合作.(若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望,且與(Ⅰ)中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾,則企業(yè)可與保險(xiǎn)公司合作.) 【答案】(Ⅰ)元;(Ⅱ)企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作. 試題解

9、析:(Ⅰ)設(shè)工種,,職工的每份保單保險(xiǎn)公司的效益為隨機(jī)變量,,,則,,的分布列為 保險(xiǎn)公司期望收益, , . 根據(jù)要求 . 解得, 所以每張保單的保費(fèi)需要滿足元. 結(jié)果與(Ⅰ)不沖突,所以企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作. 5.如圖,小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲,他們通過劃拳(剪刀、石頭、布)比賽決勝誰首先登上第3個(gè)臺(tái)階,他們規(guī)定從平地開始,每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階,輸?shù)囊环皆夭粍?dòng),平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階,如果一方連續(xù)兩次贏,那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì),除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階,當(dāng)有

10、任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí),游戲結(jié)束,記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為. (1)求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率; (2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1)(2) 試題解析:解:(1)易知對(duì)于每次劃拳比賽基本事件共有個(gè),其中小華贏(或輸)包含三個(gè)基本事件上,他們平局也為三個(gè)基本事件,不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為;事件“第 次劃拳小華平”為;事件“第 次劃拳小華輸”為,所以. 因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階,所以這包含兩種可能的情況: 第一種:小華在第1個(gè)臺(tái)階,并且小明在第2個(gè)臺(tái)階,最后一次劃拳小華平; 其概率為, 第二種:小華在第2個(gè)臺(tái)階,并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階,最后

11、一次劃拳小華輸, 其概率為 所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為. (2)依題可知的可能取值為2、3、4、5, , , , 所以的分布列為: 2 3 4 5 所以的數(shù)學(xué)期望為: . 6.為吸引顧客,某公司在商場(chǎng)舉辦電子游戲活動(dòng).對(duì)于兩種游戲,每種游戲玩一次均會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果,而且每次游戲的結(jié)果相互獨(dú)立,具體規(guī)則如下:玩一次游戲,若綠燈閃亮,獲得分,若綠燈不閃亮,則扣除分(即獲得分),綠燈閃亮的概率為;玩一次游戲,若出現(xiàn)音樂,獲得分,若沒有出現(xiàn)音樂,則扣除分(即獲得分),出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計(jì)積分達(dá)到分可以兌換獎(jiǎng)品.

12、(1)記為玩游戲和各一次所得的總分,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)記某人玩次游戲,求該人能兌換獎(jiǎng)品的概率. 【答案】(1)詳見解析;(2). 試題解析:(1)隨機(jī)變量的所有可能取值為,分別對(duì)應(yīng)以下四種情況: ①玩游戲,綠燈閃亮,且玩游戲,出現(xiàn)音樂; ②玩游戲,綠燈不閃亮,且玩游戲,出現(xiàn)音樂; ③玩游戲,綠燈閃亮,且玩游戲,沒有出現(xiàn)音樂; ④玩游戲,綠燈不閃亮,且玩游戲,沒有出現(xiàn)音樂, 所以, , , , 即的分布列為 . 7.教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文樂隊(duì)理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān),某校興趣小組為了驗(yàn)證這

13、個(gè)結(jié)論,從該校選擇甲乙兩個(gè)同軌班級(jí)進(jìn)行試驗(yàn),其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練,乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練,一段時(shí)間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表(單位:人) (1)能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)? (2)經(jīng)過多次測(cè)試后,小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在5—7分鐘,小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在6—8分鐘,現(xiàn)小明、小剛同時(shí)獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題,求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率; (3)現(xiàn)從乙班成績(jī)優(yōu)秀的8名同學(xué)中任意抽取兩人,并對(duì)他們點(diǎn)答題情況進(jìn)行全程研究,記A、B兩人中被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X

14、). 【答案】(1)見解析; (2) ;(3)見解析. 試題解析:(1)由表中數(shù)據(jù)得的觀測(cè)值 所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān). (2)設(shè)小明和小剛解答這道數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時(shí)間分別為分鐘, 則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?(如圖所示) 設(shè)事件為“小剛比小明先解答完此題” 則滿足的區(qū)域?yàn)? 由幾何概型 即小剛比小明先解答完此題的概率為. (3)可能取值為, , , 的分布列為: 1 . 8.某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染,提供了批號(hào)分別為的五批疫苗,供全市所轄的三個(gè)區(qū)市民注射,每

15、個(gè)區(qū)均能從中任選其中一個(gè)批號(hào)的疫苗接種. (1)求三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率; (2)記三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為,求 的分布列及期望. 【答案】(1);(2)詳見解析. 試題解析: (1) ( 三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)恰好兩個(gè)區(qū)相同)= . (2) 設(shè)三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為所有可能取值為. , , . 所以 的分布列: 即的期望: . 9.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購買的險(xiǎn)種,若普通座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一

16、年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如下表: 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格: 類型 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 以這輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題: (Ⅰ)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定, ,記為某同學(xué)家里的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字) (Ⅱ)某二手

17、車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損元,一輛非事故車盈利元: ①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至少有一輛事故車的概率; ②若該銷售商一次購進(jìn)輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤(rùn)的期望值. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)①,②見解析. 試題解析: (Ⅰ)由題意可知的可能取值為由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知: 所以的分布列為: 所以 (Ⅱ)①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事

18、故車的概率為三輛車中至少有一輛事故車的概率為 ②為該銷售購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn), 的可能取值為 所以的分布列為: -3000 10000 所以 所以該銷售商一次購進(jìn)輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為萬元. 10.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象(能力指標(biāo))、推理(能力指標(biāo))、建模(能力指標(biāo))的相關(guān)性,并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí),再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí),為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng),調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生,得到如下結(jié)果: 學(xué)生

19、編號(hào) (1)在這10名學(xué)生中任取兩人,求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率; (2)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人,其綜合指標(biāo)為,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人,其綜合指標(biāo)為,記隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1)(2) (2) 由題可知,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí):,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的:;的可能取值為1,2,3,4,5. 具體如下: 學(xué)生 編號(hào) 綜合 指標(biāo) 7 7 9 5 7 8 6 8 4 6 核心素養(yǎng)等級(jí) 一級(jí) 一級(jí) 一級(jí) 二級(jí) 一級(jí) 一級(jí) 二級(jí) 一級(jí) 三級(jí) 二級(jí) (2)由題可知,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí):,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的:;的可能取值為1,2,3,4,5. ∴隨機(jī)變量的分布列為 1 2 3 4 5 ∴ . 14

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