2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度3.1 離散型隨機變量的分布列與期望、方差大題狂練 理

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1、 命題角度3.1 離散型隨機變量的分布列與期望、方差 1．某印刷廠的打印機每5年需淘汰一批舊打印機并購買新機，買新機時，同時購買墨盒，每臺新機隨機購買第一盒墨150元，優(yōu)惠0元；再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元，即第一盒墨沒有優(yōu)惠，第二盒墨優(yōu)惠一元，第三盒墨優(yōu)惠2元，……，依此類推，每臺新機最多可隨新機購買25盒墨．平時購買墨盒按零售每盒200元． 公司根據(jù)以往的記錄，十臺打印機正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表： 消耗墨盒數(shù) 22 23 24 25 打印機臺數(shù) 1 4 4 1 以這十臺打印機消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺打印機消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率，記ξ表示兩臺打印機

2、5年消耗的墨盒數(shù)． (1)求ξ的分布列； (2)若在購買兩臺新機時，每臺機隨機購買23盒墨，求這兩臺打印機正常使用五年在消耗墨盒上所需費用的期望． 【答案】(1) ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2) 這兩臺打印機正常使用五年所需購買墨盒的費用的期望為6614元. 故ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2)記表示在題設(shè)條件下，購買2臺新機使用五年在消耗墨盒上所需的費用（單位：元） 若在購買兩臺新機時，每臺機隨

3、機購買23盒墨，則需付款 則 答：這兩臺打印機正常使用五年所需購買墨盒的費用的期望為6614元． 2.隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡借車，初次辦卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20積分，當(dāng)積分為0時，借車卡將自動鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公 共自行車按每車每次的租用時間進行扣分收費，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下： ①租用時間不超過1小時，免費； ②租用時

4、間為1小時以上且不超過2小時，扣1分； ③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分； ④租用時間超過3小時，按每小時扣2分收費（不足1小時的部分按1小時計算）. 甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.4和0.3. （1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率； （2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36，（2）的數(shù)學(xué)期望． 【解析】試題分析：（1）先確定甲、乙兩人所扣積分相

5、同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，（2）先確定隨機變量取法，再分別求對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望. （Ⅱ）的可能取值為： ， ， ， ， ， 所以的分布列為： 0 1 2 3 4 P 0.2 0.32 0.3 0.14 0.04 的數(shù)學(xué)期望． 答：甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36， 的數(shù)學(xué)期望． 3.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對其化驗病毒來確定是否感染.下面是兩

6、種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分為兩組，每組三個，并將它們混合在一起化驗，若存在病毒，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個化驗，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒，則在另外一組中逐個進行化驗. （1）求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率. （2）首次化驗化驗費為10元，第二次化驗化驗費為8元，第三次及其以后每次化驗費都是6元，列出方案甲所需化驗費用的分布列，并估計用方案甲平均需要體驗費多少元？ 【答案】（1）；（2）分布列見解析， . 試題解析： （2）設(shè)方案甲化驗的次數(shù)為，則可能的取值為1,2,3,4,5,對應(yīng)的化驗費用為元,則 ， ， ，

7、， 則其化驗費用的分布列為 所以（元）. 所以甲方案平均需要化驗費元 4.某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付頻率）. 對于、、三類工種職工每人每年保費分別為元，元，元，出險后的賠償金額分別為100萬元，100萬元，50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元. （Ⅰ）若保險公司要求利

8、潤的期望不低于保費的20%，試確定保費、所要滿足的條件； （Ⅱ）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇； 方案1：企業(yè)不與保險公司合作，企業(yè)自行拿出與保險提供的等額的賠償金額賠付給出險職工； 方案2：企業(yè)于保險公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費的60%，職工個人負(fù)責(zé)保費的40%，出險后賠償金由保險公司賠付. 若企業(yè)選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費、所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否可與保險公司合作.（若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險公司所提條件不矛盾，則企業(yè)可與保險公司合作.） 【答案】（Ⅰ）元；（Ⅱ）企業(yè)有可能與保險公司合作. 試題解

9、析：（Ⅰ）設(shè)工種，，職工的每份保單保險公司的效益為隨機變量，，，則，，的分布列為 保險公司期望收益， ， . 根據(jù)要求 . 解得， 所以每張保單的保費需要滿足元. 結(jié)果與（Ⅰ）不沖突，所以企業(yè)有可能與保險公司合作. 5.如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸?shù)囊环皆夭粍?，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經(jīng)登上第3個臺階，當(dāng)有

10、任何一方登上第3個臺階時，游戲結(jié)束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為． （1）求游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率； （2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1）（2） 試題解析：解：（1）易知對于每次劃拳比賽基本事件共有個，其中小華贏（或輸）包含三個基本事件上，他們平局也為三個基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第 次劃拳小華平”為；事件“第 次劃拳小華輸”為，所以． 因為游戲結(jié)束時小華在第2個臺階，所以這包含兩種可能的情況： 第一種：小華在第1個臺階，并且小明在第2個臺階，最后一次劃拳小華平； 其概率為， 第二種：小華在第2個臺階，并且小明也在第2個臺階，最后

11、一次劃拳小華輸， 其概率為 所以游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率為． （2）依題可知的可能取值為2、3、4、5， ， ， ， 所以的分布列為： 2 3 4 5 所以的數(shù)學(xué)期望為： ． 6.為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動.對于兩種游戲，每種游戲玩一次均會出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲，若綠燈閃亮，獲得分，若綠燈不閃亮，則扣除分（即獲得分），綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲，若出現(xiàn)音樂，獲得分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除分（即獲得分），出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計積分達到分可以兌換獎品.

12、（1）記為玩游戲和各一次所得的總分，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）記某人玩次游戲，求該人能兌換獎品的概率. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 試題解析：（1）隨機變量的所有可能取值為，分別對應(yīng)以下四種情況： ①玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂； ②玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂； ③玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，沒有出現(xiàn)音樂； ④玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，沒有出現(xiàn)音樂， 所以， ， ， ， 即的分布列為 . 7.教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強語文樂隊理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗證這

13、個結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個同軌班級進行試驗，其中甲班加強閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時間后進行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表（單位：人） （1）能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？ （2）經(jīng)過多次測試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在5—7分鐘，小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時間在6—8分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時獨立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率； （3）現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，并對他們點答題情況進行全程研究，記A、B兩人中被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X

14、）. 【答案】（1）見解析； (2) ；（3）見解析. 試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測值 所以根據(jù)統(tǒng)計有的把握認(rèn)為加強語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān). (2)設(shè)小明和小剛解答這道數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時間分別為分鐘， 則基本事件滿足的區(qū)域為 (如圖所示) 設(shè)事件為“小剛比小明先解答完此題” 則滿足的區(qū)域為 由幾何概型 即小剛比小明先解答完此題的概率為. （3）可能取值為， ， ， 的分布列為： 1 . 8.某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為的五批疫苗，供全市所轄的三個區(qū)市民注射，每

15、個區(qū)均能從中任選其中一個批號的疫苗接種. （1）求三個區(qū)注射的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率； （2）記三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為，求 的分布列及期望. 【答案】（1）；（2）詳見解析. 試題解析： (1) ( 三個區(qū)注射的疫苗批號恰好兩個區(qū)相同)= . (2) 設(shè)三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為所有可能取值為. ， ， . 所以 的分布列： 即的期望： . 9.交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準(zhǔn)保費）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一

16、年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表： 某機構(gòu)為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況，隨機抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格： 類型 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 以這輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題： （Ⅰ）按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定， ，記為某同學(xué)家里的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字） （Ⅱ）某二手

17、車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進一輛事故車虧損元，一輛非事故車盈利元： ①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有一輛事故車的概率； ②若該銷售商一次購進輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）①,②見解析. 試題解析： （Ⅰ）由題意可知的可能取值為由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知： 所以的分布列為： 所以 （Ⅱ）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事

18、故車的概率為三輛車中至少有一輛事故車的概率為 ②為該銷售購進并銷售一輛二手車的利潤， 的可能取值為 所以的分布列為： -3000 10000 所以 所以該銷售商一次購進輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元. 10.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果： 學(xué)生

19、編號 （1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率； （2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機變量，求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）（2） (2) 由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：；的可能取值為1,2,3,4,5. 具體如下： 學(xué)生 編號 綜合 指標(biāo) 7 7 9 5 7 8 6 8 4 6 核心素養(yǎng)等級 一級 一級 一級 二級 一級 一級 二級 一級 三級 二級 （2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級的：；的可能取值為1,2,3,4,5. ∴隨機變量的分布列為 1 2 3 4 5 ∴ . 14