【創(chuàng)新設計】高考數學 北師大版一輪訓練：第2篇 方法強化練函數與基本初等函數

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1、 方法強化練——函數與基本初等函數 (建議用時：75分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·西安中學模擬)函數y＝的定義域為(　　)． A． B.∪(－1，＋∞) C． D.∪(－1，＋∞) 解析　由得x∈. 答案　A 2．(20xx·江西九校聯考)下列函數中既不是奇函數也不是偶函數的是(　　)． A．y＝2|x|　 B．y＝lg(x＋) C．y＝2x＋2－x　 D．y＝lg 解析　根據奇偶性的定義易知A、C為偶函數，B為奇函數，D的定義域為{x|x＞－1}，不關于原點對稱． 答案　D 3．(20xx·山東省實驗中學診斷)已知冪函數f(x)的圖像經過(9,3

2、)，則f(2)－f(1)＝(　　)． A．3　 B．1－　 C．－1　 D．1 解析　設冪函數為f(x)＝xα，則f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝，即f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1，選C. 答案　C 4．(20xx·長安一中模擬)函數f(x)＝ln(x＋1)－的零點所在的大致區(qū)間是(　　)． A．(0,1)　 B．(1,2)　 C．(2，e)　 D．(3,4) 解析　因為f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，所以函數的零點所在的大致區(qū)間是(1,2)，選B. 答案　B 5．(20xx·上饒模擬)函數f(x)＝(x＋1)ln

3、x的零點有(　　)． A．0個　 B．1個　 C．2個　 D．3個 解析　函數的定義域為{x|x＞0}，由f(x)＝(x＋1)ln x＝0得，x＋1＝0或ln x＝0，即x＝－1(舍去)或x＝1，所以函數的零點只有一個，選B. 答案　B 6．(20xx·煙臺月考)若a＝log20.9，b＝3－，c＝，則(　　)． A．a＜b＜c　 B．a＜c＜b C．c＜a＜b　 D．b＜c＜a 解析　a＝log20.9＜0，b＝＞＝c＞0. 答案　B 7．(20xx·濰坊二模)函數y＝|x＋1|的大致圖像為(　　)． 解析　因為y＝|x＋1|＝所以圖像為B. 答案　B 8．已知

4、f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝3x＋m(m為常數)，則f(－log35)的值為(　　)． A．－4　 B．4　 C．－6　 D．6 解析　由題意f(0)＝0，即1＋m＝0， 所以m＝－1，f(－log35)＝－f(log35) ＝－(3log35－1)＝－4. 答案　A 9．(20xx·寶雞模擬)某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　)． A．45.606　 B．45.6　 C．45.56　 D．45.51

5、 解析　設在甲地銷售x輛車，則在乙地銷售15－x輛車，獲得的利潤為 y＝5.06x－0.15x2＋2×(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30， 當x＝－＝10.2時，y最大，但x∈N，所以當x＝10時，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案　B 10．(20xx·陜西卷)設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，y，有(　　)． A．[－x]＝－[x]　 B．＝[x] C．[2x]＝2[x]　 D．[x]＋＝[2x] 解析　特值法　對A，設x＝－1.8，則[－x]＝1，－[x]＝2，所以A選項為假；對B，設x＝1.8，則＝2，[x]＝1，所以B選項為假

6、；對C，設x＝－1.4，[2x]＝[－2.8]＝－3,2[x]＝－4，所以C選項為假．故D選項為真，所以選D. 答案　D 二、填空題 11．(20xx·湖南卷)函數f(x)＝ln x的圖像與函數g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點個數為________． 解析　因為g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，所以作出函數f(x)＝ln x與g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的圖像，由圖像可知兩函數圖像的交點個數有2個． 答案　2 12．(20xx·西工大附中模擬)設f(x)＝ 則f[f(－1)]＝________. 解析　f(－1)＝(－1)2＝1，所以f[f(－1)]＝f

7、(1)＝21＝2. 答案　2 13．(20xx·萍鄉(xiāng)模擬)已知函數f(x)＝e|x－a|(a為常數)．若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數，則a的取值范圍是________． 解析　g(x)＝|x－a|的增區(qū)間為[a，＋∞)， ∴f(x)＝e|x－a|的增區(qū)間為[a，＋∞)． ∵f(x)在[1，＋∞)上是增函數， ∴[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1. 答案　(－∞，1] 14．(20xx·濱州一模)定義在R上的偶函數f(x)，且對任意實數x都有f(x＋2)＝f(x)，當x∈[0,1)時，f(x)＝x2，若在區(qū)間[－1,3]內，函數g(x)＝f(x)－kx－k有4個零點，則

8、實數k的取值范圍是________． 解析　由f(x＋2)＝f(x)得函數的周期為2.由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝kx＋k＝k(x＋1)，分別作出函數y＝f(x)，y＝k(x＋1)的圖像，設A(3,1), B(－1,0)，要使函數有4個零點，則直線y＝k(x＋1)的斜率0＜k≤kAB，因為kAB＝＝，所以0＜k≤，即實數k的取值范圍是. 答案　 15．(20xx·揚州質檢)對于函數f(x)＝x|x|＋px＋q，現給出四個命題： ①q＝0時，f(x)為奇函數； ②y＝f(x)的圖像關于(0，q)對稱； ③p＝0，q＞0時，方程f(x)＝0有且只有一個實數根；

9、 ④方程f(x)＝0至多有兩個實數根． 其中正確命題的序號為________． 解析　若q＝0，則f(x)＝x|x|＋px＝x(|x|＋p)為奇函數，所以①正確；由①知，當q＝0時，f(x)為奇函數，圖像關于原點對稱，f(x)＝x|x|＋px＋q的圖像由函數f(x)＝x|x|＋px向上或向下平移|q|個單位，所以圖像關于(0，q)對稱，所以②正確；當p＝0，q＞0時，f(x)＝x|x|＋q＝當f(x)＝0，得x＝－，只有一解，所以③正確；取q＝0，p＝－1，f(x)＝x|x|－x＝由f(x)＝0，可得x＝0，x＝±1有三個實根，所以④不正確．綜上正確命題的序號為①②③. 答案　①②③

10、三、解答題 16．(20xx·贛州模擬)函數f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的圖像過點(8,2)和(1，－1)． (1)求函數f(x)的解析式； (2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值時x的值． 解　(1)由得 解得m＝－1，a＝2， 故函數解析式為f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1) ＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)] ＝log2－1(x＞1)． ∵＝＝(x－1)＋＋2≥ 2 ＋2＝4. 當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立．而函數y＝log2x在(0，＋∞)上單調遞

11、增，則log2 －1≥log24－1＝1， 故當x＝2時，函數g(x)取得最小值1. 17．(20xx·安康模擬)對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，已知函數f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)． (1)當a＝1，b＝－2時，求f(x)的不動點； (2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍． 解　(1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3，由題意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3. 故當a＝1，b＝－2時，f(x)的不動點是－1,3. (2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x

12、＋b－1(a≠0)恒有兩個不動點，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1， 即ax2＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實根， ∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立． 于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時的a的范圍是(0,1)． 18．(20xx·臨川模擬)某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C(x)，當年產量不足80千件時，C(x)＝x2＋10x(萬元)；當年產量不小于80千件時，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完． (1)寫出年

13、利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式； (2)年產量為多少千件時，該廠在這種商品的生產中所獲利潤最大？ 解　(1)因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1 000x萬元，依題意得，當0＜x＜80時，L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250. 當x≥80時，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－. 所以L(x)＝ (2)當0＜x＜80時， L(x)＝－(x－60)2＋950. 此時，當x＝60時， L(x)取得最大值L(60)＝950萬元． 當x≥80時，L(x)＝1 200－≤1 200－ 2 ＝1 200－200＝1 000. 此時，當x＝， 即x＝100時，L(x)取得最大值1 000萬元． 因為950＜1 000，所以，當年產量為100千件時，該廠在這種商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為1 000萬元．