【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國卷高考數(shù)學(xué)真題分類精編 導(dǎo)數(shù)大題 （精解精析） 一、解答題 1．(2021年高考全國甲卷理科)已知且，函數(shù)． (1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間； (2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍． 【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）． 解析：（1）當(dāng)時，, 令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，, ∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減； （2）,設(shè)函數(shù), 則,令，得, 在內(nèi),單調(diào)遞增； 在上,單調(diào)遞減； , 又，當(dāng)趨近于時，趨近于0， 所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是, 所以的取值范圍是． 【點睛】本

2、題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解． 2．(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點． (1)求a； (2)設(shè)函數(shù)．證明:． 【答案】；證明見詳解 解析：（1）由，， 又是函數(shù)的極值點，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 當(dāng) 時，要證，， ，即證，化簡得； 同理，當(dāng)時，要證，， ，即證，化簡得； 令，再令，則，， 令，， 當(dāng)時，，單減，假設(shè)能取到，則，故； 當(dāng)時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；

3、 綜上所述，在恒成立 【點睛】本題為難題，根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題． 3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)． (1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍． 【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．（2） 【解析】(1)當(dāng)時，，， 由于，故單調(diào)遞增，注意到，故： 當(dāng)時，單調(diào)遞減， 當(dāng)時，單調(diào)遞增． (2)由得，，其中， ①．當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合

4、題意； ②．當(dāng)時，分離參數(shù)a得，， 記，， 令， 則，， 故單調(diào)遞增，， 故函數(shù)單調(diào)遞增，， 由可得：恒成立， 故當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 因此，, 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是． 【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)

5、Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x． (1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性； (2)證明：； (3)設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．（2）證明見解析；（3）證明見解析． 解析：(1)由函數(shù)的解析式可得：，則： ， 在上的根為：， 當(dāng)時，單調(diào)遞增， 當(dāng)時，單調(diào)遞減， 當(dāng)時，單調(diào)遞增 (2)注意到， 故函數(shù)是周期為的函數(shù)， 結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：， ，， 據(jù)此可得：，， 即． (3)結(jié)合(2)的結(jié)論有： ． 【點睛

6、】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直． (1)求b． (2)若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1． 【答案】（1）；（2）證明見解析 解析：（1）因為， 由題意，，即

7、則； （2）由（1）可得， ， 令，得或；令，得， 所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增， 且， 若所有零點中存在一個絕對值大于1零點，則或， 即或． 當(dāng)時，， 又， 由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點， 即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點， 此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾； 當(dāng)時，， 又， 由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點， 即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點， 此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾； 綜上，所有零點的絕對值都不大于1． 【點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯

8、推理能力，是一道有一定難度的題． 6．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性； (2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由． 【答案】(1)見詳解；(2)或． 【官方解析】 (1)． 令，得或． 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若時，在單調(diào)遞增； 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿足題設(shè)條件的存在． (ⅰ)當(dāng)時，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即． (ⅱ)當(dāng)時，由(1)知，在單

9、調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即． (ⅲ)當(dāng)時，由(1)知，在的最小值為，最大值為或． 若，則，與矛盾． 若，則或或，與矛盾． 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)或，在最小值為，最大值為1． 【點評】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算．思考量不大，計算量略大． 7．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知函數(shù)． 討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點； 設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線． 【答案】函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；證明見解析. 【官方解析】

10、的定義域為. 因為，所以在和上是單調(diào)遞增. 因為，， 所以在有唯一零點，即． 又，，故在有唯一零點． 綜上，有且僅有兩個零點． 因為，故點在曲線上． 由題設(shè)知，即， 故直線的斜率． 曲線在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線的切線． 【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性； 先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可. 【解析】函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)的定義域為，所以，因此函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)，時，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)

11、時，函數(shù)有唯一的零點； 當(dāng)時，， 因為，所以函數(shù)在必有一零點，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點 綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點； 因為是的一個零點，所以 ，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為， 當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時，即， 切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線. 【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 8

12、．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明： (1)在區(qū)間存在唯一極大值點； (2)有且僅有2個零點． 【答案】解：（1）設(shè)，則，．當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點，設(shè)為． 則當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點． （2）的定義域為． （i）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點． （ii）當(dāng)時，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 又，，所以當(dāng)時，．從而在沒有零點． （iii）當(dāng)時，，所

13、以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點． （iv）當(dāng)時，，所以<0，從而在沒有零點． 綜上，有且僅有2個零點． 9．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)． (1)若，證明：當(dāng)時，，當(dāng)時，； (2)若是的極大值點，求． 【答案】【官方解析】當(dāng)時，， 設(shè)函數(shù)，則 當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時， 所以在上單調(diào)遞增 又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，． （2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時， 這與是的極大值點矛盾 （ii）若，設(shè)函數(shù) 由于當(dāng)時，，故與符號相同 又，故是的極大值點，當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點 如果，則當(dāng)，且時，，故不是的極大值點 如果，則存在根，故當(dāng)，且時，，所以不是的極大

14、值點 如果，則 則當(dāng)時，；當(dāng)時， 所以是的極大值點，從而是的極大值點 綜上． 【民間解析】（1）法一：當(dāng)時， 函數(shù)的定義域為，此時 記 則 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而 所以當(dāng)時，，此時 當(dāng)時，，此時 法二：當(dāng)時，， 則， ①當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減 所以時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增 所以時， ②當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增 所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增 所以當(dāng)時， 綜上所述若，證明：當(dāng)時，，當(dāng)時，． （2）法一：由 可得 所以 因為是的極大值點 所以，當(dāng)時，；當(dāng)時， 又 設(shè)，則， 所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時， 所以當(dāng)時， 設(shè)，則 當(dāng)時，

15、；當(dāng)時， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增 所以任意時， 所以若時，，此時不存在極值，故 由（1）知，當(dāng)時，；當(dāng)時， 顯然，當(dāng)時， ①當(dāng)時，則 若，則，使得當(dāng)時，，此時不滿足題意，故，即 ②當(dāng)時，則 若，則，使得當(dāng)時，，此時，不滿足題意，故，即 綜上，，所以． 法二： 記， 當(dāng)，時， 所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，即 所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點不符合； 當(dāng)時，，顯然可知遞減 ①，解得，則有，，遞增； 時，，遞減，所以，故遞減，又 則，，，遞增；，，，遞減 此時為的極大值點，符合題意 ②當(dāng)時，有， 所以在有唯一零點，記為，則，，遞增 則

16、，遞增，所以，即，遞增，不符合題意； ③當(dāng)時，有， 所以在有唯一零點，記為，則，，遞減 則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意 綜上可知． 法三：（2）嘗試一：（極大值點的第二充要條件：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。） ， ， ，由得 下證：當(dāng)時，是的極大值點， ，所以在單增，在單減 進(jìn)而有，從而在單減， 當(dāng)時，，當(dāng)時， 從而在單增，在單減，所以是的極大值點。 點評：計算量很大，但不失為一種基本方法，激勵熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖?，還可以從大學(xué)的角度給出

17、一種解法。通過在階的帕德逼近可得，且兩個函數(shù)在處兩個函數(shù)可以無限制逼近，估計這也是考試中心構(gòu)造這個函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。 法四：引理1：若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為． 證明：， 因為，且，代入化簡即證： 引理2：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點的一個充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。 ， 令， 則易得，，， 由引理1知，等價于，從而迅速求得。 當(dāng)時， 嘗試二：若是的極大值點，注意到， 則存在充

18、分接近于的，使得當(dāng)時，，當(dāng)時， 得到一個恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。 對任意的，都有，進(jìn)而有 ①當(dāng)時，， 當(dāng)時， ②當(dāng)時，， 當(dāng)時， 綜上：． 10．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分) 已知函數(shù)． (1)若，證明：當(dāng)時，； (2)若在只有一個零點，求． 【答案】解析：（1）當(dāng)時，等價于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時，，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點． （i）當(dāng)時，，沒有零點． （ii）當(dāng)時，． 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，

19、即，在沒有零點； ②若，即，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點． 由（1）知，當(dāng)時，，所以． 故在有一個零點．因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性； (2)若存在兩個極值點，證明：． 【答案】解:（1）的定義域為，． （i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減． （ii）若，令得，或． 當(dāng)時，； 當(dāng)時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （2）由（1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)． 由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于 ， 所以等價于． 設(shè)函數(shù)，由

20、（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，． 所以，即． 12．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)． (1)討論的單調(diào)性; (2)若有兩個零點,求的取值范圍． 【答案】(1)詳見解析;(2)． 【分析】(1)討論的單調(diào)性,首先進(jìn)行求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進(jìn)行因式分解,再對按、進(jìn)行討論,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)問,若,至多有一個零點,若,當(dāng)時,取得最小值,求出最小值,根據(jù),進(jìn)行討論,可知當(dāng)有個零點,設(shè)正整數(shù)滿足,則,由于,因此在有一個零點,所以的取值范圍為． 【解析】(1)的定義域為, (ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減． (ⅱ)若,則由得． 當(dāng)時,;

21、當(dāng)時, 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增． (2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個零點． (ⅱ)若,由(1)知,當(dāng)時,取得最小值,最小值為． ①當(dāng)時,由于,故只有一個零點; ②當(dāng)時,由于,即,故沒有零點; ③當(dāng)時,,即． 又,故在有一個零點． 設(shè)正整數(shù)滿足,則． 由于,因此在有一個零點． 綜上,的取值范圍為． 【民間解析】:(1)函數(shù)的定義域為,且 注意到 當(dāng)時,,所以恒成立 此時函數(shù)在上單調(diào)遞減 當(dāng),由,由 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 綜上可知 ①時,在上單調(diào)遞減; ②時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 (2)

22、由(1)可知,時,在上單調(diào)遞減 此時至多一個零點,不符合題意 當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 此時函數(shù)的最小值為 要使有兩個零點,首先必須有即 令,則有,故在上單調(diào)遞增,而 所以 另一方面取 而,在單調(diào)遞增 所以函數(shù)在上有唯一一個零點,在沒有零點 此時當(dāng)時, 所以,而在上單調(diào)遞減 所以函數(shù)在上沒有零點,在上有唯一零點 綜上可知當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點． 【考點】含參函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)零點求參數(shù)的取值范圍． 【點評】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化．已知函數(shù)有個零點求參數(shù)的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不

23、含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點的個數(shù),從而求出的范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點是:若有個零點,且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗證有最小值的兩邊存在大于的點． 13．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)(12分)已知函數(shù)． (1)若，求的值； (2)設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值． 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ), 則,且 當(dāng)時,,在上單調(diào)增,所以時,,不滿足題意; 當(dāng)時, 當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增． ①若,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時矛盾

24、 ②若,在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時矛盾 ③若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴滿足題意 綜上所述． (Ⅱ)當(dāng)時即 則有當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立 ∴, 一方面:, 即． 另一方面: 當(dāng)時, ∵,, ∴的最小值為． 【考點】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 【點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相

25、聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 14．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(12分)已知函數(shù)且． (1)求 ； (2)證明：存在唯一的極大值點，且． 【答案】(1)；(2)證明略． 【命題意圖】本題考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用． 【基本解法】(1)法一． 由題知：，且 ， 所以：． 即當(dāng)時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時，成立． 令，，當(dāng)時，， 遞減，，所以：，即：．所以：； 當(dāng)時，， 遞增，，所以：，即：．所以：； 綜上：． 法二．洛必達(dá)法則

26、 由題知：，且 ， 所以：． 即當(dāng)時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時，成立． 令，． 令，． 當(dāng)時，,遞增，； 所以，遞減，． 所以：； 當(dāng)時，,遞減，； 所以，遞減，． 所以：； 故． （1） 由(1)知：，． 設(shè)，則． 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以在遞減，在遞增． 又，，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當(dāng)時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時，． 又，所以是的唯一極大值點． 由得，故． 由得． 因為是在的唯一極大值點，由，得 所以． 【考點】 利用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)

27、中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 了單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)必；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的人優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù),其中,記的最大值為. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求; (Ⅲ)證明. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析. 【解析】(Ⅰ). (Ⅱ)當(dāng)時, 因此,. 當(dāng)時,將變形為. 令

28、,則是在上的最大值 , 且當(dāng) 時,取得極小值,極小值為. 令,解得(舍去),. (i)當(dāng)時,在內(nèi)無極值點,,, 所以. (ii)當(dāng)時,由,知. 又,所以. 綜上,. (Ⅲ)由(Ⅰ)得. 當(dāng)時,. 當(dāng)時,,所以. 當(dāng)時,,所以. 16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明當(dāng)時，； (II)證明：當(dāng) 時，函數(shù) 有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域． 【答案】（1）略；（2）． 分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時，證明結(jié)論； （Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解． 【解析】（Ⅰ

29、）的定義域為． 且僅當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增， 因此當(dāng)時， 所以 （II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對任意 因此，存在唯一使得即， 當(dāng)時，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，單調(diào)遞增． 因此在處取得最小值，最小值為 于是，由單調(diào)遞增 所以，由得 因為單調(diào)遞增，對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上，當(dāng)時，有最小值，的值域是． 17．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)已知函數(shù)有兩個零點． (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)是的兩個零點，證明：． 【答案】 (I)； (II)見解析 【官方解答】(I)由已知得： ①若，那么，只有唯一的零點，不合

30、題意； ②若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 又，，取b滿足且，則 ， 故存在兩個零點． ③設(shè)，由得或． 若，則，故當(dāng)時，，因此在單調(diào)遞增． 又當(dāng)時，，所以不存在兩個零點． 若，則，故當(dāng)時 ；當(dāng)時， 因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 又當(dāng)時，，所以不存在兩個零點． 綜上的取值范圍為． (II)不妨設(shè)．由(I)知 在單調(diào)遞減 所以，即． 由于，而 所以 設(shè)，則 所以當(dāng)時，，則，故當(dāng)時， 從而，故． 【民間解答】(I)由已知得： ①若，那么，只有唯一的零點，不合題意； ②若，那么， 所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增 當(dāng)時，，單調(diào)遞減 即：

31、 ↓ 極小值 ↑ 故在上至多一個零點，在上至多一個零點 由于，，則， 根據(jù)零點存在性定理，在上有且僅有一個零點． 而當(dāng)時，，， 故 則的兩根，， 因為，故當(dāng)或時， 因此，當(dāng)且時， 又，根據(jù)零點存在性定理，在有且只有一個零點． 此時，在上有且只有兩個零點，滿足題意． ③若，則， 當(dāng)時，，， 即，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，， 即，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，，即，單調(diào)遞增． 即： 0 0 + ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 而極大值 故當(dāng)時，在處取到最大值 那么恒成立，即無解 而當(dāng)

32、時，單調(diào)遞增，至多一個零點 此時在上至多一個零點，不合題意． ④若，那么 當(dāng)時，，，即， 單調(diào)遞增 當(dāng)時，，，即，單調(diào)遞增 又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時至多一個零點，不合題意． ⑤若，則 當(dāng)時，，，即，單調(diào)遞增 當(dāng)時，，，即，單調(diào)遞減 當(dāng)時，，，即，單調(diào)遞增 即： 0 0 ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 故當(dāng)時，在處取到最大值 那么恒成立，即無解 當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多一個零點 此時在上至多一個零點，不合題意． 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時符合題意，即的取值范圍為． (II) 由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，， 故可整

33、理得： 設(shè)，則 那么 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增． 設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式： 設(shè)， 則，故單調(diào)遞增，有． 因此，對于任意的，． 由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有 令，則有 而，，在上單調(diào)遞增，因此： 整理得：． 18．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)． (Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； (Ⅱ)若對于任意，都有，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）． 解析：（Ⅰ）． 若，則當(dāng)時，，；當(dāng)時，，． 若，則當(dāng)時，，；當(dāng)時，，． 所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單

34、調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時，．當(dāng)時，，，即①式成立．當(dāng)時，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時，，即．綜上，的取值范圍是． 考點：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 19．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分) 已知函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)為何值時，軸為曲線 的切線； (Ⅱ)用 表示中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點的個數(shù)． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點． 分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標(biāo)與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性

35、質(zhì)將分為研究的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對再分類討論． 解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點，則，，即，解得． 因此，當(dāng)時，軸是曲線的切線． （Ⅱ）當(dāng)時，，從而， ∴在（1，+∞）無零點． 當(dāng)=1時，若，則，,故=1是的零點；若，則，,故=1不是的零點． 當(dāng)時，，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù)． （?。┤艋颍瑒t在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時，在（0，1）有一個零點；當(dāng)0時，在（0，1）無零點． （ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時，取的最小值，最小值為=． ①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點． ②若=0，即，則在（0

36、,1）有唯一零點； ③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時，在（0,1）有兩個零點；當(dāng)時，在（0,1）有一個零點．…10分 綜上，當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點． 考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想 20．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)=． (Ⅰ)討論的單調(diào)性； (Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時，, 求的最大值； (Ⅲ)已知，估計ln2的近似值(精確到0．001) 【答案】解析： （Ⅰ），等號僅當(dāng)時成立 所以在上單調(diào)遞增． （Ⅱ） 當(dāng)時，，等號僅當(dāng)時成立，所以在上單調(diào)遞增，而

37、，故． 當(dāng)時，若滿足，即時，，而，故，． 綜上的最大值為2． （Ⅲ）由（2）知， 當(dāng)時，，得 當(dāng)時， ，得 所以 考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題；（3）最值問題 難度：D 備注：高頻考點 21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線． (1)求; (2)證明:． 【答案】解析:(1)函數(shù)的定義域為, 由題意可得(),故． (2)由(1)知,從而等價于 設(shè)函數(shù),則,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而在上的最小值為(．

38、 設(shè)函數(shù),則,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,故在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,從而在的最小值為( ． 綜上:當(dāng)時,,即． 考點:(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切線方程問題);(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題;(4)等價轉(zhuǎn)換思想 難度:D 備注:高頻考點 22．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知函數(shù)． (1)設(shè)是的極值點，求，并討論的單調(diào)性； (2)當(dāng)時，證明． 【答案】（1）（2） 見解析； 解析：（1） 所以， ， 顯然在(－1,0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．

39、 （2）證明　令， 則． ， 所以是增函數(shù)，至多只有一個實數(shù)根， 又， 所以的唯一實根在區(qū)間內(nèi)， 設(shè)的根為t，則有， 所以，， 當(dāng)時，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，單調(diào)遞增； 所以， 當(dāng) 時，有， 所以． 考點：（1）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（2）3．2．7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)放縮 難度： D 備注：高頻考點，典型題 23．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線 (Ⅰ)求，，，的值 (Ⅱ)若≥－2時，≤，求的取值范圍。 【答案】（1）=4，=2，=2，=2　?。?）[1,]． 解析：（Ⅰ）由已知得， 而=，=

40、，∴=4，=2，=2，=2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 設(shè)函數(shù)==（）， ==， 有題設(shè)可得≥0，即， 令=0得，=，=－2， （1）若，則－2＜≤0，∴當(dāng)時，＜0，當(dāng)時，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0， ∴當(dāng)≥－2時，≥0，即≤恒成立， (2)若，則=， ∴當(dāng)≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0， ∴當(dāng)≥－2時，≥0，即≤恒成立， (3)若，則==＜0， ∴當(dāng)≥－2時，≤不可能恒成立， 綜上所述，的取值范圍為[1,]． 考點：（1）3．1．3導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（3）3．3．1利用導(dǎo)數(shù)研究

41、“恒能恰”成立及參數(shù)求解問題． 難度：Ｃ 備注：高頻考點 24．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知函數(shù)滿足滿足． (1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間； (2)若，求的最大值． 【答案】（１）增區(qū)間為,減區(qū)間為?。ǎ玻? 解析: (Ⅰ),令得,, 再由,令得． 所以的解析式為． ,易知是上的增函數(shù),且． 所以 所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為． (Ⅱ)若恒成立, 即恒成立， , (1)當(dāng)時,恒成立, 為上的增函數(shù),且當(dāng)時, ,不合題意; (2)當(dāng)時,恒成立, 則,; (3)當(dāng)時, 為增函數(shù),由得, 故 當(dāng)時, 取最小值． 依題意有, 即, ,, 令,則, , 所以當(dāng)時, 取最大值． 故當(dāng)時, 取最大值． 綜上, 若，則 的最大值為．