《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）（39頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2012-2021十年全國卷高考數(shù)學(xué)真題分類精編 導(dǎo)數(shù)大題 （精解精析）
一、解答題
1．(2021年高考全國甲卷理科)已知且，函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）．
解析：（1）當(dāng)時(shí)，,
令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】本
2、題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．
2．(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)求a；
(2)設(shè)函數(shù)．證明:．
【答案】；證明見詳解
解析：（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；
3、
綜上所述，在恒成立
【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題．
3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．（2）
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
(2)由得，，其中，
①．當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合
4、題意；
②．當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，
則，，
故單調(diào)遞增，，
故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因此，,
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)
5、Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x．
(1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
(2)證明：；
(3)設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．（2）證明見解析；（3）證明見解析．
解析：(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：
，
在上的根為：，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
(2)注意到，
故函數(shù)是周期為的函數(shù)，
結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，
，，
據(jù)此可得：，，
即．
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：
．
【點(diǎn)睛
6、】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．
(1)求b．
(2)若有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．
【答案】（1）；（2）證明見解析
解析：（1）因?yàn)椋?
由題意，，即
7、則；
（2）由（1）可得，
，
令，得或；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
且，
若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對值大于1零點(diǎn)，則或，
即或．
當(dāng)時(shí)，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)時(shí)，，
又，
由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，
此時(shí)不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
綜上，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．
【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯
8、推理能力，是一道有一定難度的題．
6．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)見詳解；(2)或．
【官方解析】
(1)．
令，得或．
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若時(shí)，在單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
(2)滿足題設(shè)條件的存在．
(ⅰ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時(shí)滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．
(ⅱ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單
9、調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時(shí)滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．
(ⅲ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在的最小值為，最大值為或．
若，則，與矛盾．
若，則或或，與矛盾．
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)或，在最小值為，最大值為1．
【點(diǎn)評】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，計(jì)算量略大．
7．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；
設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
【答案】函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；證明見解析.
【官方解析】
10、的定義域?yàn)?
因?yàn)?，所以在和上是單調(diào)遞增.
因?yàn)?，?
所以在有唯一零點(diǎn)，即．
又，，故在有唯一零點(diǎn)．
綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．
因?yàn)椋庶c(diǎn)在曲線上．
由題設(shè)知，即，
故直線的斜率．
曲線在點(diǎn)處切線的斜率是，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是，所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時(shí)，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)，時(shí)，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)
11、時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋院瘮?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)
綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；
因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以
，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，過切點(diǎn)為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，
當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時(shí)，即，
切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.
【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
8
12、．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
(1)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
(2)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
【答案】解：（1）設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為．
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn)．
（2）的定義域?yàn)椋?
（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點(diǎn)．
（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
又，，所以當(dāng)時(shí)，．從而在沒有零點(diǎn)．
（iii）當(dāng)時(shí)，，所
13、以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點(diǎn)．
（iv）當(dāng)時(shí)，，所以<0，從而在沒有零點(diǎn)．
綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
9．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知函數(shù)．
(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
(2)若是的極大值點(diǎn)，求．
【答案】【官方解析】當(dāng)時(shí)，，
設(shè)函數(shù)，則
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增
又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，
這與是的極大值點(diǎn)矛盾
（ii）若，設(shè)函數(shù)
由于當(dāng)時(shí)，，故與符號相同
又，故是的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)
如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn)
如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大
14、值點(diǎn)
如果，則
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)
綜上．
【民間解析】（1）法一：當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)
記
則
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
法二：當(dāng)時(shí)，，
則，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
所以時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增
所以時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增
所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增
所以當(dāng)時(shí)，
綜上所述若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
（2）法一：由
可得
所以
因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)
所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
又
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，
15、；當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
所以任意時(shí)，
所以若時(shí)，，此時(shí)不存在極值，故
由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
顯然，當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，則
若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足題意，故，即
②當(dāng)時(shí)，則
若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意，故，即
綜上，，所以．
法二：
記，
當(dāng)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即
所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點(diǎn)不符合；
當(dāng)時(shí)，，顯然可知遞減
①，解得，則有，，遞增；
時(shí)，，遞減，所以，故遞減，又
則，，，遞增；，，，遞減
此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意
②當(dāng)時(shí)，有，
所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞增
則
16、，遞增，所以，即，遞增，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，有，
所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞減
則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意
綜上可知．
法三：（2）嘗試一：（極大值點(diǎn)的第二充要條件：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。）
，
，
，由得
下證：當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)，
，所以在單增，在單減
進(jìn)而有，從而在單減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
從而在單增，在單減，所以是的極大值點(diǎn)。
點(diǎn)評：計(jì)算量很大，但不失為一種基本方法，激勵(lì)熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖?，還可以從大學(xué)的角度給出
17、一種解法。通過在階的帕德逼近可得，且兩個(gè)函數(shù)在處兩個(gè)函數(shù)可以無限制逼近，估計(jì)這也是考試中心構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點(diǎn)在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。
法四：引理1：若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為．
證明：，
因?yàn)?，且，代入化簡即證：
引理2：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。
，
令，
則易得，，，
由引理1知，等價(jià)于，從而迅速求得。
當(dāng)時(shí)，
嘗試二：若是的極大值點(diǎn)，注意到，
則存在充
18、分接近于的，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
得到一個(gè)恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。
對任意的，都有，進(jìn)而有
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
綜上：．
10．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分)
已知函數(shù)．
(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．
【答案】解析：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．
設(shè)函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．
（2）設(shè)函數(shù)．
在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．
（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)．
（ii）當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
故是在的最小值．
①若，
19、即，在沒有零點(diǎn)；
②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；
③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)．
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．
故在有一個(gè)零點(diǎn)．因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．
11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【答案】解:（1）的定義域?yàn)椋?
（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減．
（ii）若，令得，或．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．
由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于
，
所以等價(jià)于．
設(shè)函數(shù)，由
20、（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，．
所以，即．
12．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．
【答案】(1)詳見解析;(2)．
【分析】(1)討論的單調(diào)性,首先進(jìn)行求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解,再對按、進(jìn)行討論,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)問,若,至多有一個(gè)零點(diǎn),若,當(dāng)時(shí),取得最小值,求出最小值,根據(jù),進(jìn)行討論,可知當(dāng)有個(gè)零點(diǎn),設(shè)正整數(shù)滿足,則,由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn),所以的取值范圍為．
【解析】(1)的定義域?yàn)?
(ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減．
(ⅱ)若,則由得．
當(dāng)時(shí),;
21、當(dāng)時(shí),
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．
(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個(gè)零點(diǎn)．
(ⅱ)若,由(1)知,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為．
①當(dāng)時(shí),由于,故只有一個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),由于,即,故沒有零點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),,即．
又,故在有一個(gè)零點(diǎn)．
設(shè)正整數(shù)滿足,則．
由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上,的取值范圍為．
【民間解析】:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?且
注意到
當(dāng)時(shí),,所以恒成立
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減
當(dāng),由,由
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
綜上可知
①時(shí),在上單調(diào)遞減;
②時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)
22、由(1)可知,時(shí),在上單調(diào)遞減
此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn),不符合題意
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
此時(shí)函數(shù)的最小值為
要使有兩個(gè)零點(diǎn),首先必須有即
令,則有,故在上單調(diào)遞增,而
所以
另一方面取
而,在單調(diào)遞增
所以函數(shù)在上有唯一一個(gè)零點(diǎn),在沒有零點(diǎn)
此時(shí)當(dāng)時(shí),
所以,而在上單調(diào)遞減
所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn),在上有唯一零點(diǎn)
綜上可知當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
【考點(diǎn)】含參函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍．
【點(diǎn)評】研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化．已知函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不
23、含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而求出的范圍;第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點(diǎn)是:若有個(gè)零點(diǎn),且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗(yàn)證有最小值的兩邊存在大于的點(diǎn)．
13．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)(12分)已知函數(shù)．
(1)若，求的值；
(2)設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ),
則,且
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)增,所以時(shí),,不滿足題意;
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增．
①若,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)矛盾
24、
②若,在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)矛盾
③若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴滿足題意
綜上所述．
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)即
則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立
∴,
一方面:,
即．
另一方面:
當(dāng)時(shí),
∵,,
∴的最小值為．
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn),所以在歷屆高考中,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相
25、聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(12分)已知函數(shù)且．
(1)求 ；
(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．
【答案】(1)；(2)證明略．
【命題意圖】本題考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．
【基本解法】(1)法一．
由題知：，且 ，
所以：．
即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，成立．
令，，當(dāng)時(shí)，，
遞減，，所以：，即：．所以：；
當(dāng)時(shí)，，
遞增，，所以：，即：．所以：；
綜上：．
法二．洛必達(dá)法則
26、
由題知：，且 ，
所以：．
即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，成立．
令，．
令，．
當(dāng)時(shí)，,遞增，；
所以，遞減，．
所以：；
當(dāng)時(shí)，,遞減，；
所以，遞減，．
所以：；
故．
（1） 由(1)知：，．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在遞減，在遞增．
又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
又，所以是的唯一極大值點(diǎn)．
由得，故．
由得．
因?yàn)槭窃诘奈ㄒ粯O大值點(diǎn)，由，得
所以．
【考點(diǎn)】 利用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)
27、中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度，從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 了單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)必；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的人優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)設(shè)函數(shù),其中,記的最大值為.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)證明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.
【解析】(Ⅰ).
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
因此,.
當(dāng)時(shí),將變形為.
令
28、,則是在上的最大值
,
且當(dāng) 時(shí),取得極小值,極小值為.
令,解得(舍去),.
(i)當(dāng)時(shí),在內(nèi)無極值點(diǎn),,,
所以.
(ii)當(dāng)時(shí),由,知.
又,所以.
綜上,.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),,所以.
當(dāng)時(shí),,所以.
16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本小題滿分12分)(I)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；
(II)證明：當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）略；（2）．
分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論；
（Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解．
【解析】（Ⅰ
29、）的定義域?yàn)椋?
且僅當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，
所以
（II）
由（I）知，單調(diào)遞增，對任意
因此，存在唯一使得即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
因此在處取得最小值，最小值為
于是，由單調(diào)遞增
所以，由得
因?yàn)閱握{(diào)遞增，對任意存在唯一的
使得所以的值域是
綜上，當(dāng)時(shí)，有最小值，的值域是．
17．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(I)求a的取值范圍；
(II)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【答案】 (I)； (II)見解析
【官方解答】(I)由已知得：
①若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合
30、題意；
②若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
又，，取b滿足且，則
，
故存在兩個(gè)零點(diǎn)．
③設(shè)，由得或．
若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．
又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
若，則，故當(dāng)時(shí)
；當(dāng)時(shí)，
因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上的取值范圍為．
(II)不妨設(shè)．由(I)知
在單調(diào)遞減
所以，即．
由于，而
所以
設(shè)，則
所以當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，
從而，故．
【民間解答】(I)由已知得：
①若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；
②若，那么，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
即：
31、
↓
極小值
↑
故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)
由于，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
而當(dāng)時(shí)，，，
故
則的兩根，，
因?yàn)?，故?dāng)或時(shí)，
因此，當(dāng)且時(shí)，
又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．
③若，則，
當(dāng)時(shí)，，，
即，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
即，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增．
即：
0
0
+
↑
極大值
↓
極小值
↑
而極大值
故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值
那么恒成立，即無解
而當(dāng)
32、時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)
此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
④若，那么
當(dāng)時(shí)，，，即，
單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增
又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
⑤若，則
當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增
即：
0
0
↑
極大值
↓
極小值
↑
故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值
那么恒成立，即無解
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)
此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，即的取值范圍為．
(II) 由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，，
故可整
33、理得：
設(shè)，則
那么
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：
設(shè)，
則，故單調(diào)遞增，有．
因此，對于任意的，．
由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有
令，則有
而，，在上單調(diào)遞增，因此：
整理得：．
18．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)．
(Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
(Ⅱ)若對于任意，都有，求的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．
解析：（Ⅰ）．
若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．
若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．
所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單
34、調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，即①式成立．當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時(shí)，，即．綜上，的取值范圍是．
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
19．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線 的切線；
(Ⅱ)用 表示中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．
分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性
35、質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若零點(diǎn)不容易求解，則對再分類討論．
解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得．
因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而，
∴在（1，+∞）無零點(diǎn)．
當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（?。┤艋颍瑒t在（0,1）無零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無零點(diǎn)．
（ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=．
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無零點(diǎn)．
②若=0，即，則在（0
36、,1）有唯一零點(diǎn)；
③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn)．…10分
綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點(diǎn)；分類整合思想
20．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)=．
(Ⅰ)討論的單調(diào)性；
(Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估計(jì)ln2的近似值(精確到0．001)
【答案】解析：
（Ⅰ），等號僅當(dāng)時(shí)成立
所以在上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）
當(dāng)時(shí)，，等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以在上單調(diào)遞增，而
37、，故．
當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，，而，故，．
綜上的最大值為2．
（Ⅲ）由（2）知，
當(dāng)時(shí)，，得
當(dāng)時(shí)，
，得
所以
考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題；（3）最值問題
難度：D
備注：高頻考點(diǎn)
21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線．
(1)求;
(2)證明:．
【答案】解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?
由題意可得(),故．
(2)由(1)知,從而等價(jià)于
設(shè)函數(shù),則,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而在上的最小值為(．
38、
設(shè)函數(shù),則,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),故在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,從而在的最小值為(
．
綜上:當(dāng)時(shí),,即．
考點(diǎn):(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切線方程問題);(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題;(4)等價(jià)轉(zhuǎn)換思想
難度:D
備注:高頻考點(diǎn)
22．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知函數(shù)．
(1)設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明．
【答案】（1）（2） 見解析；
解析：（1）
所以，
，
顯然在(－1,0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．
39、
（2）證明 令，
則．
，
所以是增函數(shù)，至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
又，
所以的唯一實(shí)根在區(qū)間內(nèi)，
設(shè)的根為t，則有，
所以，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
所以，
當(dāng) 時(shí)，有，
所以．
考點(diǎn)：（1）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（2）3．2．7導(dǎo)數(shù)與函數(shù)放縮
難度： D
備注：高頻考點(diǎn)，典型題
23．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線
(Ⅰ)求，，，的值
(Ⅱ)若≥－2時(shí)，≤，求的取值范圍。
【答案】（1）=4，=2，=2，=2 （2）[1,]．
解析：（Ⅰ）由已知得，
而=，=
40、，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
設(shè)函數(shù)==（），
==，
有題設(shè)可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，則－2＜≤0，∴當(dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，
(2)若，則=，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≥0，即≤恒成立，
(3)若，則==＜0，
∴當(dāng)≥－2時(shí)，≤不可能恒成立，
綜上所述，的取值范圍為[1,]．
考點(diǎn)：（1）3．1．3導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）3．2．4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值；（3）3．3．1利用導(dǎo)數(shù)研究
41、“恒能恰”成立及參數(shù)求解問題．
難度：Ｃ
備注：高頻考點(diǎn)
24．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知函數(shù)滿足滿足．
(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求的最大值．
【答案】（１）增區(qū)間為,減區(qū)間為?。ǎ玻?
解析: (Ⅰ),令得,,
再由,令得．
所以的解析式為．
,易知是上的增函數(shù),且．
所以
所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為．
(Ⅱ)若恒成立,
即恒成立，
,
(1)當(dāng)時(shí),恒成立, 為上的增函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,不合題意;
(2)當(dāng)時(shí),恒成立, 則,;
(3)當(dāng)時(shí), 為增函數(shù),由得,
故
當(dāng)時(shí), 取最小值．
依題意有,
即,
,,
令,則,
,
所以當(dāng)時(shí), 取最大值．
故當(dāng)時(shí), 取最大值．
綜上, 若，則 的最大值為．
【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 導(dǎo)數(shù)大題（精解精析）
