2010年高考數(shù)學(xué)試題匯編：直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 第四節(jié) 簡(jiǎn)單的幾何體與球

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1、第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 四 簡(jiǎn)單的幾何體與球 【考點(diǎn)闡述】 多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球． 【考試要求】 〔8〕了解多面體、凸多面體的概念．了解正多面體的概念． 〔9〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖． 〔10〕了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)。會(huì)畫正棱錐的直觀圖。 〔11〕了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的外表積、體積公式． 【考題分類】 〔一〕選擇題〔共12題〕 1.〔北京卷理8〕如圖，正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，假設(shè)EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ〔ｘ，ｙ，ｚ大于零〕，那么四面

2、體PEＦＱ的體積　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　〔Ａ〕與ｘ，ｙ，ｚ都有關(guān)　 〔Ｂ〕與ｘ有關(guān)，與ｙ，ｚ無關(guān) 　〔Ｃ〕與ｙ有關(guān)，與ｘ，ｚ無關(guān)　 〔Ｄ〕與ｚ有關(guān)，與ｘ，ｙ無關(guān) 【答案】D． 解析：這道題目延續(xù)了北京高考近年8，14，20的風(fēng)格，即在變化中尋找不變，從圖中可以分析出，的面積永遠(yuǎn)不變，為面面積的，而當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，它到面的距離是變化的，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化。 2.〔北京卷文8〕如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，假設(shè)EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，那么三棱錐P-EFQ的體積： 〔A〕與x，y都

3、有關(guān)； 〔B〕與x，y都無關(guān)； 〔C〕與x有關(guān)，與y無關(guān)； 〔D〕與y有關(guān)，與x無關(guān)； 3.〔福建卷理6〕如圖,假設(shè)是長(zhǎng)方體被平面截去幾何體后得到的幾何體,其中E為線段上異于的點(diǎn)，F(xiàn)為線段上異于的點(diǎn)，且∥，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔 〕 A. ∥是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱臺(tái) 【答案】D 【解析】因?yàn)椤?，∥，所以∥，又平面? 所以∥平面，又平面，平面平面=， 所以∥，故∥∥，所以選項(xiàng)A、C正確；因?yàn)槠矫妫? ∥，所以平面，又平面， 故，所以選項(xiàng)B也正確，應(yīng)選D。 【命題意圖】此題考查空間中直線與平面平行、垂直

4、的判定與性質(zhì)，考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力。 4.〔江西卷理10〕過正方體的頂點(diǎn)A作直線L，使L與棱,,所成的角都相等，這樣的直線L可以作 【答案】D 【解析】考查空間感和線線夾角的計(jì)算和判斷，重點(diǎn)考查學(xué)生分類、劃歸轉(zhuǎn)化的能力。第一類：通過點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線AC1，第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條。 5.〔江西卷文11〕如圖，M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出以下命題 ①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都相交； ②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都垂直； ③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都相交； ④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平

5、面與直線、都平行. 其中真命題是： A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【解析】考查立體幾何圖形中相交平行垂直性質(zhì) 6.〔遼寧卷理12〕有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，假設(shè)再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，那么a的取值范圍是 (A)〔0,〕 (B)〔1,〕 (C) (,〕 (D) 〔0,〕 7.〔遼寧卷文11〕是球外表上的點(diǎn)，，，，，那么球的外表積等于 〔A〕4 〔B〕3 〔C〕2 〔D〕 解析：選A.由，球的直

6、徑為，外表積為 8.〔全國(guó)Ⅰ卷理12文12〕在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，假設(shè)AB=CD=2,那么四面體ABCD的體積的最大值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力. 【解析】過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為,那么有,當(dāng)直徑通過AB與CD的中點(diǎn)時(shí),,故. 9.〔全國(guó)Ⅰ新卷理10〕設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，那么

7、該球的外表積為 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：如圖，P為三棱柱底面中心，O為球心，易知 ，所以球的半徑滿足： ，故． 10.〔全國(guó)Ⅰ新卷文7〕設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，那么該球的外表積為 〔A〕3a2 〔B〕6a2 〔C〕12a2 〔D〕 24a2 【答案】B 解析：根據(jù)題意球的半徑滿足，所以． 11〔全國(guó)Ⅱ卷理9〕正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為 〔A〕1

8、 〔B〕 〔C〕2 〔D〕3 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問題. 【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，那么高所以體積， 設(shè)，那么，當(dāng)y取最值時(shí)，，解得a=0或a=4時(shí)，體積最大，此時(shí)，應(yīng)選C. 12.〔四川卷理11文12〕半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為， 是平面內(nèi)邊長(zhǎng)為的正三角形，線段、分別 與球面交于點(diǎn)M，N，那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 解析：由，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ cos∠BAC＝ 連結(jié)OM，那么△OAM為

9、等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC T MN＝， 連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝ 所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是 答案：A 〔二〕填空題〔共8題〕 1.〔湖北卷理13文14〕圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，假設(shè)放入三個(gè)相同的球〔球的半徑與圓柱的底面半徑相同〕后，水恰好淹沒最上面的球〔如下圖)，那么球的半徑是 cm． 【答案】4 【解析】設(shè)球半徑為r，那么由可得,解得r=4. 2.〔江西卷理16〕如圖，在三棱錐中，三條棱，，兩兩垂直，且>>,分別

10、經(jīng)過三條棱，，作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，，那么，，的大小關(guān)系為 。 【答案】 【解析】考查立體圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，通過補(bǔ)形，借助長(zhǎng)方體驗(yàn)證結(jié)論，特殊化，令邊長(zhǎng)為1，2，3得。 3.〔江西卷文16〕長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，，，那么，兩點(diǎn)間的球面距離為 . 【答案】 【解析】考查球面距離，可先利用長(zhǎng)方體三邊長(zhǎng)求出球半徑，在三角形中求出球心角，再利用球面距離公式得出答案 4.〔全國(guó)Ⅱ卷理16文16〕球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，．假設(shè)，那么兩圓圓心的距離 ．

11、 【答案】3 【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質(zhì)，解三角形問題. 【解析】設(shè)E為AB的中點(diǎn)，那么O，E，M，N四點(diǎn)共面，如圖，∵，所以，∴，由球的截面性質(zhì)，有，∵，所以與全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面積相等，可得， 5.〔上海卷理12〕如下圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O,剪去,將剩余局部沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，那么以A、〔B〕、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為 解析：翻折后的幾何體為底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐， 高為所以該四面體的體積為 6.〔上海卷文6〕.四棱椎的底面是邊長(zhǎng)為6 的

12、正方形，側(cè)棱底面，且，那么該四棱椎的體積是 。 解析：考查棱錐體積公式 7.〔上海春卷10〕各棱長(zhǎng)為1的正四棱錐的體積V=____________。 答案： 解析：由題知斜高，那么，故。 8.〔上海春卷13〕 在右圖所示的斜截圓柱中，圓柱底面的直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，那么斜截圓柱的側(cè)面面積S=______cm2。 答案： 解析：將側(cè)面展開可得。 〔三〕解答題〔共3題〕 1.〔上海卷理21〕如下圖，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面〔

13、不安裝上底面〕. (1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該最大值〔結(jié)果精確到0.01平方米〕; 〔2〕在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為時(shí)，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕 解析: 2.〔上海卷文21〕如下圖，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用鐵絲，再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面〔不安裝上底面〕. (1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該 最大值〔結(jié)果精確到〕; (2)假設(shè)要制作一個(gè)如圖放置的，底面半徑為的燈籠，請(qǐng)作出用于燈籠的三視圖〔作圖時(shí)，不需考慮骨架等因素〕. 3.〔上海春卷21〕地球半徑約為6371千米。上海的位置約為 東經(jīng)121°、北緯31°，大連的位置約為東經(jīng)121°、北緯39°，里斯 O 大連 上海 北極 南極 赤道 里斯本 本的位置約為西經(jīng)10°、北緯39°。 假設(shè)飛機(jī)以平均速度720千米/小時(shí)，飛行，那么從上海到大連的 最短飛行時(shí)間約為多少小時(shí)〔飛機(jī)飛行高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到小時(shí)〕？ 〔2〕求大連與里斯本之間的球面距離〔結(jié)果精確到1千米〕